【2019最新】精选高三人教A版数学一轮复习练习：第七章立体几何与空间向量第7节(理)第二课时

1、【 2019 最新】精选高三人教A 版数学一轮复习练习：第七章立体几何与空间向量第7 节（理）第二课时 基础训练组 1(导学号 14577717)已知四棱锥 SABCD的底面为平行四边形，SD底面 ABCD，SD1，AB2，AD1， DAB60°， M、N 分别为SB、SC中点，过 MN作平面 MNPQ分别与线段 CD、AB相交于点 P、Q.若，求二面角MPQB 的平面角大小 ()A60°B30°C45°D75°解析： A 在 ABCD中，设 AB2AD4， DCB60°，所以由余弦定理求得 BD，有 AB2AD2BD2，所以 ADB

2、D，6 分以 D为原点，直线 DA为 x 轴，直线 DB为 y 轴，直线 DS为 z 轴建立空间直角坐标系，且 A(1,0,0) ，B(0，0) ，S(0,0,1) ，M，又，则 Q.设平面 MNPQ的法向量为 n(x ，y，z) ，由，得 n(0 ， 1),易知平面 ABCD的法向量为 m(0,0,1)，则 cosm，n，所以二面角 MPQB 为 60°.2 ( 导学号 14577718)(2018 · 模拟 ) 已知正四 棱柱 ABCDA1B1C1D1中， AA12AB，E 为 AA1的中点，则异面直线BE与 CD1所成角的余弦值为 ()A.B. 15欢迎下载。C.D.

3、35解析： C 以 D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设 AA12AB2，则 D(0,0,0) ，C(0,1,0) ，B(1,1,0) ，E(1,0,1) ，D1(0,0,2) 所以 (0 ， 1,1) ， (0 ， 1,2) ，所以 cos， .3( 导学号 14577719)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中， AB1，AC2，BC， D，E 分别是 AC1和 BB1的中点，则直线DE与平面BB1C1C所成的角为 ()A.B.4C.D.2解析： A AB 1，AC2，BC，AC2BC2AB2， ABBC.三棱柱为直三棱柱，BB1平面 ABC.以 B 为原点， BC，BA，BB1所在

4、的直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 Bxyz ，则 A(0,1,0) ，C(，0,0) 设B1(0,0 ，a) ，则 C1(，0，a) ， D，E，平面 BB1C1C的法向量 (0,1,0) 设直线 DE与平面 BB1C1C所成的角为 ，则 sin |cos ，| ， .4( 导学号 14577720)如图，在四棱锥 PABCD中，四边形 ABCD 为平行四边形，且 BC平面 PAB，PAAB， M为 PB的中点， PAAD2. 若 AB1，则二面角 BACM的余弦值为 ()A.B.36【2019最新】精选高三人教版数学一轮复习练习：第七章立体几何与空间向量第

5、节（理）第二课时C.D.16解析： A BC平面 PAB，ADBC， AD平面 PAB，PAAD，又 PAAB，且 ADAB A， PA平面 ABCD.以点 A 为坐标原点，分别以AD，AB，AP所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Axyz.则 A(0,0,0) ，C(2,1,0) ，P(0,0,2) ，B(0,1,0) ，M， (2,1,0)，求得平面 AMC的一个法向量为 n(1 ， 2,1) ，又平面 ABC的一个法向量 (0,0,2) ， cosn， .二面角 BACM的余弦值为 .5( 导学号 14577721)如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，ACB90&#

6、176;， 2ACAA1BC2. 若二面角 B1DCC1的大小为 60°，则AD的长为 ()A.B.C2D.322解析： A 如图，以 C 为坐标原点， CA，CB，CC1所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系，则 C(0,0,0)，A(1,0,0) ，B1(0,2,2) ，C1(0,0,2) 设 ADa，则 D点坐标为 (1,0，a) ，(1,0 ，a) ， (0,2,2) 设平面 B1CD的法向量为 m(x ，y，z) 由，得，令 z 1，则 m(a,1 ， 1) 又平面 C1DC的一个法向量为 n(0,1,0) ，则由 cos 60 °，得，解得

