大连理工大学高等数值分析偏微分方程数值解(双曲方程书稿)

1、百度文库双曲型方程的有限差分法线性双曲型方程定解问题:(a) 阶线性双曲型方程ax0xut(b)阶常系数线性双曲型方程组u A u c A0t x其中A，s阶常数方程方阵，u为未知向量函数。(C)二阶线性双曲型方程(波动方程)2uuC a X 0t xxa x为非负函数(d)二维，三维空间变量的波动方程22uuc220xy§ 1波动方程的差分逼近 1.1波动方程及其特征 线性双曲型偏微方程的最简单模型是一维波动方程:2(1.1)2 U a x其中a 0是常数。252(行)可表示为：节22 uarx进一步有a 一au 0 X tX/ duJ dT(1.3)a t xu dx X d?d

2、Xdta)Xa 时为 u X, t 的全导数，故由此定出两个方向dt dX解常微分方程（1.3）得到两族直线(1. 4)X a tC-i和 X a tC2称其为特征。特征在研究波动方程的各种定解问题时，起着非常重要的作用。比如，我们可通过特征给出（1.1）的通解。（行波法、特征线法）由复合函数的微分将（1.4）视为（x,t）与（Ci，C2）之间的变量替换。法则C1XuC2C2XuC22u2XC1 C2C2uC1uC2C2X2uG22uC1 C22uC2 C12uC122uG C2Cl同理可得uut C1G1tuC2uC22ut2Ciu ua C2 GCiu aC2uuC2C2C12uC2 GC

3、222uG C22C22G C22将有和x2扌代入（E可得:ay22G C2a22u即有2uG C2求其对C2的积分得：uCi再求其对Ci的积分得:(1.5) u x,t f G dC1Ci其中f Cif1 C1 f2 C22 C1 C2Cl是Ci的任意可微函数。f1 x at f2 x at其中fi ?和f2 ?均为任意的二次连续可微函数。（1.5）为（1.1）的通解，即包含两个任意函数的解。为了确定函数f1 x at和f2 xat的具体形式，给定U在x轴的初值(1.5)ult 0ut将（1.5）式代入上式，则有i)f1 x f2 x 0 x注意 ut x, tf1 x at af2 xat

4、 a ；ut x, 0 f2 xf1 x a 1 x，有(ii)f2 X f1 X 1 1 Xa并对X积分一次，得f2 Xfi X与（i）式联立求解，得f2 Xfi X121212a1X0X将其回代到通解中，即得（1.1）, 1 u X, t -0 X22a 0在(1.5)(1.6)at 0 XC2C2条件下的解：1 X atat 12a x at即为法国数学家Jea n Le Ro nd d 'lembert （1717-1783）提出的著名的D 'Alembert 公式。由 D 'Alembert公式还可以导出解的稳定性，即当初始条件（1.5）仅有微小的误差时,其解

5、也只有微小的改变。如有两组初始条件:X,0U2 X,0U1U1 t X,0U2 t X, 0满足00,111丄-丄1u1 X, t u2 X, t一 0 X at0 X at +-1 X at1 X at22d11X atX at12aU1X,tU2 X,t12a2at 1显然,当t有限时,解是稳定的此外，由D 'Alembert公式可以看出，解在x。, t。 仅依赖于X轴上区间X0 at0,X0 at。内的初始值0 X ,点，to 0的值，与其他点上的初始条件无关。故称区间X0 at0,X0 at0为点X0,t0的依存域。它是过点X0,t0的两条斜率分别为1的直线在X轴上截得的区间。

6、a对于初始轴t 0上的区间X1,X2 ,过X1点作斜率为丄的直线aX2X X1 at ；过X1点作斜率为 1的直线X X2 at。它们和区间捲飞一a起构成一个三角区域。此三角区域中任意点X,t的依存区间都落在X1,X2内部。所以解在此三角形区域中的数值完全由区间X1,X2上的初始条件确定，而与区间外的初始条件无关。这个三角形区域称为区间Xi, X2的决定域。在Xi, X2上给定初始条件，就可以在其决定域中确定初值问题的解。1.2显格式现在构造（1.1）的差分逼近。取空间步长h和时间步长，用两族平行直线n 0,1, 2,XXjjh , j 0,1,2, t t作矩形网络。于网点Xj,tn处Tay

