【2019最新】精选高中数学北师大版必修5习题：第二章解三角形检测

1、【 2019 最新】精选高中数学北师大版必修5 习题：第二章解三角形检测( 时间 :120 分钟满分 :150 分)一、选择题 ( 本大题共 12 小题 , 每小题 5 分, 共 60 分. 在每小题给出的四个选项中 , 只有一项是符合题目要求的 )1. 如果等腰三角形的周长是底边长的5 倍, 那么它的顶角的余弦值为()A.B.C.D.解析 : 由题意 , 设底边长为 a, 则腰长为 2a, 设顶角为 , 由余弦定理 , 得 cos =.答案 :D2. 在 ABC中, 角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 若 a2+c2-b2=ac, 则角 B 的正切值为()A.B.C.-D.-解析 :

2、 由 a2+c2-b2=ac,得 cos B=, sin B=, tan B=, 故选 A.答案 :A3. 在 ABC中, 角 A,B,C 所对的边分别为a,b,c,且(b- c) ·cos A=acos C,则 cos A 的值等于 ()A.B.C.D.解析 : 由正弦定理 ,得 sin Bcos A=sin Ccos A+cos Csin A,欢迎下载。 sin Bcos A=sin(A+C)=sin B. sin B 0, cos A=1. cos A=.答案 :B4. 在 ABC中, 角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, 若 a=2,b=3,C=135°,

3、则ABC的面积等于 ()A.B.3C.3D.解析 : ABC的面积等于 absinC=×2×3×.答案 :A5. 在 ABC中, 角 A,B,C 的对边分别为a,b,c.若 a=2,b=2, 且三角形有两解 ,则 A的范围是 ()A.B.C.D.解析 : 由题设知 a>bsinA, sin A<. a<b,0<A<,即 A, 故选 B.答案 :B6. 设 ABC的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, 若 bcos C+ccos B=asinA, 则 ABC的形状为 ()A. 直角三角形B. 锐角三角形C.钝角三角形D.不确定

4、解析: , sin Bcos C+sin Ccos B=sin Asin A,即 sin(B+C)=sin2A, 即 sin A=1. A=.故选 A.答案 :A2【2019最新】精选高中数学北师大版必修习题：第二章解三角形检测7. 已知 ABC的面积为 ,AC=, ABC=,则 ABC的周长等于 ()A.3+B.3C.2+D.解析 : 由余弦定理 , 得 b2=a2+c2-2accos B, 即 a2+c2-ac=3.ABC的面积为 acsin, 即 ac=2. a2+c2+2ac=9,a+c=3,即 a+c+b=3+,故选 A.答案 :A8. 已知 ABC的内角 A,B,C 所对边的长分别

5、为 a,b,c, 设向量p=(a+c,b),q=(b-a,c-a).若 pq, 则 C的大小为 ()A.B.C.D.解析 : pq, (a+c)(c-a)=b(b-a). c2-a2=b2-ab, ab=b2+a2-c2.由余弦定理 , 得 cos C=, C=.答案 :B9. 在 ABC中, 角 A,B,C 所对的边分别为a,b,c.若 acos A=bsin B,则 sinAcos A+cos2B 等于 ()A.-B.C.-1D.1解析 : 由正弦定理 , 得=2R, a=2Rsin A,b=2Rsin B, acos A=bsin B 可化为 sin Acos A=sin2 B.3 /

6、93 / 9 sin Acos A+cos2B=sin2B+cos2B=1.答案 :D10. 在 ABC中,B=60°,AC=, 则 AB+2BC的最大值为()A.2B.2C.D.7解析 : 由正弦定理 , 得, AB=2sin C,BC=2sin A. A+C=120°, AB+2BC=2sin C+4sin(120°-C)=2(sin C+2sin 120°cos C- 2cos 120 °sin C)=2(sin C+cos C+sin C)=2(2sin C+cos C)=2sin(C+ ),其中 tan =, 是第一象限角 . 0&#

7、176;<C<120°, 且是第一象限角 , AB+2BC有最大值 2.答案 :B11. 如图 ,l1,l2,l3是同一平面内的三条平行直线 ,l1 与 l2 间的距离是1,l2与 l3 间的距离是 2, 等边三角形 ABC的三个顶点分别在l1,l2,l3上,则 ABC的边长是 ()A.2B.C.D.解析 : 如图 , 设 AB=a,则由已知 , 得 AD=a.在 ABD中, 由余弦定理 ,知 cos A=.由 SABC=BD·3=, 得 BD=,4【2019最新】精选高中数学北师大版必修习题：第二章解三角形检测代入式 , 得 a=.答案 :D12. 在 ABC

8、中,A=60°, 且最大边长和最小边长是方程 x2-7x+11=0 的两个根, 则第三边的长为 ()A.2B.3C.4D.5解析 : 由 A=60°, 不妨设 ABC中最大边与最小边分别为 b,c, 故 b+c=7,bc=11.由余弦定理 , 得 a2=b2+c2-2bccos 60 °=(b+c)2-3bc=72- 3×11=16. a>0,a=4.答案 :C二、填空题 ( 本大题共 4 小题 , 每小题 5 分, 共 20 分. 把答案填在题中的横线上 )13. 已知 a,b,c分别为 ABC三个内角 A,B,C 的对边 , 若 cosB=,a

