全国通用高考数学大一轮复习概率随机变量及其分布126离散型随机变量的均值与方差正态分布

1、12.6离散型随机变量的均值与方差、正态分布第十二章概率、随机变量及其分布基础知识自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基础知识自主学习1.离散型随机变量的均值与方差离散型随机变量的均值与方差一般地，若离散型随机变量X的分布列为知识梳理Xx1x2xixnPp1p2pipn(1)均值称E(X) 为随机变量X的均值或_ .它反映了离散型随机变量取值的 .x1p1x2p2xipixnpn数学期望平均水平(2)方差平均偏离程度标准差2.均值与方差的性质均值与方差的性质(1)E(aXb) .(2)D(aXb) .(a，b为常数)3.两点分布与二项分布的均值、方差两点分布与二项分布的均值、方差(1)若随

2、机变量X服从两点分布，则E(X) ，D(X) .(2)若XB(n，p)，则E(X) ，D(X) .aE(X)ba2D(X)p(1p)pnpnp(1p)4.正态分布正态分布(1)正态曲线：函数，(x) ，x(，)，其中实数和为参数(0，R).我们称函数，(x)的图象为 ，简称正态曲线.(2)正态曲线的特点曲线位于x轴 ，与x轴不相交；曲线是单峰的，它关于直线 对称；22()21e2x正态分布密度曲线上方xx曲线与x轴之间的面积为 ；当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着 的变化而沿x轴平移，如图甲所示；当一定时，曲线的形状由确定， ，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中； ，曲线越“矮胖”，表示总

3、体的分布越分散，如图乙所示.1越小越大(3)正态分布的定义及表示一般地，如果对于任何实数a，b(ab)，随机变量X满足P(aXb) ，则称随机变量X服从正态分布，记作 .正态总体在三个特殊区间内取值的概率值P(X) ；P(2X2) ；P(3X3) .XN(，2)0.682 60.954 40.997 4题组一思考辨析题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)随机变量的均值是常数，样本的平均数是随机变量，它不确定.()(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小.()(3)正态分布中的参数和完全确定了正

4、态分布，参数是正态分布的均值，是正态分布的标准差.()(4)一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布.()(5)均值是算术平均数概念的推广，与概率无关.()基础自测123456设Y2X3，则E(Y)的值为A. B.4C.1D.1题组二教材改编题组二教材改编2.P68A组T1已知X的分布列为答案解析123456X101PX0123P0.40.30.20.13.P68A组T5甲、乙两工人在一天生产中出现的废品数分别是两个随机变量X，Y，其分布列分别为：答案解析解析解析E(X)00.410.320.230.11.E(Y)00.310.520.2

5、0.9，E(Y)2c1)P(X2c1)P(Xc3)，题组三易错自纠题组三易错自纠5.已知随机变量X8，若XB(10,0.6)，则E()，D()分别是 A.6,2.4 B.2,2.4C.2,5.6 D.6,5.6解析答案123456解析解析由已知随机变量X8，所以8X.因此，求得E()8E(X)8100.62，D()(1)2D(X)100.60.42.4.6.设随机变量服从正态分布N(，2)，函数f(x)x24x没有零点的概率是 ，则等于 A.1 B.2C.4 D.不能确定解析答案123456解析解析当函数f(x)x24x没有零点时，1644，根据正态曲线的对称性，当函数f(x)x24x没有零点

6、的概率是 时，4.题型分类深度剖析命题点命题点1求离散型随机变量的均值、方差求离散型随机变量的均值、方差典例典例 某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定.小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定.(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；题型一离散型随机变量的均值、方差多维探究解解设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A，解答解答(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X，求X的分布列和均值.解解依题意得，

7、X所有可能的取值是1,2,3.所以X的分布列为X123P解答命题点命题点2已知离散型随机变量的均值与方差，求参数值已知离散型随机变量的均值与方差，求参数值典例典例 设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分.(1)当a3，b2，c1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量为取出此2球所得分数之和，求的分布列；解解由题意得2,3,4,5,6，所以的分布列为23456P解答(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量为取出此球所得分数.若E() ，D() ，求abc.解解由题意知的分布列为

8、解得a3c，b2c，故abc321.123P离散型随机变量的均值与方差的常见类型及解题策略(1)求离散型随机变量的均值与方差.可依题设条件求出离散型随机变量的分布列，然后利用均值、方差公式直接求解.(2)由已知均值或方差求参数值.可依据条件利用均值、方差公式得出含有参数的方程(组)，解方程(组)即可求出参数值.(3)由已知条件，作出对两种方案的判断.可依据均值、方差的意义，对实际问题作出判断.思维升华解答跟踪训练跟踪训练 (2017青岛一模)为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元

