12《学习指南试题精解》第十二章机械振动要点

1、146第12章机械振动12.1要求1 了解简谐振动的能量；2理解 旋转矢量法、同方向和同频率简谐振动的合成的规律；3掌握 简谐振动的各物理量()及各量间的关系、简谐振动的 基本特征、建立简谐振动的微分方程、根据初始条件写出一维简谐振动方 程、同方向和同频率简谐振动的合成。12.2内容摘要1简谐振动方程X = Acos( 4 )，特征量：振幅A:决定振动的范围和能量；角频率3 :决定振动重复的快慢，频率，周期T = 1 = 2；2兀v o初相：决定起始的时刻的位置和速度。2振动的位相 (7 )简谐振动在t时刻的位相;3简谐振动微分方程d2x22*0 X = 0，dt2弹性力：F=也，国=pK,T

2、 =2 兀/mV mV K4、简谐振动的能量E =Ep E1m(dX)2 kx-kA22 dt 225、受迫振动：是在驱动力作用下的振动。稳态的受迫振动的频率等于驱 动力的频率。当驱动力的频率等于系统的频率时，发生共振现象，振幅最大。6、同方向、同频率简谐振动的合成= A cos( t J ,x2 二 A2 cos( t 2)x = x1 x2 二 Acos( t )其中，A =. A2 A?22AA2COS( I - J ,e . Asin %+A2si 门曙二 arcigA cos% + A2 cos®2位相差2 - ：1起了相当重要的作用(2：1,cos0 =1,A二a A2为

3、最大)！(1) 两个谐振的频率相同时，合运动的振幅决定于它们的相位差：同向时(2k；k 0,1,2,3)，合振动最大，为两者振幅之和；反向时，合振动最小二(2k1)；k =0,1,2,3，为两者振幅之差；两个谐振的频率不相同时，合运动会产生拍现象，拍的频率为、两 个谐振的频之差。14712.3解题思路1根据给定条件，写简谐振动表达式时，要找出三个特征量 A、®和巾。巾 要特别注意初始条件，利用初始条件画出向量图是求 巾的一个方便的方法。由质 点的初始位置和速度（特别是注意正和负）就可以画出振幅矢量的位置，确定巾 的值；2从分析力着手判定简谐振动时，基本步骤就是：求质点在给定条件下受的

4、合力，只要得到合力对某一平衡位置的位移正比而反向，就可以判定质点的运动是简谐振动，并可立即有力和位移的比例常数和质点的质量，写出简谐振动的角 频率或周期；3应用同一直线上两个简谐振动的合成规律时，要特别注意它们的相位差 和合成的振幅的关系；同向时，合振幅最大，反向时，合振幅最小。12.4思考题选答1弹簧振子的无阻尼自由振动是简谐振动， 同一弹簧振子在简谐驱动力持 续作用下的稳态受迫振动也是简谐振动，这两种简谐运动有什么区别？答：弹簧振子的无阻尼自由振动是在“无阻尼”，包括没有空气等外界施加 的阻力和弹簧内部的塑性因素引起的阻力的情况下发生的，是一种理想情况。 由于外界不能输入能量，所以弹簧振子

5、的机械能守恒。这时振动的频率由弹簧 振子自身的因素（K和M决定。在简谐驱动力持续作用下的稳态简谐运动是在驱动力作用下产生的。这时 实际上，弹簧振子受的阻力也起作用，只是在驱动力对弹簧振子做功而且输入 弹簧振子的能量等于弹簧振子由于阻力消耗的能量时，振动才达到稳态，这样弹簧振子的能量才保持不变。此时，稳态受迫振动的频率决定于驱动力的频率， 而与弹簧振子的固有频率无关。2任何一个实际的弹簧都是有质量的，如果考虑弹簧的质量，簧振子的振动 周期将变大还是变小？对不断地周期性改变运动状态的弹簧振 这就是说，考虑弹簧的质量时，弹簧振（厘米）答：从质量的意义上来说，质量表示物体的惯性，弹簧本身的质量计入时，

6、 系统的质量增大，更不易改变运动状态。 子的简谐运动来说，其进程一定要变慢 子的振动周期将变大。X+4+2(1/4 秒)0-2-412.5习题解答(SI),12.1 一质点沿X轴作简谐运动， 振动方程为x=4 10，cos（2：t二）（3-P(-2cm)从t=0时刻起到质点位置在X=-2cm处， 且向X轴正方向运动的最短时间间隔为(A)1/8秒;(B)1/4秒;(C)1/2秒;(D)1/3秒、(E)1/6秒0图 12.1149解：（1）已知：振幅A=4cm位相（3 t+），角频率3 =2n，初相=n /3 ;（2）根据振动方程X =4cos（21）,如图12.1所示周期T =1秒；3 o（3）

