Matlab编程实现主成分分析

1、作者:日期:§10。利用Matlab编程实现主成分分析1. 概述Matlab语言是当今国际上科学界（尤其是自动控制领域）最具影响力、也是 最有活力的软件。它起源于矩阵运算，并已经发展成一种高度集成的计算机语言。 它提供了强大的科学运算、灵活的程序设计流程、高质量的图形可视化与界面设 计、与其他程序和语言的便捷接口的功能。Matlab语言在各国高校与研究单位起着重大的作用。主成分分析是把原来多个变量划为少数几个综合指标的一种统 计分析方法，从数学角度来看，这是一种降维处理技术 1。1主成分分析计算步骤计算相关系数矩阵r11r12r1 pRr21r22r2prp1rp2rpp(1)在（）

2、式中（i, j=1 , 2,，p）为原变量的xi与xj之间的相关系数,其计算公式为(XkiXi)(Xkj Xj)rijnXi)2(XkjXj)2k 1k 1因为R是实对称矩阵（即rij=rji），所以只需计算上三角元素或下三角元素即可。 计算特征值与特征向量首先解特征方程I R 0,通常用雅可比法(Jacobi)求出特征值 i(l 1,2, p)，并使其按大小顺序排列，即!2, p 0 ；然后分别求p出对应于特征值i的特征向量e(i 1,2, , p).这里要求ei =1，即e2 1，其j 1中列表示向量ei的第j个分量。 计算主成分贡献率及累计贡献率主成分乙的贡献率为p(ikk 11,2,p

3、)累计贡献率为ikk 1p(i1,2,p)kk 1一般取累计贡献率达85-95%的特征值1, 2, , m所对应的第一、第 第m(mw p)个主成分. 计算主成分载荷其计算公式为lijP(Z,Xj) v； ieij(i, j 1,2, , p)心得到各主成分的载荷以后，还可以按照()式进一步计算，得到各主成 分的得分Z11Z12Z1 mZ21Z22Z2mZn1Zn2znmZ(4)2。程序结构及函数作用在软件Matlab中实现主成分分析可以采取两种方式实现：一是通过编程来实 现;二是直接调用Matlab种自带程序实现。下面主要主要介绍利用 Matlab的矩阵 计算功能编程实现主成分分析.2。1程

4、序结构2。2函数作用Cwstd.m用总和标准化法标准化矩阵Cwfac。m计算相关系数矩阵；计算特征值和特征向量；对主成分进行排序;计算各特征值贡献率；挑选主成分（累计贡献率大于85%）,输出主成分个数;计算主成分载荷Cwscora m计算各主成分得分、综合得分并排序Cwprint。m读入数据文件；调用以上三个函数并输出结果3. 源程序3.1 cwstd 。 m%cwstd.m，用总和标准化法标准化矩阵function std=cwstd ( vector) cwsum=sum(vector,1); a， b=size (vector); for i=1:a for j=1 ： b std(i,

5、j)= vector end%对列求和% 矩阵大小， a 为行数， b 为列数endi,j)/cwsum(j);3.2 cwfac 。 m cwfac。 mfunction result=cwfac(vector ) ;fprintf(' 相关系数矩阵： n') std=CORRCOEF ( vector)计算相关系数矩阵fprintf('特征向量(vec)及特征值(val): n')vec,val=eig (std)%求特征值(val)及特征向量(vec)newval=diag ( val );y,i=sort(newval) ；对特征根进行排序 ,y 为排序

6、结果， i 为索引fprintf( '特征根排序 :n')for z=1 ： length ( y)newy( z) =y(length ( y) +1 z) ;endfprintf('n'%， gnewy)rate=y/sum ( y);fprintf( ' n 贡献率： n')newrate=newy/sum(newy )sumrate=0；newi= ;for k=length(y): 1:1 sumrate=sumrate+rate( k); newi (length(y)+1k)=i ( k)； if sumrate0.85 break

