方程的根与函数的零点(公开课)

1、安居一中安居一中 张文凤张文凤引例引例1 1:判断下列方程是否有根，有几个实数根？22 3 0 xx （1）（2）（3）223 0 xx 22 1 0 xx 函数的图象函数的图象与与x x轴交点轴交点方程方程函数函数函函数数的的图图象象方程的实数根方程的实数根x1=1,x2=3x1=x2=1无实数根无实数根(-1,0)、(3,0)(1,0)无交点无交点xy01321121234.xy0132112543.yx012112x22x+1=0 x22x+3=0y= x22x3 y= x22x+1x22x3=0y= x22x+3知识探究（一）：方程的根与知识探究（一）：方程的根与函数的零点函数的零点以

2、a0为例方程x2-2x-3=0 x2-2x+1=0 x2-2x+3=0方程的根函数y=x2-2x-3y=x2-2x+1y=x2-2x+3函数函数y=ax2 +bx+c(a0)的图象的图象函数的图象与x轴的交点结论：一元二次方程的实数根就是相应二次函数图象与x轴交点的横坐标归纳：x1=-1，x2=3x1=x2=1无实数根2-2-43-112Oy423-112xOxy423-112Oxy两个交点 (-1,0)，(3,0)一个交点(1,0)没有交点判别式 0= 00)的根两个不相等的实数根x1 、x2有两个相等的实数根x1 = x2没有实数根x1x2x1(x1,0)，(x2,0)(x1,0)问题:其

3、他函数与方程之间也有同样结论吗？ 对于函数对于函数y=f(x),我们把使我们把使f(x)=0的的实数实数x叫做函数叫做函数y=f(x)的的零点零点。注意：注意：零点零点指的是一个指的是一个实数实数零点是一个点吗零点是一个点吗? ?函数函数y=f(x)y=f(x)有零点有零点方程方程f(x)=0f(x)=0有实数根有实数根函数函数y=f(x)y=f(x)的图象与的图象与x x轴有交点轴有交点. .等价关系等价关系数 学 建 构方程f (x)=0有实数根函数y=f (x)有零点 函数y=f (x)的图象与x轴有交点辨析练习：判断下列说法的正误：1.函数y=x+1有零点x=-1； 2.函数y=x2-

4、2x-3的零点是(-1,0),(3,0) ；3.函数y=x2-2x-3的零点是-1和3； 4.函数 没有零点.1yxxyO1yx求函数零点的步骤：求函数零点的步骤： (1)令令f(x)=0; (2)解方程解方程f(x)=0； (3)写出零点写出零点例1：求函数 的零点。 2( )(16)f xx x0123 4 5-1-212345-1-2-3-4xy思考思考问题探究问题探究 观察函数的图象观察函数的图象在区间在区间(a,b)上上_(有有/无无)零点；零点； f(a).f(b)_0（或）（或） 在区间在区间(b,c)上上_(有有/无无)零点；零点； f(b).f(c) _ 0（或）（或） 在区

5、间在区间(c,d)上上_(有有/无无)零点；零点； f(c).f(d) _ 0（或）（或）知识探究（二）：知识探究（二）：函数零点存在性原理函数零点存在性原理 有有有有无无 如果函数如果函数 y=f(x)y=f(x)在区间在区间a, ba, b上的图象是上的图象是连续不连续不断断的一条曲线的一条曲线, ,并且有并且有f(a)f(b)0f(a)f(b)0, , 那么那么, , 函数函数y=f(x) y=f(x) 在在区区间间(a, b)(a, b)内有零点内有零点, , 即存在即存在c(a, b),c(a, b),使使f(c)=0, f(c)=0, 这个这个c c也也就是方程就是方程f(x) =

6、 0f(x) = 0的根的根 零点存在定理：零点存在定理：唯一唯一)(xf在在 ba,上单调上单调0)()( bfaf)(xf在在 有有 ba,零点零点)(xf在在 ba,上连续上连续零点的存在性定理零点的存在性定理由表可知f(2)0，从而f(2)f(3)0， 函数f(x)在区间(2,3)内有零点由于函数f(x)在定义域(0,+)内是增函数，所以它仅有一个零点用计算器或计算机列出x、f(x)的对应值表：例4 求函数f(x)=lnx+2x 6的零点的个数，并确定零点所在的区间n，n+1(nZ) 零点存在性定理的应用：108642-2-4512346xyOx123456789f(x)-4 -1.3

7、1.13.4 5.67.8 10.0 12.1 14.2f(x)=lnx+2x 6巩固练习 1.已知已知函数函数 的图像是连续不断的，有的图像是连续不断的，有如下表所对应值：如下表所对应值： 那么函数那么函数 在区间在区间 上的零点上的零点至少有至少有_个。个。 X1234567f(x)239-711-5-12-261,7 ( )f x( )f x3 对于函数对于函数y=f(x), 叫做函数叫做函数y=f(x)的的零点零点。方程方程f(x)=0有实数根有实数根函数函数y=f(x)的图象与的图象与x轴有公共点轴有公共点函数函数y=f(x)有零点有零点使使f(x)=0的的实数实数x小小 结结 函数零点存在性原理函数零点存在性原理0)()( bfaf)(xf