7、分析质点运动情况：从t=0时刻起，x0 =4 10，cos（0 二/3） =2 ； 向X轴负方向运动，直到X1=-4cm,即4二-4cos（2t ： /3）,t1 =1/3为止；质点改 变运动方向，向X轴正方向运动到位置P点。最短时间间隔为： t1 tp121 X p=-2cm处的时刻 t=t p？ cos（2：t） - -,2'：t一 二,.tp = S,323 361 1 1（5）结论 t=ttps所以（C）为正确答案。36212.2某一质点作简谐运动，振幅A =4cm，周期T =2s，其平衡位置做坐标原点。若t = 0时，第一次通过x=_2cm处，且向X轴负方向运动，则质点第 二

8、次通过x = -2cm处的时刻为：2（A）1S ；（ B） 一 S;34（C） 二t=0,x=0,令x 二 Acos（ t 讦汀），x=4 10 cos（二t）2 2（向 X 轴负方向运动，v = -A，sin0,sin0, = 3 ）（2）由简谐运动方程，求质点第二次通过 x =-2cm处的时刻为:二二二2 二2-2=4cos（：t），二t, t S, P点的位相为:22233一所以（B） 一 S；为正确答案。 12.3、一条简谐运动曲线如图12.2所示， X则振动周期是：（A） 2.62S ；4（B） 2.40S ；2 （C） 2.20S ；0 1 （D）2.00S。解：设x二Asin（

9、t '），从图中可知x = 2时，t=0，即卩 2 = 4sin ;：, jijt0 =4sin（ t 丁）, t § =：,'S；（ D） 2S。3解：（！）由已知条件，求简谐运动方程t= = 2s,b=兀，一气与上题相同2 二5:=2.40s©2 二#5t15t"5't"谐振方程为 x = Asin() = Acos() = 4cos(),6662663所以(B) 2.40S ;为正确答案。12.4有两个相同的弹簧，其劲度系数均为 K。(1)把它们串联起来，下面挂一个质量为m的重物，此系统的振动周期(2)把它们并联起来，下面挂

10、一个质量为m的重物，此系统的振动周期为:。解：系统的振动周期为：T = 2江=2fJM，已知M=m即分别求串联、并联o V K后，系统的劲度系数。类比电阻的串联Ki、并联K2：1 - Ki =上;心二K K = 2K ;代入振动周期定义式K1 K K K,2即可求得”.2("),#12.5某一物体做余弦振动，振幅为1.5 10°m，圆频率为6：rad *sJ，初相 为0.5二，贝U振动方程为：.。解：已知 A =1.5 10 ° m, =6 ：rads，=0.5二x = Acos( t )，所以 x = 1,5 10 cos(6_：t 0.5二)m。12.6质量为

11、2kg的质点，按方程X =0.2sin(5t -二/6)(SI)，沿X轴振动。求:(1) t=0时，作用在质点的力的大小？(2) 作用在质点的力的最大值和此时质点的位置。解：应用牛顿力学求解:X =0.2si n(5t一二 /6), v =直dt=cos(5t -二 / 6)5sin(5t - 二 / 6)dtF=ma=2 (-5) sin(理 /6) = 5N ;”.2("),152(s)图 12.32兀2兀0=10cos( 2),2 -(2)| Fmax | = 10sin(5t - 二 /6) =10N,sin(5t - 二 /6) =1,X 二 _0.2m12.7 一条简谐运

12、动曲线如图所示，求振动方程？+X ( m解：已知 A=10, t=0，X0=-5=10cos，+ 10X 二 Acosjt),V 二-A - sin( t),V0 = -10，sin :所以巾=2n /3 ;由图三可知：质点由位移 X0，0和V0<0的状态到X=0 V>0的状态所需要的时-5间t=2s代入 振动方程求角频率：-105二5t 2二芯，故 X0cos(石亍S|)。12.8 一只弹簧振子作简谐振动，当其偏离平衡位置的位移的大小为振幅 的1/4时其动能为振动的总能量的：(C)、11/16 ;(D)、13/16 ;(E) 15/16。1dx解：1 已知 X= (1/4 ) A

13、,即 A =AC0S( t ：) ,=A - sin( t ),4 dt2 动能 Ek = 1 口(空)2 = 1 mA2 2 sin2 (，t：) , sin 2(，t ：；呼)=1 _ (丄)2 = 15 ,2 dt 241615 12 2EkmA ，;16 2113 弹性势能 E-kX- .2mA2 cos2( .r );22114 总能量 E 二 Ek Ep mA2 - 2sin 2( t ) cos2(tJ mA2 2 ,225故 电二兰，(E)为正确答案。E 1612.9 一个质点作简谐振动，其振动周期为T,则其振动动能变化的周期是:(A) T/4 ；( B)、( 1/2 ) T；

14、(C)、T；(D)、2T。解：由上题可知简谐振动方程x = Acos(，t川),TX =亠,co1. 2 2.221 -C0s2( t )Ek =丄 A2 2si n2(，t:)；21 2Ek KA sin( t J ；2Ek mA sin ( t ) = E0 sin (t )二 E0 -22显然2兀兀Tek兀/1TEk，所以一K 2；TX 2 二 /，2故(B)(1/2 ) T;为正确答案。12.10一个质点作简谐振动，其振动方程Acos( t ),在求质点的振动动能时，得出下面5个表达式： EKA2，COS2( t :):2 EK 二-KA2 cosf l :)2其中m是质点的质量，K是

