201x_201x版高中数学第三章圆锥曲线与方程4.1曲线与方程二北师大版选修

1、第三章第三章4曲线与方程曲线与方程曲线与方程曲线与方程(二二)学习目标学习目标1.了解用坐标法研究几何问题的有关知识和观点，感受曲线的实际背景，明确其刻画现实世界和解决实际问题的作用.2.了解解析几何的基本思想、明确它所研究的基本问题.3.初步掌握根据已知条件求曲线方程的方法，同时进一步加深理解“曲线的方程、方程的曲线”的概念. 题型探究题型探究问题导学问题导学内容索引内容索引当堂训练当堂训练问题导学问题导学思考思考1知识点一坐标法的思想知识点一坐标法的思想怎样理解建立平面直角坐标系是解析几何的基础？只有建立了平面直角坐标系，才有点的坐标，才能将曲线代数化，进一步用代数法研究几何问题.答案依据

2、一个给定的平面图形，选取的坐标系唯一吗？答案不唯一，常以得到的曲线方程最简单为标准.思考思考2梳理梳理(1)坐标法：借助于 ，通过研究方程的性质间接地来研究曲线性质的方法.(2)解析几何研究的主要问题：通过曲线研究方程：根据已知条件，求出 .通过方程研究曲线：通过曲线的方程，研究 .坐标系表示曲线的方程曲线的性质知识点二求曲线的方程的步骤知识点二求曲线的方程的步骤有序实数对(x,y)P=M|p(M)P=(M)f(x,y)=0f(x,y)=0方程的解题型探究题型探究类型一直接法求曲线的方程类型一直接法求曲线的方程例例1一个动点P到直线x8的距离是它到点A(2，0)的距离的2倍.求动点P的轨迹方程

3、.解答设P(x，y)，则|8x|2|PA|.化简，得3x24y248，故动点P的轨迹方程为3x24y248.引申探究引申探究若将本例中的直线改为“y8”，求动点P的轨迹方程.解答据题意设P(x，y)，则P到直线y8的距离d|y8|，化简，得4x23y216x16y480.故动点P的轨迹方程为4x23y216x16y480.直接法求动点轨迹的关键及方法(1)关键：建立恰当的平面直角坐标系；找出所求动点满足的几何条件.(2)方法：求曲线的方程遵循求曲线方程的五个步骤，在实际求解时可简化为三大步骤：建系、设点；根据动点满足的几何条件列方程；对所求的方程化简、说明.特别提醒：直接法求动点轨迹方程的突破

4、点是将几何条件代数化.反思与感悟解答设点P(x，y)，由M(1，0)，N(1，0)，点P的轨迹方程为x2y23(x0).类型二代入法求解曲线的方程类型二代入法求解曲线的方程例例2动点M在曲线x2y21上移动，M和定点B(3，0)连线的中点为P，求P点的轨迹方程.解答设P(x，y)，M(x0，y0)，因为P为MB的中点，又因为M在曲线x2y21上，所以(2x3)24y21.所以P点的轨迹方程为(2x3)24y21.代入法求解轨迹方程的步骤(1)设动点P(x，y)，相关动点M(x0，y0).(2)利用条件求出两动点坐标之间的关系(3)代入相关动点的轨迹方程.(4)化简、整理，得所求轨迹方程.反思与

5、感悟跟踪训练跟踪训练2ABC的顶点A固定，点A的对边BC的长是2a，边BC上的高的长是b，边BC沿一条定直线移动，求ABC外心的轨迹方程.解答如图所示，以BC所在的定直线为x轴，以过A点与x轴垂直的直线为y轴，建立直角坐标系，则A点的坐标为(0，b).设ABC的外心为M(x，y)，作MNBC于N，则MN是BC的垂直平分线.|BC|2a，|BN|a，|MN|y|.又M是ABC的外心，MM|MA|MB|.化简，得所求轨迹方程为x22byb2a20.类型三根据曲线的方程求两曲线的交点类型三根据曲线的方程求两曲线的交点例例3过点M(1，2)的直线与曲线y (a0)有两个不同的交点，且这两个交点的纵坐标

6、之和为a，求a的取值范围.解答当过M点的直线斜率为零或斜率不存在时，不可能与曲线有两个公共点.设直线方程为y2k(x1)(k0)，消去x，得y2(2k)yka0. 当此方程有两个不同的根，即方程组有两个不同的解时，直线与曲线有两个不同的交点.(2k)24ka0.设方程的两根分别为y1，y2，由根与系数的关系，得y1y22k.又y1y2a，k2a，代入0中，得a24a(2a)0，又k0，2a0，即a2.结合曲线方程的定义，两曲线的交点的坐标即为两曲线的方程构成的方程组的解，所以可以把求两曲线交点坐标的问题转化为解方程组的问题，讨论交点的个数问题转化为讨论方程组解的个数问题.即两曲线C1和C2的方

7、程分别为F(x，y)0和G(x，y)0，则它们的交点坐标由方程组 反思与感悟的解来确定.跟踪训练跟踪训练3直线l：yk(x5)(k0)与圆O：x2y216相交于A，B两点，O为圆心，当k变化时，求弦AB的中点M的轨迹方程.解答设M(x，y)，易知直线恒过定点P(5，0)，再由OMMP，得|OP|2|OM|2|MP|2，x2y2(x5)2y225，点M应在圆内，所求的轨迹为圆内的部分.当堂训练当堂训练234511.曲线y 与xy2的交点是A.(1，1)B.(2，2)C.直角坐标系内的任意一点D.不存在联立方程组无解.答案解析234512.方程x2y21(xy0)表示的曲线是xy0时，y0，曲线应

8、在第四象限；当x0，曲线应在第二象限，且与坐标轴均无交点.答案解析3.直线 1与x，y轴交点的中点的轨迹方程是_.答案解析xy10(x0，x1)23451234514.已知O的方程是x2y220，O的方程是x2y28x100，由动点P向O和O所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是_.答案解析234515.M为直线l：2xy30上的一动点，A(4，2)为一定点，又点P在直线AM上运动，且APPM3，求动点P的轨迹方程.解答设点M，P的坐标分别为M(x0，y0)，P(x，y)，因为点M(x0，y0)在直线2xy30上，即8x4y30，从而点P的轨迹方程为8x4y30.规律与方法求解轨迹方程常用方法(1)直接法：直接根据题目中给定的条件进行确定方程.(2)定义法：依据有关曲线的性质建立等量关系，从而确定其轨迹方程.(3)代入法：有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的.如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方