控制系统数学模型ppt课件

1、第第1 1章章 控制系统数学模型控制系统数学模型本课程的义务是系统分析和系统设计。而不论是系统分析还是系统本课程的义务是系统分析和系统设计。而不论是系统分析还是系统设计，本课程所研讨的内容是基于系统的数学模型来进展的。因此，设计，本课程所研讨的内容是基于系统的数学模型来进展的。因此，本章首先引见控制系统的数学模型。本章首先引见控制系统的数学模型。本章内容为：本章内容为：1 1、形状空间表达式、形状空间表达式2、由微分方程求出系统形状空间表达式、由微分方程求出系统形状空间表达式3、传送函数矩阵、传送函数矩阵4、离散系统的数学模型、离散系统的数学模型5、线性变换、线性变换6、组合系统的数学描画、组

2、合系统的数学描画7、利用、利用MATLAB进展模型之间的变换进展模型之间的变换1.1 1.1 形状空间表达式形状空间表达式1.1.1 形状、形状变量和形状空间形状、形状变量和形状空间形状形状动态系统的形状是一个可以确定该系统行为的信息集合。动态系统的形状是一个可以确定该系统行为的信息集合。这些信息对于确定系统未来的行为是充分且必要的。这些信息对于确定系统未来的行为是充分且必要的。形状变量形状变量确定系统形状的最小一组变量，假设知道这些变量确定系统形状的最小一组变量，假设知道这些变量在恣意初始时辰在恣意初始时辰 的值以及的值以及 的系统输入，便可以完好地的系统输入，便可以完好地确定系统在恣意时辰

3、确定系统在恣意时辰 的形状。形状变量的选择可以不同的形状。形状变量的选择可以不同0tt0tt形状空间形状空间以所选择的一组形状变量为坐标轴而构成的正交线以所选择的一组形状变量为坐标轴而构成的正交线性空间，称为形状空间。性空间，称为形状空间。例：如以下图所示电路，例：如以下图所示电路， 为输入量，为输入量， 为输出量。为输出量。)(tu)(tuC)()()()(tututRidttdiLC建立方程：建立方程：dttduCiC)(初始条件：初始条件：)()(00tititt)()(00tutuCttC)(tuC 和和 可以表征该电路系统的行为，就是该系统的一组形状可以表征该电路系统的行为，就是该系

4、统的一组形状变量变量)(ti1.1.2 形状空间表达式形状空间表达式前面电路的微分方程组可以改写如下，并且写成矩阵方式：前面电路的微分方程组可以改写如下，并且写成矩阵方式：LtuLtutiLRdttdiC)()()()()(1)(tiCdttduC)(01)()(011)()(tuLtutiCLLRdttdudttdiCC)()(10)(tutituCC该方程描画了电路的形状变量和输入量之间的关系，称为该电路的形状方程，这是一个矩阵微分方程。假设将电容上的电压作为电路的输出量，那么该方程是联络输出量和形状变量关系的方程，称为该电路的输出方程或观测方程。这是一个矩阵代数方程。系统的形状方程和输出

5、方程一同，称为系统形状空间表达式，或称系统的形状方程和输出方程一同，称为系统形状空间表达式，或称为系统动态方程，或称系统方程。为系统动态方程，或称系统方程。21xxx设：设：)(1tix )(2tuxC01Lb10C011CL-LR-ACxbAxxyu那么可以写成形状空间表达式：那么可以写成形状空间表达式：推行到普通方式：推行到普通方式：DuCxyBuAxx nxxx21xruuu21umyyy21ynnnnnnaaaa1111Arnnrnrabbb1111Bnmmnmncccc1111Crmmrmrdddd1111D假设矩阵假设矩阵A, B, C, D中的一切元素都是实常数时，那么称这中的一