7、； endend% 记下累积贡献率大 85%的特征值的序号放入 newi 中fprintf ('主成分数： gnn ' ,length(newi) );fprintf( '主成分载荷： n ')for p=1 ： length(newi )for q=1 ： length ( y) result(q，p)=sqrt(newval(newi(p)*vec(q，newi(p) ；endend% 计算载荷disp(result)3。3 cwscore。m%cwscore。 m,计算得分function score=cwscore ( vector1,vector2)

8、； sco=vector1*vector2;csum=sum(sco，2);newcsum，i =sort(-1*csum )； newi,j=sort(i);fprintf(' 计算得分： n')score=sco，csum,j%得分矩阵：sco为各主成分得分；csum为综合得分;j为排序结果3。 4 cwprint.m% cwprint.mfunction print=cwprint(filename ，a,b)；%filename为文本文件文件名，a为矩阵行数(样本数)，b为矩阵列数(变量指标数) fid=fopen(filename ， 'r')vect

9、or=fscanf(fid,'%g' ， a b)；fprintf ('标准化结果如下：n')v1=cwstd ( vector) result=cwfac(v1); cwscore(v1,result);4. 程序测试4.1 原始数据中国大陆 35 个大城市某年的 10 项社会经济统计指标数据见下表。年底非农农业工业客运货运地方财政城乡居民在岗职在岗职工城市业总量年底储蓄总人口总产值总产值总量预算内收工人数工资总额名称人口比（万余额（万人）（%）（万元）（万元）人）（万吨）入（万元）（万元）（万人）（万元）北京1 249.900.597 81 843 4271

10、9 999 70620 32345 5622 790 86326 806 646410.805 773 3010。580天津910.1791 501 13622 645 5023 25926 3171 128 07311 301 931202.682 254 343石家庄875。400.233 22 918 6806 885 7682 9291 911352 3487 095 87595 o 60758 8770。656太原299.923236 0382 737 7501 93711 895203 2773 943 10088.65654 023呼和浩特207。 780.441 2365 34

11、3816 4522 3512 623105 7831 396 58842 o 11309 3370。629沈阳677.0891 295 4185 826 7337 78215 412567 9199 016 998135.451 152 8110。494大连545。 3161 879 7398 426 38510 78019 187709 2277 556 79694 o 15965 922长春691.230.406 81 853 2105 966 3434 8109 532357 0964 803 744102o 63884 447哈尔滨927。 090.462 72 663 8554186

12、 1236 7207 520481 4436 450 020172o 791 309 1510。738上海1 313。 1242 069 01954 529 0986 40644 4854 318 50025 971 200336.845 605 445南京537.440.534 1989 19913 072 73714 26911 193664 2995 680 472113.811 357 8610。355杭州616.0561 414 73712 000 79617 88311 684449 5937 425 96796 o 901 180 947宁波538。 410.254 71 428

13、 23510 622 86622 21510 298501 7235 246 35062.15824 0340。318合肥429.954628 7642 514 1254 8931 517233 6281 622 93147.27369 577福州583.130.273 32 152 2886 555 3518 8517 190467 5245 030 22069 o 59680 6070。486厦门128。995333 3745 751 1243 7282 570418 7582 108 33146.93657 4840。398南昌424。 208688 2892 305 8813 6743

14、 189167 7142 640 46062 o 08479 ,555济南557.630.408 51 486 3026 285 8825 91511 775460 6904 126 97083o 31756 696青岛702。 970.369 32 382 32011 492 03613 40817 038658 4354 978 045103.52961 7040。342郑州615.364677 4255 287 60110 4336 768387 2525 135 33884 o 66696 848武汉740.200.586 91 211 2917 506 0859 79315 4426

