【2019最新】精选高中数学人教A版选修2-2习题：第二章推理与证明检测A

1、【 2019 最新】精选高中数学人教A 版选修 2-2 习题：第二章推理与证明检测A( 时间 :90 分钟满分 :120 分)一、选择题 ( 本大题共 10 小题 , 每小题 5 分, 共 50 分. 在每小题给出的四个选项中 , 只有一项是符合题目要求的)1 数列 2,5,11,20,x,47, 中的 x 等于 ()A.28B.32C.33D.27解析由 5-2=3,11-5=6,20-11=9,x-20=12,得 x=32.答案 B2 用反证法证明一个命题时, 下列说法正确的是 ()A. 将结论与条件同时否定 , 推出矛盾B. 肯定条件 , 否定结论 , 推出矛盾C.将被否定的结论当条件

2、, 经过推理得出的结论只与原题条件矛盾, 才是反证法的正确运用欢迎下载。D.将被否定的结论当条件 , 原题的条件不能当条件答案 B3 由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想“正四面体的内切球切于四个面”.()A. 各正三角形内一点B. 各正三角形的某高线上的点C.各正三角形的中心D.各正三角形外的某点解析正三角形的边对应正四面体的面, 即正三角形所在的正四面体的面, 所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心.故选C.答案 C4 已知 c>1,a=,b=, 则正确的结论是 ()A.a>bB.a<bC.a=bD.a,b 大小不定解析 a=,b=, 而, a<b

3、.答案 B2【2019最新】精选高中数学人教版选修2-习题：第二章推理与证明检测5 下列结论正确的是 ()A. 当 x>0, 且 x1时,lg x+2B. 当 x>0 时, 2C.当 x2时,x+ 的最小值为 2D.当 0<x2时,x- 无最大值解析选项 A 错在 lg x的正负不明确 ; 选项 C错在等号成立的条件不存在;根据函数 f(x)=x-的单调性 , 当 x=2 时,f(x)取最大值 , 故选项 D错误 .答案 B6 观察下列各式 :a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11, 则a10+b10=()A.28B.76C.123D.1

4、99解析利用归纳法:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4=3+1,a4+b4=4+3=7,a5+b5=7+4=11,a6+b6=11+7 =18,a7+b7=18+11=29,a8+b8=29+18=47,a9+b9=47+29=76,a10+b10=76+47=123.3/113/11规律为从第三组开始 , 其结果为前两组结果的和.答案 C7 设 xi,ai(i=1,2,3)均为正实数 , 甲、乙两位同学由命题“若x1+x2=1,则 ()2 ”分别推理得出了新命题:甲: 若 x1+x2+x3=1, 则 ()2;乙: 若 x1+x2+x3+x4=1,则 ()2.他们所用的推理方法是()A

5、. 甲、乙都用演绎推理B. 甲、乙都用类比推理C.甲用演绎推理 , 乙用类比推理D.甲用归纳推理 , 乙用类比推理答案 B8 已知数列 an 的前几项为 , 则猜想数列 an 的通项公式为 ()A.an=B.an=4【2019最新】精选高中数学人教版选修2-习题：第二章推理与证明检测C.an=D.an=解析 , 于是猜想数列 an 的通项公式为 an=.答案 C9 已知数列 an 的前 n 项和 Sn=n2·an(n 2,n N), 而 a1=1, 通过计算a2,a3,a4, 猜想 an 等于 ()A.B.C.D.解析 Sn=n2·an(n 2),a1=1, S2=4a2=

6、a1+a2? a2=, S3=9a3=a1+a2+a3? a3=, S4=16a4=a1+a2+a3+a4? a4=.故猜想 an=.答案 B10 用数学归纳法证明“ 1+<n(nN*,n>1) ”时 , 由 n=k(k>1) 不等式成立 , 推证 n=k+1 时, 左边应增加的项数是 ()5/115/11A.2k-1B.2k-1C.2kD.2k+1答案 C二、填空题 ( 本大题共 5 小题 , 每小题 5 分, 共 25 分. 把答案填在题中的横线上 )11 已知 x,y R,且 x+y<2, 则 x,y 中至多有一个大于1, 在用反证法证明时, 假设应为.解析“至多

7、有一个大于1”包括“都不大于1 和有且仅有一个大于1”, 故其对立面为“ x,y 都大于 1”.答案 x,y 都大于 112 观察数列 ,3,3, 写出该数列的一个通项公式为.解析将各项统一写成根式形式为, 即 , 被开方数是正奇数的3 倍, 故an=(nN*).答案 an=(nN*)13 以下是对命题“若两个正实数a1,a2 满足 =1, 则 a1+a2”的证明过程:6【2019最新】精选高中数学人教版选修2-习题：第二章推理与证明检测证明 : 构造函数 f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2=2x2-2(a1+a2)x+1,因为对一切实数 x, 恒有 f(x) 0, 所以 0, 从而得