6、切元素都是实常数时，那么称这样的系统为线性定常样的系统为线性定常LTI，即：，即：Linear Time-Invariant系统。系统。假设这些元素中有些是时间假设这些元素中有些是时间 t 的函数，那么称系统为线性时的函数，那么称系统为线性时变系统。变系统。严厉地说，一切物理系统都是非线性的。可以用下面的形状方程严厉地说，一切物理系统都是非线性的。可以用下面的形状方程和输出方程表示。假设不显含和输出方程表示。假设不显含 t，那么称为非线性定常系统。，那么称为非线性定常系统。),(),(ttux,gyux,fx )()(ux,gyux,fx 1.1.3 形状变量的选取形状变量的选取1 形状变量的

7、选取可以视问题的性质和输入特性而定形状变量的选取可以视问题的性质和输入特性而定2形状变量选取的非独一性形状变量选取的非独一性3系统形状变量的数目是独一的系统形状变量的数目是独一的在前面的例子中，假设重新选择形状变量在前面的例子中，假设重新选择形状变量那么其形状方程为那么其形状方程为Cux 1Cuxx 12uLCxxLRLCxx101102121输出方程为：输出方程为：2101xxy1.1.4 形状空间表达式建立的举例形状空间表达式建立的举例例例1-1 1-1 建立右图所示机械系统的形状空间表达式建立右图所示机械系统的形状空间表达式注：质量块注：质量块 m m 的分量曾经和弹簧的分量曾经和弹簧

8、k k 的初始拉伸相的初始拉伸相抵消抵消根据牛顿第二定律根据牛顿第二定律22dtydmdtdyfkyFF即：即：Fkydtdyfdtydm22选择形状变量选择形状变量yx 112xyx 21xx 那么：那么：FmxmfxmkFmdtdymfymkx11212机械系统的系统方程为机械系统的系统方程为Fmxxmfmkxx101021212101xxy该系统的形状图如下该系统的形状图如下例例1-2 1-2 建立电枢控制直流他励电动机的形状空间表达式建立电枢控制直流他励电动机的形状空间表达式电枢回路的电压方程为电枢回路的电压方程为DeDDDDuKiRdtdiL系统运动方程式为系统运动方程式为dtdJf

9、iKDDm式中，式中， 为电动势常数；为电动势常数； 为转矩常数；为转矩常数； 为折合到电动为折合到电动机轴上的转动惯量；机轴上的转动惯量； 为折合到电动机轴上的粘性摩擦系数。为折合到电动机轴上的粘性摩擦系数。eKmKDJf可选择电枢电流可选择电枢电流 和角速度和角速度 为形状变量，电动机的电为形状变量，电动机的电枢电压枢电压 为输入量，角速度为输入量，角速度 为输出量。为输出量。DiDuDiy10DDDDDmDeDDDuLiJfJKLKLRdtddtdi01形状空间表达式形状空间表达式形状图如下：形状图如下：例例1-3 1-3 建立单极倒立摆系统的形状空间表达式。建立单极倒立摆系统的形状空间

10、表达式。 单级倒立摆系统是控制实际运用的一个典型的对象模型。单级倒立摆系统是控制实际运用的一个典型的对象模型。设小球的重心坐标为：设小球的重心坐标为：(,)GGyz那那么么sinGyylcosGzl在程度方向，运用牛顿第二定律：在程度方向，运用牛顿第二定律：ulytmtyM)sin(dddd22222222dd(sin )cos( cos )sinsinddmyllmllmg ltt 转动方向的力矩平衡方程式：转动方向的力矩平衡方程式：2222dd( cos )( sin )( sin )ddGGyzmlmlmgltt 而有：而有：)(cos)(sinddt cos)sin()(sindd22

11、2t)sin()(cosddt )sin()cos()(cosdd222t1cos线性化：当线性化：当 和和 较小时较小时 ，有，有sin02化简后，得化简后，得umlymM )(mgmlym 求解得：求解得：uMMmgy1 uMlMlgmM1)( 选择形状变量选择形状变量 ， ， ， 为系统输入，为系统输入， 为系统输出为系统输出yx 1yxx 123x 34xxuy;0100010000000010114321)(4321uxxxxxxxxMlMMlgmMMmg43210001xxxxy形状图为形状图为1.2 1.2 由微分方程求形状空间表达式由微分方程求形状空间表达式一个系统，用线性定常