15、04 6585 748 055149o 201 314 7660。310长沙582.4771 146 3673 098 1798 7065 718323 6603 461 24469 o 57596 986广州685。 000.621 41 600 73823 348 13922 00723 8541 761 49920 401 811182o 813 047 594深圳0。793119。851299 66220 368 2958 7544 2741 847 9089 519 90091 o 261 890 338南285.870.406 4720 4861 149 6915 1303 293

16、149 7002 190 91845.09371 809海口54。380。835444 815717 4615 3452 356115 1741 626 80019.01198 138重庆3 072.340.206 74 168 7808 585 52552 44125 124898,9129 090 969223o 731 606 804成都1 003.560.3351 935 5905 894 28940 14019 632561 1897 479 684132o 891 200 671贵阳0。455321.507362 0612 247 93415 7034 143197 9081 78

17、7 74855.28419 681昆明473。390.386 5793 3563 605 7295 60412 042524 2164 127 90088.11842 321西安674.500.409 4739 9053 665 94210 3119 766408 8965 863 980114o 01885 169州287。590.544 5259 4442 940 8841 8324 749169 5402 641 56865.83550 890西0。522133.95765 848711 3101 7461 46949 134855 05127o 21219 251银川95.380.57

18、0 9171 603661 2262 1061 19374 758814 10323o 72178 6210。824乌鲁木齐158。92478 5131 847 2412 6689 041254 8702 365 50855.27517 6224。2运行结果>> cwprint ( ' cwbook txt', 35, 10) fid =6数据标准化结果如下:v1 =0.01390。 03910。 00560。00930.00530.02900。 00870。01740.02340。0.05810.03560o 04350.06800.05570.1112 0。11

19、940o 11840。10830.13920.04230.03460.03540.07700.00890。 06420.04830.04990。05340。 05440.04070.01390.06880.02340。00800。00470.01510o 03140。02520.018301580。 00970.02630.00860.00280.00640.00640。00450.00620.01110.00750.03150。03750.03050。 01980。0213 0.03760.02430。 03980。 03570。02780.02530.02950。0443 0。 0286

20、0.02950。04680.03040。03340.02480。02330。03210.02420。04370。02030。01320。02330.01530。 02120.02700。02130.04310.0276 0。06280。01420。01840。01840.0206 0。02850.0455 0.03160.06100。0440 0.04880。18530.01760。10860。 1848 0.11480.0888 0.13520。02500.0318 0。0233 0。0444 0。0391 0.0273 0。0284 0。0251 0。0300 0。03270.02860。

21、0212 0.0334 0.0408 0.0490 0.02850。01920。03280。02550。02850.02500.0152 0.03370。0361 0.0609 0.02510。02150.02320。01640.01990。02000。0190 0.01480。00850。01340。0037 0。0100 0.00720。01250。00890。02710。0163 0.05080。02230.02430.0175 0。 0200 0。02220.01830。01640。00600.0290 0.0079 0.0195 0。0102 0。0063 0.0179 0。0093

22、 0.0124 0.01590.0197 0.0237 0。0162 0.0078 0.0101 0。0078 0。0072 0。0117 0.0164 0。0116 0。 0259 0。0243 0。0350 0。0214 0.0162 0.0287 0。0197 0.0182 0。0220 0。0182 0.0327 0.0220 0。 0562 0.0391 0。 0367 0。 0416 0.0282 0.0220 0.0273 0.02320。0286 0.0204 0。0160 0。0180 0.0286 0.0165 0.0166 0。0227 0。 0223 0。 01680.