9、(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为 1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为 两人滑雪时间都不会超过3小时.(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；解解两人所付费用相同，相同的费用可能为0,40,80元，解答(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量，求的分布列与均值E()，方差D().解解设甲、乙所付费用之和为，的可能取值为0,40,80,120,160，则04080120160P所以的分布列为典例典例 计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站.过去50年的水文资料显示，水库年入流量X(年入流量：一年内上游来

10、水与库区降水之和.单位：亿立方米)都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的入流量相互独立.(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；题型二均值与方差在决策中的应用师生共研解答由二项分布可知，在未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率为(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：解答年入流量X40X120发电机最多可运行台数123若某台发电机运行，则该台发电机年利润为5 000万元；若某台发电机未

11、运行，则该台发电机年亏损800万元.欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？解解记水电站年总利润为Y(单位：万元).安装1台发电机的情形.由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y5 000，E(Y)5 00015 000.安装2台发电机的情形.依题意，当40X80时，一台发电机运行，此时Y5 0008004 200，因此P(Y4 200)P(40X80)p10.2；当X80时，两台发电机运行，此时Y5 000210 000，因此P(Y10 000)P(X80)p2p30.8.由此得Y的分布列如下：Y4 20010 000P0.20.8所以，E(Y)4

12、 2000.210 0000.88 840.安装3台发电机的情形.依题意，当40X80时，一台发电机运行，此时Y5 0001 6003 400，因此P(Y3 400)P(40X120时，三台发电机运行，此时Y5 000315 000，因此P(Y15 000)P(X120)p30.1，由此得Y的分布列如下：Y3 4009 20015 000P0.20.70.1所以，E(Y)3 4000.29 2000.715 0000.18 620.综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台.随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随

13、机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据.一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定.思维升华跟踪训练跟踪训练 (2017贵州调研)某投资公司在2018年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由.解答X25003000PX1300150P解解若按“项目一”投

14、资，设获利为X1万元，则X1的分布列为若按“项目二”投资，设获利为X2万元，则X2的分布列为E(X1)E(X2)，D(X1)D(X2)，这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥.综上所述，建议该投资公司选择项目一投资.题型三正态分布的应用师生共研典例典例 (2017全国)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm).根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(，2).(1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3，3)之外的零件数，求P(X1)及X的均值；解解抽取的一

15、个零件的尺寸在(3，3)之内的概率为0.997 4，从而零件的尺寸在(3，3)之外的概率为0.002 6，故XB(16,0.002 6).因此P(X1)1P(X0)10.997 4160.040 8.E(X)160.002 60.041 6.解答(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3，3)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.()试说明上述监控生产过程方法的合理性；()下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.

16、0410.059.95解答解解()如果生产状态正常，一个零件尺寸在(3，3)之外的概率只有0.002 6，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(3，3)之外的零件的概率只有0.040 8，发生的概率很小，因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的.因此的估计值为10.02.解决正态分布问题有三个关键点：(1)对称轴x；(2)标准差；(3)分布区间.利用对称性可求指定范围内的概率值；由，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3特殊区间，从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为x0.

17、思维升华跟踪训练跟踪训练 从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数 和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；解答s2(30)20.02(20)20.09(10)20.2200.331020.242020.083020.02150.(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(，2)，其中近似为样本平均数 ，2近似为样本方差s2.利用该正态分布，求P(187.8Z212.2)；解答解解由(1)知，ZN(200,150)，即ZN(200,12.22).从而P(1

18、87.8Z212.2)P(20012.2Z20012.2)0.682 6.某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数，利用的结果，求E(X).解答若ZN(，2)，则P(Z)0.682 6，P(2Z2)p，则P(0X2)p，P(2x2)12p，6.某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给A组的某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学.若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成语的概率是0.5，且规定猜对得1分，猜不对得0分，则这两个同学各猜1次，得分之和X(单位：分)的均

19、值为 A.0.9 B.0.8 C.1.2 D.1.1解析答案1234567891011121314151612345678910111213141516解析解析由题意得X0,1,2，则P(X0)0.60.50.3，P(X1)0.40.50.60.50.5，P(X2)0.40.50.2，E(X)10.520.20.9.解析答案123456789101112131415167.(2017全国)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则D(X)_.1.96解析解析由题意得XB(100,0.02)，D(X)1000.02(10.02)1.