12、微分方程描画其输入和输出的关系。经过选一个系统，用线性定常微分方程描画其输入和输出的关系。经过选择适宜的形状变量，就可以得到形状空间表达式。择适宜的形状变量，就可以得到形状空间表达式。这里分两种情况：这里分两种情况：1、微分方程中不含输入信号导数项，即、微分方程中不含输入信号导数项，即1.2.1 中的内容中的内容2、微分方程中含有输入信号导数项，即、微分方程中含有输入信号导数项，即1.2.2 中的内容中的内容1.2.1 微分方程中不含有输入信号导数项微分方程中不含有输入信号导数项首先调查三阶系统，其微分方程为首先调查三阶系统，其微分方程为ubyayayay0012 选取形状变量选取形状变量yx

13、 1yx2yx 3那么有那么有21xx 32xx ubxaxaxax03221103写成矩阵方式写成矩阵方式ubxxxaaaxxx032121032100100010321001xxxy形状图如下：形状图如下：普通情况下，普通情况下，n 阶微分方程为：阶微分方程为：ubyayayaynnn001)1(1)(选择形状变量如下：选择形状变量如下：yxxyxxyx 32211ubxaxaxayxyxxnnnnnnn012110)()1(1写成矩阵方式：写成矩阵方式：ubxxxaaaaaxxxnnn0211321021000100000010000010nxxy1001系统的形状图如下：系统的形状图如

14、下：1.2.2 微分方程中含有输入信号导数项微分方程中含有输入信号导数项首先调查三阶系统，其微分方程为首先调查三阶系统，其微分方程为ububububyayayay0123012 一待定系数法一待定系数法选择形状变量：选择形状变量：uxuuuyxuxuuyxuyx2221031110201 其中，待定系数为：其中，待定系数为：22110002120112022130aaabaababb于是于是uxaxaxaxuxxuxx33221103232121写成矩阵方式写成矩阵方式uuxxxaaaxxxbAxx321321210321100010duuxxxuxyCx032101001系统的形状图系统的形

15、状图普通情况下，普通情况下，n 阶微分方程为：阶微分方程为：ububububyayayaynnnnnnn01)1(1)(01)1(1)(选择选择 n 个形状变量为个形状变量为uxxuxxuxxuyxnnn1122311201uxxxaaaaaxxxnnnnn121211321021100000010000010系统方程为系统方程为uxxyn01001系统形状图如下系统形状图如下二辅助变量法二辅助变量法设设 n 阶微分方程为：阶微分方程为：ubububyayayaynnnnn01)1(101)1(1)(Laplace变换，求传送函数变换，求传送函数1212101110( )( )nnnnnnnb

16、sbsb sbY sU ssasa sa引入辅助变量引入辅助变量 zuzazazaznnn01)1(1)(yzbzbzbnn01)1(1前往到微分方程方式：前往到微分方程方式：以及以及选择形状变量如下：选择形状变量如下：zxxzxxzx 32211ubxaxaxazxzxxnnnnnnn012110)()1(1nnnnxbxbxbzbzbzby1211001)1(1写成矩阵方式写成矩阵方式uxxxaaaaaxxxnnn1000100000010000010211321021nnxxbbby1110注：假设输入项的导数阶次和输出项导数阶次一样，那么有注：假设输入项的导数阶次和输出项导数阶次一样，

17、那么有d。0101110101)()(asasabsbsbdasasabsbsbsRsYnnnnnnnn例例1-4 1-4 知描画系统的微分方程为知描画系统的微分方程为uuyyyy64016064019218 试求系统的形状空间表达式。试求系统的形状空间表达式。解解 1待定系数法待定系数法选择形状变量如下选择形状变量如下uxxuxxuyx22311201其中其中224016018640160064001921600022110003100112022130aaabaababb于是系统的形状空间表达式为于是系统的形状空间表达式为uxxxxxx224016001819264010001032132

