模型参考自适应控制ModelReferenceAdaptiveControl简称MRAC

1、（2004年教案） 辨识与自适应 第九章1第九章 模型参考自适应控制(Model Reference AdaptiveControl)简称MRAC介绍另一类比较成功的白适应控制系统，已有较完整的设计理 论和丰富的应用成果(驾驶仪、航天、电传动、核反应堆等等)。 91 MRAC的基本概念系统包含一个参考模型，模型动态表征了对系统动态性能的理 想要求，MRAC力求使被控系统的动态响应与模型的响应相一致。 与STR不同之处是MRAC没有明显的辨识部分，而是通过与参考模 型的比较，察觉被控对象特性的变化，具有跟踪迅速的突出优点。设参考模型的方程为Xm=AmXm+Br式(9-1-1)ym=CXm式(9-

2、1-2)被控系统的方程为.XS=AS*BS式(9-1-3)VsCXS式(9-1-4) 两者动态响应的比较结果称为广义误差，定义输出广义误差为e = ym- ys式(9-1-5)；（2004年教案） 辨识与自适应 第九章2状态广义误差为5 = Xm-Xs式(9-1-6)。白适应控制的目标是使得某个与广义误差有关的白适应控制性能指标J达到最小。J可有不同的定义，例如单输出系统的t2J =0e ( )d或多输出系统的tTJ =eT( )e( )d0式(9-1-8)MRAC的设计方法目的是得出白适应控制率，即沟通广义误差 与被控系统可调参数间关系的算式。有两类设计方法：一类是“局部 参数最优化设计方法

3、”，目标是使得性能指标J达到最优化；另一类 是使得白适应控制系统能够确保稳定工作，称之为“稳定性理论的设计方法。 9 2局部参数最优化的设计方法一、利用梯度法的局部参数最优化的设计方法式(9-1-7)（2004年教案） 辨识与自适应 第九章3这里要用到非线性规划最优化算法中的一种最简单的方法梯度法(Gradient Method )。1.梯度法考虑一元函数f(x),当：cf (x)/ ex = 0，且Bf2(x) / cx2 0时f(x)存在极小值。问题是怎样调整x使得f (x)能达到极小值？x有两个调整方向：当f(x)/ ex 0时应减小x ；当8f(x)/Ex 0)。把函数f(x)在x方向

4、的偏导数称为梯度。上式含义为：按照梯度的 负方向调整白变量x。该结论可推广到多元函数求极值的情况。2.具有一个时变参数一一可调增益的MRAC设计(MIT方案)1958年由麻省理工学院提出。理想模型（2004年教案） 辨识与自适应 第九章4(2004年教案)辨识与自适应 第九章5式(9-2-2)参考模型传函为ym( s ) _ Kmq ( s) r(s) p(s)式中：q(s) = bisn-1+ +bn;p(s) = sn+aisn-1+ an广义误差为e = ym - Vs性能指标为： 式(9-1-7)。系统的可调增益为Kc,目标是设计出 随着e而调整Kc的规律，以使J达到最小。J对Kc的梯

5、度为te2edKtoKc由梯度法有：tJ一eKc= -2 e dKKct0c将上式两边对t求导数，得到.:eKc =2eKcdJKc（2004年教案） 辨识与自适应 第九章6q(D)ymP(D)rKm代入式(9-2-3),得出:KSKCKmym代入式(9-2-2),得出广义误差对输入信号的传函为：自适应回路开环情况下系统传函为引入微分算子：D = d/dt、D2= d2/ dt2，由上式得到微分方程:P(D) e(t) = (Km- KcKs)q(D) r(t)两端对Kc求偏导数eP(D-Ksq(D)rKc得到上f r四KcsP(D)由模型的微分方程：p(D) ym(t) = Kmq(D) r

6、(t)得到W(S广迥ym(s)ys(s)r(s)r(s)q(s)二(Km- KCKS)-P(s)式(9-2-3)（2004年教案） 辨识与自适应 第九章7 Kc= Beym式（9-2-4）其中：B = 2九Ks/ Km,当Ks与Km同号时B为正值常系数，即白适 应回路的积分时间常数。实现的方案如下图，白适应回路由乘法器与 积分器组成。该方案能够使得J为最小，但是不能确保白适应回路是 稳定的。需要通过调整B的大小，使得系统稳定且白适应跟踪速度 也比较快。MIT方案应用举例：二阶电传动调速系统的模型参考白适应控制马润津等 可控硅电传动模型参考白适应控制“白动化学报1979。第（2004年教案） 辨