23、0344 0。0349 0.0286 0。0255 0。 0268 0.0377 0。 0259 0.0254 0。 0393 0。 03170.0271 0。0185 0.0270 0.0105 0。0239 0.0140 0.0139 0。0153 0.0183 0。01440.0318 0.0370 0.0377 0.0793 0.0603 0.0582 0。0754 0。 0901 0.0482 0。07350.0056 0.0472 0.0071 0.0692 0。0240 0。0104 0。0791 0。0421 0.0240 0。04560.0133 0。0242 0。0170

24、0。0039 0。0141 0.0080 0.0064 0。 0097 0。0119 0。 00900。00250.04970.00110.00240.01460.0057 0。 0049 0。00720。00500.00480.14280.01230.0983 0.0292 0。14370。06130.03850。04020.05900。03870。04660.01990.04560。02000.11000。 0479 0.02400.03310.03500.02900。01490。02710.00850。00760。04300.01010。00850。00790。01460.01010.0

25、2200。02300.01870.01230.01540。02940。02240。01820.02320.02030。03130。0244 0。0174 0。0125 0。0283 0。0238 0.0175 0.0259 0.0300 0。02130。01340。03240。00610.01000。0050 0.01160。00730 。01170.01730.01330。00620.03110。00160.00240。 0048 0。 0036 0.0021 0。 0038 0.0072 0。00530。00440.03400。00400.00220.00580。00290.00320。0

26、0360.00630。00430。00740.04910.00190。00630.00730.02210。01090.0105 0。01460。0125相关系数矩阵：std =1.00000。 3444 0。84250。 36030.7390 0.6215 0。 4039 0。 4967 0.67610.4689-0。34441.0000 -0.4750 0.3096 0.3539 0.1971 0.3571 0.2600 0。157030900。0。37420。3603 0。30960.86140。7390 0。3539 25950.6215 0.19710.90270。 4039 0.35

27、710.95270。4967 0。260097310。6761 0。157093960.4689 0.30901.00000。3358 1.00000.5891 0。15070.5056 0.76640.32360。 94120。4456 0.84800.73200 。 86140。1507 0。76641.0000 0.4294 0.19710.4294 1。 00000.1971 0.83160.94120.31820。 83161。 00000。8480 0。73200。38930。0.8966 0.93020.9233 0。 83760。55750。 37420.3182 0.8966

28、 0.92330.3893 0。9302 0.83760。 2595 0.9027 0。1。0000 0.92010。0。9201 1。00000。9527 0.9731 0。 93960.8425 -0.47501。00000.33580。5891 0。5056 0。3236 0.4456 0.5575特征向量 (vec)：vec =-0.1367 0。2282 0.26280。 1939 0.63710。2163 0.3176 -0.1312-0。41910.27580.0329 -0.02170.00090.0446 -0.1447 -0 。44370.4058 -0。5562 0。54

29、870。0593-0.0522 -0.0280 0。2040 -0。0492 -0.5472 -0。4225 0.3440 0.3188 0.44380。2401 0.0067 -0.4176 -0。2856 0。2389 0.1926 -0。4915 0。4189 0。2726 0。 2065 0.3403 0.0404 0.14080。0896 0.0380 -0.1969 -0。0437 0.4888 -0。6789-0。44050.1861-0。03430.23600.0640-0.82940.0377 0。26620。1356 0.1290 0.02780。37820.29810。4

30、7390。56850.23580。1465-0。1502 0。 2631 0.1245 0.21520.36440。15670.3464-0.64850。2489 0。40430。2058 0。0704 0.0462 0。12140.38120.48790.57070.12170.17610。0987 0.35500。3280 -0。0139 0.00710。38320。7894 0.1628 0。 1925 0.2510 0.0422 0。 2694 0.0396 0.0456 0.1668 0。3799特征值( val)val =0.003900000000000.024000000000

31、000。 030700000000000。099100000000000。 123200000000000.256600000000000.320700000000000.530000000000002。351400000000006 。2602特征根排序 :6。260222.351380。5300470.3206990。2566390.1232410。09909150。03070880。02403550。00393387各主成分贡献率：newrate =0。 6260 0.2351 0.0530 0。 03210.00040.0257 0.0123 0.00990。 0031 0.0024第一、二主成分的载荷0.690 10.148 30。600 70。851 50。465 60.946 30.911 7