15、弹簧的倔强系数，T是振动周期。下面结论中正确的是：(A)和是对的;(B)和是对的;(C)和是对的;(D)和是对的;(E)和是对的。解:2 二T2 = 4二 2 二 T2Ek=訥(乎)22 dt”.2("),153故式等于式，所以（C）为正确答案。12.11 一个物体在弹簧下方作简谐振动，当这物块的位移等于振幅的一半时，其动能是总能量的倍；当这物块在平衡位置时，弹簧的长度比原来长度长 L,此振动周期为。解：动能Ek 1m（dX） mA2 2 sin2（，t：M ），2 dt 221 23sin （7 ：；W） = 1 -（一）：411总能量 E = Ek EpmA2 - 2sin 2（

16、 t ） cos2（JmA2 222EkA1x = Acos（J, Acos（ t；応'）,cos（，tJ =22振动周期：T =2 :o#12.12 一个竖直悬挂的弹簧振子系统处于平衡位置如_图12.34所示，今将物体下拉，使弹簧伸长为 2mg/k，然后 由静止释放。要使振子的动能达到 m2g2/k，至少需要经历的时间-t =秒。K解：弹簧振子的振幅A=2mg/K设其谐振方程为 x=Acos （31+ © ），动能E =1mv2图 12.4 E”""dxv =dt-A si nt。2,sin.mi m415712.13 一个轻质弹簧在60N的拉力作用下可

17、伸长30cm,将一个物体悬挂在 弹簧的下端，在它的上面放一个小物体，总重量为4kg。静止后，把物体拉下10cm, 然后释放。问：（1）此小物体是停在振动物体上面，还是离开？ （ 2）如果使 放在振动的物体上的小物体与振动物体分离，则振幅A需满足何条件？两者在何处开始分开？200 =50rad/s4解：（1）用牛顿力学，研究小物体停在振动物体上面的运动：首先受力分析 在竖直方向上：mg-N=ma N=m（g-a）;当N=0时，小物体开始离开振动物体，若 g-a>0，即g>a,小物体是停在振动物体上面。已知：A=10cm K=60N/30cm=200 :趨=a=A2 =0.1 50 =

18、5m/s2 g =9,8m/s2，故小物体不会离开。（2）、若a>g, N=0,小物体与振动物体分离，则2g 9 8g二amax - x,x 20.196m =19.6cm。即在平衡位置上方 19.6厘«50米处开始分离，且A>19.6厘米。12.14两个同方向、同频率的简谐振动，X" =3x10Ncost"/3）,X2 =4 10A = , A,2 A22 2A,A2cos( 2 - J =62 22 2 6 2 cos(y /2 二 /2) = 4 10，cm力 丄 A,sin b+As ind2丄6si n 兀/2 + 2si n( 一兀/2)丄

19、兀:-arctgarctgarcta n：A, cos®, + A cos®26 cos何 / 2)+2 cos(-兀 / 2)212.16、两个同方向、同频率的简谐振动，振幅分别为A仁0.05m和A2=0.07m, 它们合成为一个振幅为A=0.09m的简谐振动，求这两个振动的位相差？解：根据两个同方向、同频率的简谐振动合成的公式，且已知：Ai、A2、A 2 2A2 二 A2 人2 2AA cos，厂=arccos1二 arc0.1 二 84.312.17两个物体作同方向、同频率和同振幅的简谐振动，在振动过程中，每 当第一个物体经过位移为 A/V2的位置向平衡位置运动时，第

20、二个物体也经过此 位置，但向远离平衡位置的方向运动，试用旋转矢量法求它们的位相差。解：已知Al=A2、3 =3仁3 2，用旋转矢量法求它们的位相差：设P点为 位移为A/ V2的位置，如图五所示。 第一个物体经过P点时（即A1在X轴上的投影）， 向平衡位置0点运动；第二个物体也经过 P点、 但是它向远离平衡位置的方向运动，速度为正。建立OX坐标轴，先画出第一个物体的矢量 A1， 过Ai点作垂直0X坐标轴的直线AiP;再过原点0作直线0A2交AiP于A2，贝U 0A2为第二个物体的矢量。由图五可知：/ Ai0 A2=n /4+ n /4= n /2。图 12.5 JTJI下兀X, =Acos( t ), X2 二 Acos( t ), 42说明：用旋转矢量法不仅可求它们的位相差，而且可以求出其简谐振动方程。cos（ t- /6）（SI），它们的合振幅是： 。解：根据两个同方向、同频率的简谐振动合成的公式A 二 A, A22 2 A-i A2 cos（ :21） = . 32 42 2 3 4 cos（二 / 6 宀：工 /3） = 5 10 ° cm12.15、两个同方向、同频率的简谐振动，其振动表达式X" =6 10cos（5t 二/2）,和 X