7、a，3/103/10所以 AD. 故选 A.6 ( 导学号 14577722)(2018 ·模拟 ) 在长方体 ABCD A1B1C1D1 中， AB2，BCAA11，则 D1C1与平面 A1BC1所成角的正弦值为_.解析：以 D 为原点， DA为 x 轴， DC为 y 轴， DD1为 z 轴，建立空间直角坐标系，则 A1(1,0,1) ，C1(0,2,1) ，(1,2,0) ， (0,2 ， 1) ， ( 1,2,0)2yz 0，设 n(x ，y，z) 为平面 A1BC1的法向量，则即 x2y 0，令 z2，则 y1，x2，于是 n(2,1,2) ， (0,2,0) ，设所求线面角

8、为 ，则 sin |cos n，| .答案： 137( 导学号 14577723)如图，在正四棱锥 SABCD中， O为顶点在底面上的射影， P 为侧棱 SD的中点，且 SOOD，则直线 BC与平面PAC所成角为_.解析：如图所示，以 O为原点建立空间直角坐标系Oxyz. 设 OD SOOAOBOCa，则 A(a,0,0) ，B(0，a,0) ，C(a,0,0) ，P(0 ， ) 则 (2a,0,0) ， ( a， ) ， (a ，a,0) 设平面 PAC的法向量为 n，可求得 n(0,1,1) ，则 cos， n .， n 60°，直线 BC与平面 PAC的夹角为 90°

9、60°30°.答案： 30°8( 导学号 14577724)设正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 2，则【2019最新】精选高三人教版数学一轮复习练习：第七章立体几何与空间向量第节（理）第二课时点 D1到平面 A1BD的距离是 _ .解析：如图建立空间直角坐标系，则 D1(0,0,2) ，A1(2,0,2) ，D(0,0,0) ，B(2,2,0) ， (2,0,0)， (2,0,2)， (2,2,0) .设平面 A1BD的一个法向量 n(x ，y，z) ，则 .令 x1，则 n(1 ， 1， 1) ，点 D1到平面 A1BD的距离 d .答案： 2 339(

10、 导学号 14577725)如图，在四棱锥 PABCD中，底面 ABCD 是平行四边形， BCD135°，侧面 PAB底面 ABCD， BAP90°，ABACPA2，E，F 分别为 BC，AD的中点，点 M在线段 PD上(1) 求证： EF平面 PAC；(2) 如果直线 ME与平面 PBC所成的角和直线 ME与平面 ABCD所成的角相等，求的值解：(1) 证明：在平行四边形 ABCD中，因为 ABAC，BCD135°，所以 ABAC.由 E，F 分别为 BC，AD的中点，得 EFAB,所以 EFAC.2 分因为侧面 PAB底面 ABCD，且 BAP90°

11、，所以 PA底面 ABCD.又因为 EF? 底面 ABCD，所以 PAEF.4 分又因为 PAAC A，PA? 平面 PAC，AC? 平面 PAC，所以 EF平面PAC. 5分5/105/10(2) 因为 PA底面 ABCD，ABAC，所以 AP，AB，AC两两垂直，故以 AB，AC，AP分别为 x 轴、 y 轴和 z 轴，如图建立空间直角坐标系，则 A(0,0,0) ，B(2,0,0) ，C(0,2,0) ，P(0,0,2) ，D(2,2,0) ，E(1,1,0) ，7 分所以 (2,0 ， 2) ， ( 2,2 ， 2) ， ( 2,2,0) ，BC设 ( 0,1)，则 ( 2，2， 2)

12、 ，所以 M(2，2，22) ， (1 2，12，22) ，易得平面 ABCD的法向量 m(0,0,1) 设平面 PBC的法向量为 n(x ，y，z) ，9 分 2x 2y 0，由得2x 2z 0，令 x1，得 n(1,1,1)10 分因为直线 ME与平面 PBC所成的角和直线ME与平面 ABCD所成的角相等，所以 |cos ， m| |cos ， n| ，即，所以 |2 2| ，解得 ，或 ( 舍) 综上所得：12 分10( 导学号 14577726)(2018 ·一模 ) 如图甲：O的直径 AB2，圆上两点 C，D 在直径 AB的两侧，使 CAB， DAB，沿直径 AB 折起，使

13、两个半圆所在的平面互相垂直 ( 如图乙 ) ，F 为 BC 的中点，根据图乙解答下列各题：(1) 若点 G是的中点，证明： FG平面 ACD；【2019最新】精选高三人教版数学一轮复习练习：第七章立体几何与空间向量第节（理）第二课时(2) 求平面 ACD与平面 BCD所成的锐二面角的余弦值解： (1) 证明：连接 OF，FG，OG， F，O是 BC，AB的中点， FOAC， FO?平面 ACD，AC? 平面 ACD， FO平面 ACD， DAB，且 G是 BD弧的中点， BOG，则 ADOG， OG?平面 ACD，AD? 平面 ACD， OG平面 ACD， FOOGO，FO，OG? 平面 FO