18、1321001xxxy2辅助变量法辅助变量法引入辅助变量引入辅助变量zuzzzz64019218 zzy640160选择形状变量选择形状变量zx 112xzx 23xzx 于是系统的形状空间表达式为于是系统的形状空间表达式为uxxxxxx100181926401000103213213210160640 xxxy1.3 1.3 传送函数矩阵传送函数矩阵传送函数传送函数系统初始松弛即：初始条件为零时，输出量系统初始松弛即：初始条件为零时，输出量的拉氏变换式与输入量的拉氏变换式之比。的拉氏变换式与输入量的拉氏变换式之比。1.3.1 传送函数传送函数单入单入-单出线性定常系统的形状空间表达式为单出线

19、性定常系统的形状空间表达式为uyudCxbAxx在初始松弛时，求在初始松弛时，求Laplace变换，并且化简变换，并且化简形状变量对输入量形状变量对输入量(输入到形状输入到形状)的传送函数的传送函数bAIAIbAIGssssxudetadj)(1输出量对输入量输出量对输入量(输入到输出输入到输出)的传送函数即：传送函数的传送函数即：传送函数dbAIAICdbAICssssgyudetadj)(1例例1-5 1-5 系统形状方程式为系统形状方程式为u105610 xx x11y求系统传送函数。求系统传送函数。解：解：1056111)(11ssssgbAIC22151adj0065611 11 1

20、1115656det65sssssssssss 1.3.2 传送函数矩阵传送函数矩阵DuCxyBuAxx 形状空间表达式为形状空间表达式为进展拉普拉斯变换进展拉普拉斯变换)()()0()(ssssBuAxxx)0()()(xBuxA-Isss1 AI s假设假设 存在，那么存在，那么)0()()(11xAIBuAIxssss假设假设 ，那，那么么0)0(x)()()()(1sssssuGBuAIxxuBAIAIBAIGxussssdetadj)(1形状变量对输入向量形状变量对输入向量(输入到形状输入到形状)的传送函数矩阵：的传送函数矩阵：而而)()()(sssDuCxy)()(1sss-DuB

21、uAIC)()()(1ssss-uGDuBAICyu输出对输入向量输出对输入向量(输入到输出输入到输出)的传送函数矩阵：的传送函数矩阵：DBAIAICDBAICGyussssdetadj)(1)()()()()()()()()()(212222111211sgsgsgsgsgsgsgsgsgsmrmmrryuG其构造为其构造为式中，式中， 表示只需第表示只需第 j 个输入作用时，第个输入作用时，第 i 个输出量个输出量 对第对第 j 个输入量个输入量 的传送函数。的传送函数。)(sgij)(syi)(suj例例1-7 1-7 线性定常系统形状空间表达式为线性定常系统形状空间表达式为uxx100

22、100211340010 xy100001求系统的传送函数矩阵。求系统的传送函数矩阵。解解10010021134001100001)(11sssssBAICGyu)4() 1(323116123sssssss1.3.3 正那么严厉正那么有理传送函数矩阵正那么严厉正那么有理传送函数矩阵假设当假设当 时，时， 是有限常量，那么称有理函数是有限常量，那么称有理函数 是是正那么的。假设正那么的。假设 ，那么称，那么称 是严厉正那么的。是严厉正那么的。s)(ijg)(sgij0)(ijg)(sgij非正那么传送函数描画的系统在实践的控制工程中是不能运用的，非正那么传送函数描画的系统在实践的控制工程中是不

23、能运用的，由于这时系统对高频噪声将会大幅度放大。例如微分器由于这时系统对高频噪声将会大幅度放大。例如微分器为非正那么系统，假设输入信号带有高频污染为非正那么系统，假设输入信号带有高频污染经过微分器输出经过微分器输出ssg)(tttu1000cos01. 0cos)(tttudtdty1000sin10sin)()(可见，在微分器输入端，噪声的幅值只是有效信号幅值的百分可见，在微分器输入端，噪声的幅值只是有效信号幅值的百分之一，输出端噪声的幅值却是有效信号幅值的之一，输出端噪声的幅值却是有效信号幅值的10倍，信噪比变倍，信噪比变得很小。得很小。1.3.4 闭环系统传送函数矩阵闭环系统传送函数矩阵