7、lor展开成u Xj 1, tn 2u Xj, tn U Xj 1, tnuxx Xj , tnO h2u Xj , tn 1 2u Xj, tn u Xj , tn 1丄2 utt Xj, tn代入（1.1）,并略去截断误差，贝y得差分格式:n1cn n1n c； n(1.7)uj 2uj uj2 uj 1 2uj uj2a72hj 0,1,2, n 0,1,2,这里U；表示u于网点Xj,tn处的近似值。初值条件（1.5）用下列差分 方程近似:(1.8)0Uj 0 Xj(1.9)1 0Uj Uj1 Xj注意：（1.7）的截断误差阶是o 2 h2，而（1.9）的截断误差阶仅是O。为此需要提咼（

8、1.9）的精度，可用中心差商代替Ut，即Ut(1.10)1 1Uj Uj2 1Xj为了处理Uj，在（1.7）中令n0，得U 2u0 Uj120 c 02 Uj 1 2Uj a0Uj 1h2进一步,其中rah1Uj(1.11)1 c 0Uj 2Uj1Uj。并用（1.10）式的2 0 xj1Uj21 XjUj0r Uj 11 u1r22u00 Xj 11Uj0 Xj 10 Xj 12r 0 Xj这样，利用（1.11）,可以由初始层n1各网格节点上的值。然后利用（1.7）(1.12)n 12 nUj r Uj 1nUj 10Uj 1代入上式得0 Xj0 Xj 11 Xj0的已知值，算出第一或显式三层

9、格式c2 n n 121 r uj uj2a2-UXUt X, 01 XU l, tt可以逐层求出任意网点值。以上显式三层格式也可用于求解混合问题:Ju t2 (1.13)u X, 00 Xu 0,t t取h LJ(1.14)u0Nn , ujN nT。除（1.7）（1.9）外。再补充边值条件N1.3稳定性分析F面我们要讨论（1.7）的稳定性。为引用Fourier方法，我们把波动方程（1.1）化成一阶偏微分方程组,相应地把显式三层格式（1.7）化成二层格式。一种简单的做法是引进变量，于是（1.1）化为这样会使得初值u x, 0与v x, 0不适定（不唯一），更合理的方法是再引进一个变量a，将（

10、1.1）化为x(1.15)axv ax注意到:22 uarxuax若令U(1.16)相应地，将（1.7)2ua ax t t x则（1.5）可写成上A t写成等价的双层格式：v axn 1 nnnVjv人二j 2 心(1.17)hn 1nn 1 n 1j i j i VjVj 1a h1.17nVjnj112nVjnjnj 4n 1r Vjnj 4n 1Vj 1其中v；nUjn 1Uj12naUjn 1Uj 1h可直接验证之。-为网比。h的必要条件是网比Fourier方法可以证明，差分方程（1.17）稳定(1.19)充分条件是网比(1.19)CoUrant等证明,1时，差分解仍稳定，收敛。但是

11、要求有更光滑的初值。习上也称r 1为 Courant条件或 C-F-L(Coura nt-Fridrichs-Lewy )条件。稳定性条件（1.19）有直观的几何解释。从方程（1.12)n1 2nn2nUj r Uj 1 Uj 121 r Ujn 1Uj可看出，u；依赖于前两层的值：u；2，而这四个值由依赖于,u； 2依赖于：n 3Uj 1 ,n 3Uj 1 ,n 3n 4Uj ，Uj依赖于：U；,u； 12,U；3,U；2依赖于：u； 2 ,n 2 Uj,n 2Uj 1 ,n 3Uj 1111111，11，nUjn 2Ujunn 2Uj 2nUjn 2Uj 1nUjnUjn 3Uj 1U；

12、1依赖于:以此类推，可知,U；最终依赖于初始层j 0上的下列值:0Uj0Uj n 1，0.0 0U j，产,U j n 1 , U j n因此，称x轴上含于区间Xj n,Xj n的网点为差分解U；的依存域，它是x轴上被过Xj,tn和Xj n，0以及Xj,tn和Xj n，0的两条直线所切割下来的区间所覆盖的网域。而过 Xj,tn的两条特征线为：x Xj at tn O差分格式稳定的必要条件为:r 1或-,并且进而hh a1 。h a可见差分格式稳定的必要条件是:差分解的依存域必须包含微分方程解的依存域， 否则差分格式不稳定。用依存域的概念容易证明：当r 1时，差分解不收敛。1.4 隐式为了得到绝