14、G，平面 FOG平面 ACD，又 FG? 平面 FOG， FG平面 ACD(2) 如图，设 H为弧 DG的中点，建立以 O为坐标原点， OH，OB，OC分别为 x，y，z 轴的空间直角坐标系如图；则 A(0， 1,0) ，B(0,1,0) ，C(0,0,1) ，D(， 0) ，G(，0) ，设平面 ACD的法向量为 m(x ，y，z) ，则(0,1,1)， ( ，0) ，则由 m· yz0，m· xy 0，得，令 y，则 m(1 ， ) ，同理可得平面 BCD的法向量为 n( ，1,1) ，则 cosm，n，即平面 ACD与平面 BCD所成的锐二面角的余弦值是 . 能力提升

15、组 7/107/1011( 导学号 14577727)在正三棱柱 ABCA1B1C1中，若 ABAA14，点 D是 AA1的中点，则点 A1 到平面 DBC1的距离是 ()A.B.22C.D.33解析： 过点 A 作 AC的垂线为 x 轴，以 AC为 y，轴以 AA1为 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，正三棱柱 ABCA1B1C1中，若 ABAA14，点 D 是 AA1的中点， B(2，2,0) ，C1(0,4,4) ，D(0,0,2) ，A1(0,0,4) ， (2 ，2， 2) ， (0,4,2) ， (0,0,2) ，设平面 BDC1的法向量为 n(x ，y，z) ， n·

16、; 0，n· 0， n( ， 1,2) ，点 A1 到平面 DBC1的距离 d . 故选 A.12( 导学号 14577728)已知正三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则 AB1与侧面 ACC1A1所成角的正弦值等于 ()A.B.104C.D.32解析： A 如图，以 A1C1中点 E 为原点建立空间直角坐标系E xyz，设棱长为 1，则 A，B1.设 AB1与平面 ACC1A1所成的角为 ，EB1为平面 ACC1A1的法向量则 sin |cos ，| 【2019最新】精选高三人教版数学一轮复习练习：第七章立体几何与空间向量第节（理）第二课时1332，2，1·

17、;0，2，03，故选 A.2×213( 导学号14577729)如图，已知点 E、F 分别在正方体 ABCD A1B1C1D1的棱 BB1、CC1上，且 B1E2EB，CF2FC1，则平面 AEF与平面 ABC所成的二面角的正切值为_.解析：如图，建立空间直角坐标系Dxyz ，设 DA1，由已知条件得， A(1,0,0) ，E，F， ， . 设平面 AEF的法向量为n(x ，y，z) ，平面 AEF与平AE面 ABC所成的二面角为 ，由，得 .令 y1，则 n( 1,1 ， 3) 又平面则 cos答案：ABC的一个法向量为m(0,0 ， 1) ，|cosn，m| ，所以 tan.23

18、14( 导学号14577730)(2018 ·二模 ) 如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中， A1B12，AA1h，E 为 BB1的中点(1) 若 h2，请画出该正三棱柱的正 ( 主) 视图与侧 ( 左) 视图(2) 求证：平面 A1EC平面 AA1C1C；(3) 当平面 A1EC与平面 A1B1C1所成的锐二面角为 45°时，求该正三棱柱外接球的体积解： (1) ABC是边长为 2 的正三角形， ABC的高为，又 h2，正视图为边长为 2 的正方形，左视图为边长为 2 和的矩形，作出正 ( 主) 视图与侧： ( 左) 视图如下：(2) 证明：连接 AC1交 A1C于 F，取 A1C1的中点 M，连接 EF，FM，9/109/10MB1.四边形 ACC1A1是矩形， F 是 AC1的中点 EFMB1. A1B1C1是正三角形， MB1 A1C1. AA1平面 A1B1C1，MB1? 平面 A1B1C1， AA1MB1，又 AA1A1C1A1， MB1平面 ACC1A1，又 MB1EF， EF平面 ACC1A1，又 EF? 平面 A1EC，平面 A1EC平面 AA1C1C.(3) 以 M为原点，