24、)()()(sssBuE)()()()()()(ssssssEGHyHB)()()()()(1sssssuGHGIy于是闭环系统的传送矩阵为于是闭环系统的传送矩阵为)()()()(1ssssGHGIGH或或1)()()()(ssssGHIGGH1.3.5 传送函数矩阵描画和形状空间描画的比较传送函数矩阵描画和形状空间描画的比较1传送函数是系统在初始松弛的假定下输入传送函数是系统在初始松弛的假定下输入-输出间的关系描画，输出间的关系描画，非初始松弛系统，不能运用这种描画；形状空间表达式即可以描画非初始松弛系统，不能运用这种描画；形状空间表达式即可以描画初始松弛系统，也可以描画非初始松弛系统。初始

25、松弛系统，也可以描画非初始松弛系统。2传送函数仅适用于线性定常系统；而形状空间表达式可以在定传送函数仅适用于线性定常系统；而形状空间表达式可以在定常系统中运用，也可以在时变系统中运用。常系统中运用，也可以在时变系统中运用。3对于数学模型不明的线性定常系统，难以建立形状空间表达式；对于数学模型不明的线性定常系统，难以建立形状空间表达式；用实验法获得频率特性，进而可以获得传送函数。用实验法获得频率特性，进而可以获得传送函数。4传送函数仅适用于单入单出系统；形状空间表达式可用于多入传送函数仅适用于单入单出系统；形状空间表达式可用于多入多出系统的描画。多出系统的描画。5传送函数只能给出系统的输出信息；

26、而形状空间表达式不仅给传送函数只能给出系统的输出信息；而形状空间表达式不仅给出输出信息，还可以提供系统内部形状信息。出输出信息，还可以提供系统内部形状信息。 综上所示，传送函数矩阵和形状空间表达式这两种描画各综上所示，传送函数矩阵和形状空间表达式这两种描画各有所长，在系统分析和设计中都得到广泛运用。有所长，在系统分析和设计中都得到广泛运用。1.4 1.4 离散系统的数学描画离散系统的数学描画1.4.1 形状空间表达式形状空间表达式首先，调查三阶差分方程首先，调查三阶差分方程1. 差分方程中不含有输入量差分项差分方程中不含有输入量差分项)()() 1()2()3(0012kubkyakyakya

27、ky选取形状变量选取形状变量)()(1kykx) 1() 1()(12kxkykx) 1()2()(23kxkykx)()()()()3() 1(01021323kubkxakxakxakykx写成矩阵方式写成矩阵方式)(00)()()(100010) 1() 1() 1(0321210321kubkxkxkxaaakxkxkx可以表示为可以表示为)()() 1(kukkHGxx)()()()(321kxkxkxkx其中其中210100010aaaG000bH输出方程输出方程)()()(001)(321kxkxkxky或者或者)()(kkyCx其中其中001C推行到推行到n阶线性定常差分方程所

28、描画的系统阶线性定常差分方程所描画的系统)()() 1() 1()(0011kubkyakyankyankyn选取形状变量选取形状变量 ， ， ，)(ky) 1( ky) 1(nky系统形状方程系统形状方程)(000)()()(100000010000010) 1() 1() 1(0211321021kubkxkxkxaaaaakxkxkxnnn)()()(001)(21kxkxkxkyn输出方程输出方程2. 差分方程中含有输入量差分项差分方程中含有输入量差分项)() 1()2()3()() 1()2()3(0123012kubkubkubkubkyakyakyaky先调查先调查3阶线性定常差

29、分方程阶线性定常差分方程选择形状变量选择形状变量)()()(01kukykx)() 1()() 1() 1()(11102kukxkukukykx)() 1()2()2()(2103kukukukykx)() 1(22kukx待定系数为：待定系数为：30b0221ab 120112aab22110003aaab)()()()(100010) 1() 1() 1(321321210321kukxkxkxaaakxkxkx系统形状方程为系统形状方程为)()() 1(kukkHGxx即：即：输出方程为输出方程为)()()()(001)(0321kukxkxkxky即：即：)()()(kdukkyCx