9、=10, ABC的面积为 42, 则 b+的值等于.答案 :1614. 已知 ABC的三边长成公比为的等比数列 , 则其最大角的余弦值为.解析 : 依题意 , 设 ABC三边长分别为 a,a,2a(a>0), 则最大边 2a 所对角的余弦值为 =-.答案 :-15. 在 RtABC中,C=90°, 且 A,B,C 所对的边 a,b,c 满足 a+b=cx, 则实数 x的取值范围是.解析 :x=5 / 95 / 9=sin A+cos A=sin. A, <A+, <sin 1, 即 x(1,.答案 :(1,16. 已知 a,b,c是 ABC的三边 ,S 是 ABC的

10、面积 , 若 a=4,b=5,S=5, 则 c 的值是.解析 : 由题意得 S=absin C,所以 5×4×5sin C, 即 sin C=,所以 cos C=±.因为 c2=a2+b2-2abcos C,所以 c2=42+52-2×4×5×或 c2=42+52+2×4×5×. 所以 c=.答案 :三、解答题 ( 本大题共 6 小题 , 共 70 分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 )17.(10 分) 在 ABC中, 角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 已知 sin Asin B+

11、sin Bsin C+cos 2B=1.(1) 求证 :a,b,c 成等差数列 ;(2) 若 C=,求的值 .(1) 证明 : 由题意得 sin Asin B+sin Bsin C=2sin2B.因为 sin B 0, 所以 sin A+sin C=2sin B.由正弦定理 , 得 a+c=2b, 即 a,b,c成等差数列 .(2) 解: 由 C=,c=2b-a 及余弦定理 , 得(2b-a)2=a2+b2+ab, 即 5ab-3b2=0, 所以.6【2019最新】精选高中数学北师大版必修习题：第二章解三角形检测18.(12 分) 设 ABC的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 且(

12、a+b+c)(a-b+c)=ac.(1) 求 B的大小;(2) 若 sin Asin C=,求 C的大小 .解:(1) 因为 (a+b+c)(a-b+c)=ac,所以 a2+c2-b2=-ac.由余弦定理 , 得 cos B=-,所以 B=120°.(2) 由(1) 知 A+C=60°,所以 cos(A-C)=cos Acos C+sin Asin C=cos Acos C-sin Asin C+2sin Asin C=cos(A+C)+2sin Asin C=+2×.故 A-C=30°或 A-C=-30°, 所以 C=15°或 C=

13、45°.19.(12 分) ABC中, 角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c. 已知 cos B=,sin(A+B)=,ac=2, 求 sin A 和 c 的值 .解: 在 ABC中, 由 cos B=, 得 sin B=. 因为 A+B+C=,所以 sin C=sin(A+B)=.因为 sin C<sin B,所以 C<B,可知 C为锐角 ,所以 cos C=.因此 sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C=.7 / 97 / 9由 , 可得 a=2c,又 ac=2, 所以 c=1.20.(12 分) 设 ABC的内角 A,B,C

14、的对边分别为 a,b,c,a=btan A, 且 B 为钝角 .(1) 证明 :B-A=;(2) 求 sin A+sin C的取值范围 .(1) 证明 : 由 a=btan A 及正弦定理 , 得, 所以 sin B=cos A, 即 sin B=sin. 又 B 为钝角 , 因此 +A, 故 B=+A,即 B-A=.(2) 解: 由(1) 知,C=-(A+B)= -2A>0, 所以 A, 于是 sin A+sin C=sin A+sin=sin A+cos 2A=-2sin2A+sin A+1=-2.因为 0<A<,所以 0<sin A<,因此 <-2.由

15、此可知 sin A+sin C的取值范围是 .21.(12 分) 某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度 ( 如图所示 ),A,B,C 三地位于同一水平面上 , 在 C处进行该仪器的垂直弹射 , 观测点 A,B 两地相距 100 m, BAC=60°, 在 A 地听到弹射声音的时间比 B 地晚 s. 在 A 地测得该仪器至最高点 H时的仰角为 30°, 求该仪器的垂直弹射高度 CH(声音的传播速度为 340 m/s).解: 由题意 , 设 AC=x m,则 BC=x-×340=(x -40)m.在 ABC中, 由余弦定理 , 得 B

16、C2=BA2+CA2-BA·CA·cosBAC, 即 (x-40)2=x2+10 000-100x, 解得 x=420.在 ACH中,AC=420 m,CAH=30°, ACH=90°, 所以 CH=AC·tan CAH=140(m).答 : 该仪器的垂直弹射高度CH为 140 m.8【2019最新】精选高中数学北师大版必修习题：第二章解三角形检测22.(12 分) 如图所示 , 某市拟在长为 8 km 的道路 OP的一侧修建一条运动赛道 . 赛道的前一部分为曲线段 OSM,该曲线段为函数 y=Asin x(A>0, >0),x 0,4 的图像, 且图像的最高点为 S(3,2); 赛道的后一部分为折线段 MNP,为保证参赛运动员的安全 , 限定 MNP=120°.(1) 求 A, 的值和 M,P 两点间的距离 ;(2) 应如何设计 , 才能使折线段 MNP最长 ?解:(1) 由题意 , 得 A=2=3. T=,=. y=2sin.当 x=4 时,y=2 sin=3,