8、4(a1+a2)2- 80, 所以 a1+a2.根据上述证明方法 , 若 n 个正实数满足 +=1, 你能得到的结论为( 不必证明 ).解析依题意 , 构造函数 f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2+(x -an)2,则有f(x)=nx2-2(a1+a2+an)x+1,=- 4n=4(a1+a2+an)2 - 4n0,即有 a1+a2+an.答案 a1+a2+an14 若等差数列 an 的前 n 项之和为 Sn, 则 S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12 成等差数列 . 类比以上结论有 : 若等比数列 bn 的前 n 项之积为 Tn, 则T4, 成等比数列 .解析本题是数列与类比

9、推理相结合的问题, 既考查了等差数列与等比数列的知识 , 又考查了通过已知条件进行类比推理的方法和能力.答案15 设 C1,C2,C3, 为一组圆 , 其作法如下 :C1 是半径为 a 的圆 , 在 C1 的圆内作四个相等的圆C2(如图 ), 每个圆 C2 和圆 C1 都内切 , 且相邻的两个7/117/11圆 C2均外切 ; 在 C2的每一个圆中 , 用同样的方法作四个相等的圆 C3,依此类推作出 C4,C5,C6, .(1) 其中 C2 中每个圆的半径长等于( 用 a 表示 );(2) 猜想 Cn 中每个圆的半径长为( 用 a 表示 , 不必证明 ).答案 (-1)a(-1)n-1a三、解

10、答题 ( 本大题共 5 小题 , 共 45 分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 )16(8 分) 若 x,y>0, 且 x+y>2, 求证 :<2 和<2 中至少有一个成立 .证明假设 2, 且 2, 则 1+x2y,1+y 2x, 所以 (1+x)+(1+y) 2y+2x, 即x+y2, 与题设矛盾 . 故假设不成立 , 原命题成立 .17(8 分) 已知命题“若数列 an 是等比数列 , 且 an>0, 则数列bn,bn=(n N*) 也是等比数列” . 类比这一性质 , 你能得到关于等差数列的一个什么性质 ?并证明你的结论 .解类比等比数列的性质

11、, 可以得到等差数列的一个性质是: 若数列 an 是等差数列 , 则数列 bn,bn= 也是等差数列 . 证明如下 :设等差数列 an 的公差为 d, 则 bn=a1+(n-1), 所以数列 bn 是以 a1为首项 , 为公差的等差数列 .8【2019最新】精选高中数学人教版选修2-习题：第二章推理与证明检测18(9 分) 设 nN*,xn 是曲线 y=x2n+2+1 在点 (1,2) 处的切线与 x 轴交点的横坐标 .(1) 求数列 xn 的通项公式 ;(2) 记 Tn=, 证明 :Tn .(1) 解 y'=(x2n+2+1)'=(2n+2)x2n+1, 曲线 y=x2n+2

12、+1 在点(1,2) 处的切线斜率为 2n+2,从而切线方程为y-2=(2n+2)(x-1).令 y=0, 解得切线与 x 轴交点的横坐标 xn=1-.(2) 证明由题设和 (1) 中的计算结果知Tn=.当 n=1 时,T1=.当 n2时, 因为 ,所以 Tn>× ×.综上可得对任意的nN*, 均有 Tn.9/119/1119(10 分) 如图 , 设抛物线 y2=2px(p>0) 的焦点为 F, 经过点 F 的直线交抛物线于 A,B 两点 , 点 C在抛物线的准线上 , 且 BCx轴. 求证 : 直线 AC经过原点 O.证明因为抛物线y2=2px(p>0

13、) 的焦点为 F,所以经过点 F 的直线 AB的方程可设为 x=my+,代入抛物线方程 , 可得y2-2pmy-p2=0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1,y2 是该方程的两个根 ,所以 y1y2=-p2.因为 BCx轴, 且点 C在准线 x=- 上,所以点 C 的坐标是 ,故直线 CO的斜率为 k=,即 k 也是直线 OA的斜率 . 故直线 AC经过原点 O.20(10 分) 设 f(n)=1+ +, 问是否存在关于自然数 n 的函数 g(n) 使等式 f(1)+f(2)+ +f(n - 1)=g(n) ·f(n) -1 对于 n2的一切自然数都成立 ?若存在 , 证明你的结论 .10【2019最新】精选高中数学人教版选修2-习题：第二章推理与证明检测解当 n=2 时, 由 f(1)=g(2)·f(2)-1,得 g(2)=2,当 n=3 时, 由 f(1)+f(2)=g(3)·f(3)-1,得 g(3)=3,猜想 g(n)=n(n 2).下面用数学归纳法证明: 当 n2时, 等式 f(1)+f(2)+f(n -1)=nf(n)-1恒成立 .当 n=2 时, 由