7、识与自适应 第九章（2004年教案） 辨识与自适应 第九章9 9 3基于李雅普诺夫第二方法稳定性理论的MRAC设计方法1.关于李雅普诺夫(Liaupunov)稳定性的第二方法是关于动态系统(无论线性或者非线性)稳定性分析的理论，特点是不需要求微分方程的解，而是直接根据某个特定的函数(李雅 普诺夫函数)对时间的变化率来判断其稳定性， 因此又称直接法。 它 特别适用于非线性、线性时变或多变量系统的稳定性分析。a)李雅普诺夫意义下的稳定性对于以状态方程,X= f (X,t)且f(0，t)=0口 式(9-3-1)描述的动态系统，如果存在一个对时间连续可微的纯量函数V(X, t )，满足以下条件：(1)

8、V( X, t )正定；(2) V沿方程式(9-3-1 )解的轨迹对时间 的一阶偏导数V存在， 且为负半定(或负定)， 则称V(X, t )为李雅 普诺夫函数， 且系统式(8-3-1)对于状态空间的坐标原点X=0为李 雅普诺夫意义下的稳定(或渐进稳定)的。李雅普诺夫函数的几何意义可以理解为：V(X)表示状态空间原点到状态X的距离的量度，如果其原点到瞬时状态X(t)间的距离随着t的增长而不断减小则系统稳定，V(t)对时间的一阶偏导数相当于X(t)接近原点的速度。（2004年教案） 辨识与自适应 第九章10李雅普诺夫函数的物理意义可以理解为：一个振动着的力学系统，如果振动的蓄能不断衰减，则随着时间

9、增长系统将稳定于平衡状 态，而李雅普诺夫函数实质上可视为一个虚拟的能量函数。b）用李雅普诺夫第二方法分析线性定长系统的稳定性线性定长系统式(9-3-2)可取一个正定的纯量函数其中P为正定的实对称矩阵。V沿式（9-3-2 ）的轨线的一阶导数为:V(X) = X PX XTPX = (AX )TPXXTPAX=XT(ATP PA)X= - XTQ X其中Q与P满足线性代数方程（称李雅普诺夫方程）AXV(X) = XTP X式(9-3-3)（2004年教案） 辨识与自适应 第九章11如果Q是正定矩阵，则V（X）的一阶导数是负定的，V（X）是李雅普诺ATP PA Q式(9-3-4)（2004年教案）

10、辨识与自适应 第九章12夫函数，系统式（9-3-2）对于平衡状态X=0是渐进稳定的2.应用李雅普诺夫第二方法设计可调增益的MRACx h5铀J%（Xh* ?Ks 3*57参考模型状态方程Xm =A XmBmrym一C Xm式（9-3-5）其中:系统状态方程0A=ILa2C= 1 01-ai_Xs =A XsBsr ys =C Xs式（9-3-6）（2004年教案） 辨识与自适应 第九章13定义广义误差ee=ymys；=XmXs=-e令E = Km- Ks,由式（9-3-5）和式（9-3-6）得出广义状态误差方程为了保证MRAC系统稳定，要找到一个李雅普诺夫函数V。）。试取纯量函数V（ &

11、;） = F P & +人E2式（9-3-8）其中P为正定实对称阵，显然V（&）也是正定的。求V（&）沿式（9-3-7）的轨线对t求导数,T dV/dt = ； PTP ； 2 EE将式(9-3-7)代入上式，有dV/dt = TA+BTrP ； +TPA +Br+2 EE=TATP+TPA+BTrP+TPBr + 2 EEBs0L1KsA a, B r式(9-3-7)其中B = 0,ET（2004年教案） 辨识与自适应 第九章14=/ (ATP + PA)&+2 8TPBr + 2 7 EE式(9-3-9)为保证dV/dt负定，须使二次型&T(ATP+

12、PA)8负定，且后两项之 和为零。由于A为稳定矩阵，方阵(ATP+PA)肯定是负定的。由式(9-3-9)的后两项之和为零的条件，得出:2 EE = 2TPBr-TP B r E -E疽PB =1 P1 P21 1 0 1 , -、LU1 &2】I- c Il = (&1R2 + &2P2) ELP12P22LE所以1 _-、/、E (P121P22)r(t)九由E = Km- Ks，得到白适应控制律:1 _Ks(R21P2 2) r = (C0e C1e) r其中：CO= P12/人,CI= P2/禹,或与成:t式(9-3-10)由于（2004年教案） 辨识与自适应 第

13、九章15Ks= HC。e + Cie) r(t)小 +K。 式(沁、)按照上式实施控制，能够保证V(&)是正定而dV/dt是负定的，即V(砂 是李雅普诺夫函数，白适应系统对于6 = 0的平衡状态是大范围渐进 稳定的，也就是当t t必时ST0。系统结构如下图：3.应用举例：直流电传动白适应控制可控硅直流调速系统结构图，设。=t1+t2,可简化为（2004年教案） 辨识与自适应 第九章16开环总增益KS= KiK2/ Ce F为时变且可调参考模型状态方程为1Xml022XM0 =1刍IT1IJrlx 1-1 I LXJ L1J- cr J被控系统状态方程为J0 SI I X 0|印=I：|