13、对稳定的差分格式，用第n 1层n层、n 1层的中心差商的加权平均去逼近uxx得到下列差分格式:a2n 1_n n 1Uj 2UjUjn 1 c n 1 n 1Uj 1 2Uj Uj 1hn c n nUj 1 2Uj Uj 1hn 1 c n 1 n 1Uj 1 2Uj Uj 12 ntUj2 nxUj-2 n2 xUj2 nxUj其中01是参数。可以证明，对于差分格式绝对稳定;格式的充要条件是:0就是显格式(1.7), 个常用的隐式格式是取差分格式为：n 1n n 1Uj 2Uj Uj211 * 2Ujn1 j 2u；1 2Ujn 比1 Ujn11 2un1j1高维波动方程!9 t2u；2a

14、 2 n 1 c n n 1 碍 x Uj 2uj Uj 4h§ 3 一阶双曲方程双曲方程与椭圆方程和抛物方程的一个重要区别是，双曲方程具有特征和特征关系，其解对初值有局部依赖性质。初值的函数性质（如 间断、弱间断等）也沿着特征传播，因而其解一般没有光滑性质。我 们在构造双曲方程的差分逼近时，应充分注意这些特性。F面对于一阶双曲方程，介绍几种常见的差分格式3.1 迎风格式首先考虑一阶线性常系数双曲方程(3.1)a0xut此方程虽简单，但是对我们构造差分格式很有启发。 我们的主要的目的是构造差分格式，因此只限于考虑纯初值问题。设a 0,定义特征线：dt dx则在每一条这样的特征线上，d

15、udt因此,在特征线上，U等于常数.dxdtu dxx dta 0x对于（3.1）按照用差商代替微商的方法,自然有如下三种格式:3.2 13.2 23.2 3ahn 1nnnUjUjaUj1Ujhn 1nnnUjUjaUj1Uj 10n 1 nUj Ujn nUjUj102h 0（左偏心格式）（右偏心格式）（中心格式）其中3.2 1和3.2 2的截断误差的阶为03.2 3的截断误差的阶为 O h2。(3.3)将3.2 1 3.2 3式改写为:3.2 1n 1n.nujruj 11 r uj3.2 2uj1 r uj ruj 13.2 3n 1nr nr nUj Uj 2Uj 1 2Uj 1用F

16、oUrier方法分析稳定性可知，3.23绝对不稳定。a 0时，3.2 2不稳定，而3.2 1当-a 1稳定，；a 0时，3.2 1不稳定，而3.2 2当一 B 1hh稳定。这两个稳定条件意味着 差分方程的依存域必须包含微分方程的 依存域。同样的思想可用于构造变系数方程UUc a x0tx的差分格式。此时a可能变号，因此相应的格式为:(3.6)n 1 nUj Ujn 1 nUj Ujn nUj Uj 1 aj hn nUj 1 UjajT"0,0,aj 0aj 0其中aj a xj稳定性条件为(3.7)-max Bih jd j由（3.7），并取rjha-'则知3.23.22右

17、端的系数非负。当aj 0时n 1|n 1n1 rjn1maxjUjrjUj 1UjUrjrj max ujUn当aj 0时n 1 1n 1nnu 1maxjUjrjUj 11'1 rjUjrjnrj max U jun其中un是以un为分量的的向量。总之,Un 1un。这说明（3.6）稳定，按气体力学的含义（a（x）表示气流速度），称（3.6）为迎风格式。初边值问题：边值条件应该在迎风方向给出3.2积分守恒的差分格式迎风格式是根据特征走向构造出来的向前或向后差分格式。现在 以积分守恒方程出发构造差分格式。所谓守恒方程是指如下散度型偏微分方程(3.13)u f X, u 0 t x设G是

18、xt平面中任意有界域，由 Green公式u f X'u dxdt fdt udx t x其中 G于是可将（3.13 ）写成积分守恒方程(3.14)1. Lax格式fdt udx 0首先,我们从（3.14）出发构造所谓Lax格式。取G为A j 1, n，B j 1, n 1，C j 1,n 1和D j 1,n为顶点的开矩形。ABCDA为其边界，则(3.15)fdt udxu dx+ u dx +dABC"ABfdt + fdtCD右端第一积分用梯形公式，第二积分用中矩形公式即nn.u i 1 uj 1,u dx亠2h，u dxDA2BC第三、第四积分用如下矩形公式计算:fdtfjn1， fdtABCDfjn1从而有nnn 1 Uj 1 Uj 1Uj2h fjn1 fjn10两端同除以2h得Lax格式(3.16)n 1Uj1 nnUj 1 Uj 1fnf n2 Tj 1 Tj 1 0 2hOh2。其中fjn f Xj , u Xj , tn，此格