30、多输入多输入-多输出线性时变离散系统形状空间表达式多输出线性时变离散系统形状空间表达式)()()()() 1(kkkkkuHxGx)()()()()(kkkkkyuDxC)(kG)(kH)(kC)(kD当当 、 、 和和 的诸元素与时辰的诸元素与时辰 无关无关时，即得线性定常离散系统形状空间表达式时，即得线性定常离散系统形状空间表达式 k)()() 1(kkkHuGxx)()()(kkkyDuCx1.4.2 脉冲传送函数矩阵脉冲传送函数矩阵对线性定常离散系统形状空间表达式进展对线性定常离散系统形状空间表达式进展 z 变换变换)()()0()(zzzzzHuGxxx)0()()(xHuxGIzz

31、zz假设假设 存在，那么存在，那么1GI s)0()()(11xGIHuGIzszszx假设初始松弛，那么假设初始松弛，那么)()()()(1zzzszuGHuGIxxuHGIGxu1)( sz其中，其中， 为系统形状对输入量的脉冲传送函数矩阵为系统形状对输入量的脉冲传送函数矩阵 )()()()()()(1zzzzzzzuGuDHGICDuCxyyu系统输出向量对输入向量的脉冲传送函数矩阵系统输出向量对输入向量的脉冲传送函数矩阵DHGICGyu1)(zz例例1-9 1-9 知线性定常离散系统方程为知线性定常离散系统方程为)(10)(3 . 04 . 010) 1(kukkxx)(1011)(k

32、kxy求其脉冲传送函数矩阵求其脉冲传送函数矩阵解解103 . 04 . 011011)(11zzzzHGICGyu)5 . 0)(8 . 0()5 . 0)(8 . 0(1zzzzzz对于对于SISO线性定常离散系统线性定常离散系统)()() 1(kukkhGxx)()()(kdukkyCx系统脉冲传送函数为系统脉冲传送函数为dzzgyuhGIC1)(1.5 1.5 线性变换线性变换 我们知道，形状变量的选取是非独一的。选择不同的形状变量，我们知道，形状变量的选取是非独一的。选择不同的形状变量，那么得到的形状空间表达式也不一样。那么得到的形状空间表达式也不一样。 由于它们都是同一个系统的形状空

33、间描画，它们之间必然存在由于它们都是同一个系统的形状空间描画，它们之间必然存在某种关系。这个关系就是矩阵中的线性变换关系。某种关系。这个关系就是矩阵中的线性变换关系。求线性变换的目的：将系统矩阵变成为规范形，便于求解形状方程。求线性变换的目的：将系统矩阵变成为规范形，便于求解形状方程。1.5.1 等价系统方程等价系统方程1. 线性定常系统线性定常系统DuCxyBuAxx 1 为n 维形状向量； 为r 维输入向量； 为m维输出向量； 、 、 、 为相应维数的矩阵。xuyABCD引入非奇特变换矩阵引入非奇特变换矩阵PPxx 或者或者xPx1-代入方程代入方程1uBxAPBuxPAPx1uDxCDu

34、xCPy1其中其中1 PAPAPBB 1CPCDD 于是，系统形状方程变为于是，系统形状方程变为uDxCyuBxAx2方程方程1与方程与方程2互为等价方程互为等价方程2. 线性时变系统线性时变系统uDxCyuBxAx)()()()(tttt3引入变换矩阵引入变换矩阵)(tPxPx)(t或者或者xPx)(1t-对上式求导并代入对上式求导并代入)()()()()()()(1uBxAPxPPxPxPxttttttt-uBxAuBPxPAPxPP)()()()()()()()()(11ttttttttt-可以得到可以得到)()()()()()()()()()(111tttttttttt-PAPPPAP