14、Xs1，rXS2I- 1 -XS2I1J 一可见AS和BS中仅a12= KS/。一个元素是时变的。为了设计出比较简单的白适应线路，选择正半定的Q阵由于s 0 ,所以P阵是正定的，将P代入AS的第aj元素的白适应调整律式(9-3-12)式(9-3-13)式(9-3-4)解出:（2004年教案） 辨识与自适应 第九章171tajj=厂HP谷 乂*）为7+ Sj（P谷X*）ijfij to得到比例一一积分型的白适应律a12 = J（，1 XS 2） d*SI2（8IXS2）ri2 to而a12= Ks（t） /夺,则有% = 一（1Xs2）d&2（、Xs2）r12 to其中的Xs2虽然不能从

15、系统中直接测量，但是可由以下关系式XS2很容易重构，得出XS2的估计量。下图示出了可控硅电传动MRAC实验系统的简化原理图:（2004年教案） 辨识与自适应 第九章18实验结果如下图，被控系统开环增益Ko=3.4Km,加入白适应控制后，能够白动调整KS使得系统的动态响应与参考模孑加盹克一外加心携-型的一致。 9 4基于超稳定理论的MRAC设计方法超稳定理论最初由波波夫在研究非线性系统绝对稳定性时提出 的，该理论对研究非线性时变反馈的非线性系统的稳定性很有用途， 特别是I.D.Landau等将超稳定理论用于MRAC系统的设计，取得良 好效果。本节仅就其基本概念和主要结果作一些简要介绍。（2004

16、年教案） 辨识与自适应 第九章19一、关丁超稳定性理论的基本概念1.直观概念先从简单的直观概念出发，体会稳定性的含义。讨论一个由线性定常的正向通道和非线性时变的反馈通道组成的单输入- 单输出闭环系统（见下图）。如果该闭环系统能够满足以下两个条件：a）线性定常的正向通道动态性能等价于一个无源网络；b）非线性反馈通道为正向通道提供的总能量（系统储能）是有限的,则该系统一定是稳定的。由网络理论，以上的条件a）等价于传递函数Z（s）= y（s）/u（s）是正实函数；条件b）可以用以下积分不等式来表示：T2u(t) y(t) dt& 式(9-4-1)0其中：T 0 , d为某一有限值的常数。（2

17、004年教案） 辨识与自适应 第九章202.关于正实和严格正实函数函数的正实性概念是从网络分析中引申来的，数学的正实函数概 念上与物理的无源网络相关。无源网络能量的非负性，其传递函数是 正实的。Z (s)是正实函数的定义是：(1) s为实数时Z (s)也为实数；(2)Z(s)无右半开平面的极点；(3)对于任意实的 缶，(-与0，则函数Z(s)是严格正实函数。正实和严格正实传递函数有以下特点：(1)严格正实传递函数对于缶 0的乃奎斯特图的矢端曲线完 全在第四象限内(正实传递函数的乃氏图可能与虚轴相切) ，即输出 对输入的相位滞后不超过900；(2)如果Z(s)正实，则1/Z(s)、Z (1/s)

18、和c Z (s)也正实(c为大于零的常数)；(3)如果Z1(s)和Z1(s)正实，则它们的串联Z1(s) - Z“s)、并联Z1(s)+Z1(s)和反馈联接如Z1(s) / (1+ Z1(s) - Z1(s)均也正实。（2004年教案） 辨识与自适应 第九章213.关于超稳定(Hyperstable )和渐进超稳定(Asymptotically Hyperstable )的定义:考虑一个多输入-多输出系统X = AX + B U式(8-4-2)Y = C X式(8-4-3)其中U和Y分别为m维的输入和输出量，U为有界函数，且它的拉 氏变换存在；X为n维状态向量，假定该系统是某一传递函数矩阵Z(s)的最小实现Z(s) = C (sI- A)-1B超稳定的定义是：如果对于任何T0 ,输入和输出向量满足必有以X(0)为初始状态的解X(t)满足IIX(t) II水(IIX(t) II+ 6 )式(8-4-5)(K 0的常数)，则称平衡点X = 0是超稳定的，简称为系统是超稳 定的。式中的IIX II表示向量X的模(长度)。如果超稳定的系统对于U(t)的任意解X(t)(在任意初始状态下) 都有TUT(t) Y(t) d式(8-4-4)30的常数)（2004年教案） 辨识与自适应 第九章22limX(t广0t 二则平衡点X =