数理方程期末试题07082B答案

1、百度文库-让每个人平等地提升自我0c1 1北京交通大学2007-2008 学年第二学期数理方程与特殊函数期末考试试卷（B）/（参考答案）学院_ 专业_班级_学号_姓名_题号-一-二二三四五六七八总分得分阅卷人一、 计算题（共 8080 分，每题 1616 分）1 1.求下列定解问题（1515 分）2 2u2u亏a2A, 0 xt2x2l,t0,u |x 0M1,ux lM2,u |t 00,|t 00.t2 2.用积分变换法及性质，求解半无界弦的自由振动问题：(1515 分)2门utta uxx,0 x,t0,u(x,0)0, ut(x,0)0,u(0,t)(t), lim u(x,t)x0.

2、3 3.设弦的两端固定于x 0及x l，弦的出示位移如下图所示。初速度为零，又没有外力 作用。求弦做横向振动时的位移u（x,t）。u(x,0)u(x,0)百度文库-让每个人平等地提升自我2 2解问题的定解条件是u(x,t)(CnCOStDnsin罕t)sinx由初始条件可得Dn4 4.Cnih0c2hl2c(l c)n20,xsin * xdx在(x l)sinxdx证明在变换x x at,at, x x atat 下,波动方程Utta2uxx具有形式解un0,并由此求出波动方程的通解。5 5.用分离变量法解下列定解问题2uu |x 0U |t 022Ua2x0,u |xI0 计sin2rxs

3、i提示：1 1）可以直接给出问题的固有函数,不必推导;2 2）利用参数变易法。解对应齐次方程的定解问题的固有函数是sin牛x，其解可以表示成u(x,t)vn(t )sin 牛 x1把原问题中非齐次项f（x,t） sin xs in2at按照固有函数展开成级数因此有n 1f(x,t)sin 2- xsin牛tfn(t)si nxfn(t)2 asinjt,n 2;0, n 1,3,4,.利用参数变易法，有百度文库-让每个人平等地提升自我3 3tV2(x,t)鲁sin罕sin(t )d /(/si n罕t tcost)Vn(x,t)0,n1,3,4,5,.u(x,t)着(占sin牛t tcos牛t

4、)sin-x6 6. 用 BesselBessel 函数法求解下面定解问题于是2uu |r R22/ Ua (2r0,U |r 0u |t 0r21 ,RtIt解用分离变量法求解。令u( ,t) R()T(t)，则可得以及(I)T (t)T(0)a22T(t) 02R()(II )R()R(,R(0)2 2R( ) 0设n n 0为 BesselBessel 函数Jo(x)的正零点,则问题(IIII)的特征值和特征函数分别为问题(I I)的解为于是原问题的解是由初始条件得到Rn(Tn(t)u( ,t)()20J。(记)anCnCOSRn( )Tn(t)CnJ0(十)COsftu( ,0)(1)

5、dJ2(n)8nJ1(n)百度文库-让每个人平等地提升自我4 4由于n是J(x)的零点，也即J(n)0,而且又有百度文库-让每个人平等地提升自我5 5u( ,t)Rn( )Tn(t)证明题(共 2 2 分，每题 1010 分)7 7.证明平面上的 GreenGreen 公式(弓-(Qcos Pcos )dsDC再设 u,vu,v 在 D D 内有二阶连续偏导数，在D+CD+C 上有-阶连续偏导数，令Qu,Pu气得到u vdu vX XDDu(vcosv7cos)ds u 十 dsCC交换 u,vu,v，得到v udDu v(X XDu v Jy y)duV(二COSuycos )dsvTdsC C上面第二式减去第一式，得到(v u u v)d(v-uV)dsDC证毕。J Jo(x)(x) J J2(X)(X)4 4 J Ji(x)(x)故于是最后得到原问题的解是J2(n)_2_J1(n)n4J2(n)J2(n)a)COS 屮(v(v2u u u uD2v)dv)d(Vn(Vn u u -rr)ds-rr)dsC其中 C C 是区域 D D的边界曲线,dsds 是弧长微分。证明为 coscos设 p(x,p(x, y),y), Q(x,Q(x, y)y)在 D+CD+C 上有一阶连续偏导数, coscos ，则有n n 为 C C 的外法线方向,其方向余弦百度文库-让每个人