【2019最新】精选高中数学初高中衔接读本专题5

1、【2019最新】精选高中数学初高中衔接读本专题5三角形是最重要的基本平面图形，它包含了丰富的知识，也蕴含了深刻的思想，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题。三角形与高中三角函数、向量、解三角形及立体几何等部分都有密切的联系，因而扎实掌握三角形的相关知识是进一步学习的基础。初中阶段大家已经学习了三角形边上中线、高线、垂直平分线及内角平分线的一些性质。如三角形角平分线上的点到这个角两边的距离相等；三角形边的垂直平分线上的点到这条边两个端点的距离相等，诸如此类。在高中学习中， 还会涉及到三角形三条中线交点（重心）、三条高线交点 （垂心）、三条边的垂直平分线交点（外心）及三条内角平分线交点（内心

2、）的问题，因而有必要进一步了解它们的性质。【知识梳理】三角形的四心(1) 角平分线：三角形的三条角平分线交于一点，这点叫做三角形的内心，它到三角形各边的距离相等(2) 高线：三角形的三条高线交于一点，这点叫做三角形的垂心(3) 中线：三角形的三条中线交于一点，这点叫做三角形的重心(4) 垂直平分线：三角形的三条垂直平分线交于一点，这点叫做三角形的外心，外心到三角形三个顶点的距离相等【高效演练】1如图所示，在 ABC中，点 P 是 ABC的内心，则 PBC PCA PAB欢迎下载。度2设为的重心，且，则的面积为 M ABC AM3 BM4CM5ABC【解析】由，有，AM3 BM4 CM5 AM2

3、BM2CM 2知两中线，垂直AD BE于是S ABC3AMBM182【答案】 183已知、分别为锐角的垂心和外心， ，垂足为，则_ H O ABC ODBC D AHOD【解析】可延长交的外接圆于，证明四边形为平行四边形即可BO ABC E AHCE【答案】 214. 如图，正方形 ABCD的对角线 AC、BD相交于点 O，在 OB上任取一点 P，连结AP，过 D 作 AP垂线交 OA于 Q点求证： OPOQ【解析】 在 APD中，由 AOPD，DQAP可知，点 Q是 APD的垂心，连结 PQ，必有 PQADABAD， PQBA， OP OQ OB OA又 OAOB， OPOQ5. 如图 3，

4、在 ABC中，ABAC，过 BC的中点 D作 DEAC于点 E，G是 DE的中点，求证： AGBE【2019最新】精选高中数学初高中衔接读本专题6. 求证：三角形的三条高交于一点 .已知中，AD与 BE交于 H点. V ABC AD BC于D, BE AC于E，求证 .CH AB证明以 CH为直径作圆，D、 E 在以 CH为直径的圆上，?FCB?DEH .同理， E、D在以 AB为直径的圆上，可得 . ? BED? BAD?BCH?BAD，又与有公共角，即 . V ABD VCBF D B? CFB? ADB90o CH AB7. （1）设 G是 ABC的重心，证明： GBC， GAC， GA

5、B的面积相等（ 2）利用（ 1）的结论，证明：三角形顶点到重心的距离，等于重心到对边中点的距离的 2 倍【分析】（1）设三条中线为 AD，BE，CF，三中线交于 G点， G是重心，由同底等高得到 SGBC=2SGCD，SGAC=2SGCD，由此能证明 GBC， GAC， GAB的面积相等（ 2）设三条中线为 AD，BE，CF，三中线交于 G点，G是重心，由 SGBC=SGAC，SGBC=2SGCD，得到 SGAC=2SGCD，由此能证明三角形顶点到重心的距离，等于重心到对边中点的距离的2 倍（ 2）证明：设三条中线为 AD，BE，CF，三中线交于 G点， G是重心， GBC， GAC， GAB

6、的面积相等，SGBC=SGAC，3 / 53 / 5BD=CD， SGBC=2SGCD，SGAC=2SGCD， AGC和 DGC在分别以 AG和 DG为底时，高都是点C到边 AD的距离，AG=2GD，同理可证CG=2GF，BG=2GE，三角形顶点到重心的距离，等于重心到对边中点的距离的2 倍【点评】本题考查三角形面积相等的证明，考查三角形重心定理的证明，解题时要注意三角形面积公式的合理运用8. 已知三角形的三边 a，b，c，三角形的重心到外接圆的距离为 d，外接圆半径为 R，求证： a2+b2+c2+9d2=9R2【分析】以 ABC的外心为原点建立坐标系， 可令 A、B、C的坐标依次是：（Rc

7、os，Rsin ）、（Rcos，Rsin ）、（Rcos，Rsin ）令 AB中点为 D、 ABC的重心为 G（m，n），求出 m，n，进而可证明 a2+b2+c2+9d2=9R2于是：a2=（RcosRcos）2+（Rsin Rsin ）2=R2（22coscos2sin sin ）b2=（RcosRcos）2+（Rsin Rsin ）2=R2（22coscos2sin sin ），c2=（RcosRcos）2+（Rsin Rsin ）2=R2（22coscos2sin sin ）9d2=9 （m0）2+（n0）2=9R （cos+cos+cos） 02+R（ sin +sin +sin ）

8、 02=R2（cos+cos+cos）2+（sin +sin +sin ）2【2019最新】精选高中数学初高中衔接读本专题=R2（ 3+2coscos+2coscos+2coscos +2sin sin +2sin sin +2sin sin ）a2+b2+c2+9d2=9R29. 一条直线截三角形，把周长与面积分为对应的两部分：与，与l S l1 l 2 S1S2求证：直线过三角形内心的充要条件是l1S1l2S2【解析】证明：必要性：如图1，设是的内心，过的直线交于，交于 I ABC IAB PAC Q记， ， BCa CA b ABc APm AQn内切圆半径为，则， r S ABC1bc)rs(a2S APQ S APIS AQI1(mn)r21b c)r由，有 S(aab cll 1S12S2S11n )rm nl 1 l 2(m2充分性：设直线把的周长与面积分为对应的两部分成等比，PQ ABC l S l1S1l2S2且与交于，与交，与的平分线交于ABPACQA I记， BCa CAb ABc AP m AQnI 到，的距离为，到的距离为AB AC r IBC