20、96.8.马老师从课本上抄录一个随机变量的分布列如下表：解析答案12345678910111213141516x123P(x)？！？请小牛同学计算的均值.尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同.据此，小牛给出了正确答案E()_.2解析解析设“？”处的数值为x，则“！”处的数值为12x，则E()1x2(12x)3xx24x3x2.9.已知当XN(，2)时，P(X)0.682 6，P(2X2)0.954 4，P(3X3)0.997 4，则_.解析答案123456789101112131415162(1)4231ed2xx0.021 5解析答案123456

21、7891011121314151610.随机变量的取值为0,1,2.若P(0) ，E()1，则D()_.解析解析设P(1)a，P(2)b，11.(2017天津)从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为(1)设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和均值；12345678910111213141516解答解解随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3，1234567891011121314151612345678910111213141516所以，随机变量X的分布列为X0123P(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共

22、遇到1个红灯的概率.解答12345678910111213141516解解设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为P(YZ1)P(Y0，Z1)P(Y1，Z0)P(Y0)P(Z1)P(Y1)P(Z0)12.(2017全国名校名师原创联考)汽车租赁公司为了调查A，B两种车型的出租情况，现随机抽取了这两种车型各100辆汽车，分别统计了每辆车某个星期内的出租天数，统计数据如下表：A型车12345678910111213141516B型车出租天数1234567车辆数51030351532出租天数1234567车辆数1420201615105(1)从出租天数为3天的

23、汽车(仅限A，B两种车型)中随机抽取一辆，估计这辆汽车恰好是A型车的概率；12345678910111213141516解答故这辆汽车是A型车的概率为0.6.(2)根据这个星期的统计数据，估计该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率；12345678910111213141516解答解解设“事件Ai表示一辆A型车在一周内出租天数恰好为i天”，“事件Bj表示一辆B型车在一周内出租天数恰好为j天”，其中i，j1,2,3，7，则该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为P(A1B3A2B2A3B1)P(A1B3)P(A2B2)P(A3B1)P(A1)P(B

24、3)P(A2)P(B2)P(A3)P(B1)(3)试写出A，B两种车型的出租天数的分布列及均值；12345678910111213141516解答解解设X为A型车出租的天数，则X的分布列为X1234567P0.050.100.300.350.150.030.02设Y为B型车出租的天数，则Y的分布列为X1234567P0.140.200.200.160.150.100.05E(X)10.0520.1030.3040.3550.1560.0370.023.62，E(Y)10.1420.2030.2040.1650.1560.1070.053.48.如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需

25、要从A，B两种车型中购买一辆，请你根据所学的统计知识，建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由.12345678910111213141516解答解解一辆A类车型的出租车一个星期出租天数的平均值为3.62天，B类车型的出租车一个星期出租天数的平均值为3.48天，故选择A类型的出租车更加合理.13.某班有50名学生，一次考试的数学成绩服从正态分布N(100,102)，已知P(90100)0.3，估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为_.技能提升练解析答案123456789101112131415161012345678910111213141516解答14.一个不透明的盒子中关有蝴蝶、蜜蜂和蜻

26、蜓三种昆虫共11只，现在盒子上开一小孔，每次只能飞出1只昆虫(假设任意1只昆虫等可能地飞出).若有2只昆虫先后任意飞出(不考虑顺序)，则飞出的是蝴蝶或蜻蜓的概率是(1)求盒子中蜜蜂有几只；12345678910111213141516解解设“2只昆虫先后任意飞出，飞出的是蝴蝶或蜻蜓”为事件A，设盒子中蜜蜂为x只，则由题意，得所以(11x)(10 x)42，解得x4或x17(舍去)，故盒子中蜜蜂有4只.解答(2)若从盒子中先后任意飞出3只昆虫(不考虑顺序)，记飞出蜜蜂的只数为X，求随机变量X的分布列与均值E(X).12345678910111213141516解解由(1)知，盒子中蜜蜂有4只，则

27、X的取值为0,1,2,3，故X的分布列为12345678910111213141516X0123P拓展冲刺练1234567891011121314151615.(2017黄冈调研)已知6只小白鼠中有1只感染了病毒，需要对6只小白鼠进行病毒DNA化验来确定哪一只受到了感染.下面是两种化验方案：方案甲：逐个化验，直到能确定感染病毒的小白鼠为止.方案乙：将6只小白鼠分为两组，每组三只，将其中一组的三只小白鼠的待化验物质混合在一起化验，若化验结果显示含有病毒DNA，则表明感染病毒的小白鼠在这三只当中，然后逐个化验，直到确定感染病毒的小白鼠为止；若化验结果显示不含病毒DNA，则在另外一组中逐个进行化验.

28、(1)求执行方案乙化验次数恰好为2次的概率；解答12345678910111213141516解解执行方案乙化验次数恰好为2次的情况分两种：12345678910111213141516(2)若首次化验的化验费为10元，第二次化验的化验费为8元，第三次及以后每次化验的化验费都是6元，求方案甲所需化验费的分布列和均值.解答解解设用方案甲化验需要的化验费为(单位：元)，则的可能取值为10,18,24,30,36.则化验费的分布列为1018243036P1234567891011121314151616.(2017江苏)已知一个口袋有m个白球，n个黑球(m，nN*，n2)，这些球除颜色外完全相同.现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1,2,3，mn的抽屉内，其中第k次取球放入编号为k的抽屉(k1,2,3，mn).解答12345678910111213141516123mn(1)试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；(2)随机变量X表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E(X)