35、PPA)()()(tttBPB又由又由uDxCuDxPCuDxC)()()()()()()()(1tttttttty可以得到可以得到)()()(1tttPCC)()(ttDDuDxCyuBxAx)()()()(tttt4方程方程3与方程与方程4互为等价方程互为等价方程1.5.2 线性变换的根本性质线性变换的根本性质1. 线性变换不改动系统的特征值线性变换不改动系统的特征值DuCxyBuAxx 线性定常系统线性定常系统系统的特征方程为系统的特征方程为012211det)(aaaannnAI0)(1nii等价系统的特征方程为等价系统的特征方程为)det()det()det()(111-PAPPPP

36、APIAI0)det(det)det(det1AIPAIP-可见线性变换不改动系统的特征值可见线性变换不改动系统的特征值2. 线性变换不改动系统的传送函数矩阵线性变换不改动系统的传送函数矩阵BAICGyu1)(ss时的传送函数矩阵时的传送函数矩阵0D)()()(1111111111sssssss-yuyuGBAICBAIPPCBPPAPIPCPBPAPICPBAICG可见，经过线性变换，系统的传送函数矩阵不改动可见，经过线性变换，系统的传送函数矩阵不改动1.5.3 化系数矩阵化系数矩阵 A 为规范形为规范形所谓规范形是指：对角形、约当形、模态形所谓规范形是指：对角形、约当形、模态形i设设 是是

37、 矩阵矩阵 A 的特征值，假设存在一个的特征值，假设存在一个n 维非零向量维非零向量 使使 nniqiiiqAq ), 2 , 1(ni或或0)(iiqAI成立，那么称成立，那么称 为为 A 的对应于特征值的对应于特征值 的特征向量的特征向量 iqi而而1. 化矩阵化矩阵 A 为对角阵为对角阵假设假设n 个特征值互异，那么令个特征值互异，那么令nqqqQ211211-n-qqqQPn21001PAP例例1-10 1-10 将矩阵将矩阵 化为对角阵化为对角阵3210A解解0)2)(1(321detdetAI1122解出解出111q212q211121qqQ变换矩阵变换矩阵1112211111QP

38、20012111321011121PAP假设矩阵假设矩阵 A 具有这样方式具有这样方式110101000010naaaA范德蒙特矩阵范德蒙特矩阵112112222121111nnnnnnQ变换矩阵变换矩阵11121122221211111-nnnnnn-QP2. 化矩阵化矩阵 A 为约当形为约当形假设矩阵假设矩阵 A 有重特征值，并且独立特征向量的个数小于有重特征值，并且独立特征向量的个数小于n ,这这时不能化为对角阵，只能化为约当形。时不能化为对角阵，只能化为约当形。11110101PAPJnn nnnnA11121210101qqqqqq确定变换矩阵确定变换矩阵可以得到：可以得到：011q

39、AI121qqAI231qqAI11nnqqAI变换矩阵为变换矩阵为1211nqqqQP例例1-12 1-12 化矩阵化矩阵 为规范为规范形矩阵形矩阵452100010A解解0)2() 1(4521001detdet2AI得出得出121 23求二重特征根对应的特征向量求二重特征根对应的特征向量011qAI035211001145210001010001000111qq得到得到1111q而由而由121qqAI1113521100112q得到得到2102q求特征值求特征值 对应的特征向量对应的特征向量3033qAI02521100113q得到得到4213q因此因此421211101321qqqQ1

40、2113212042121110111QP2000100114212111014521000101211321201PAPJ设特征值为设特征值为j1j2当特征值为共轭复数时，可以将矩阵化为模态阵当特征值为共轭复数时，可以将矩阵化为模态阵3. 化矩阵化矩阵 A 为模态阵为模态阵在此情况下，在此情况下， A 的模态形为的模态形为M设设 为对应于为对应于 的特征向量，那么的特征向量，那么1qj111jAqq 令令111jq那那么么11Q 1111-QP变换矩阵变换矩阵例例1-13 1-13 将将 化为化为模态形模态形41712A解解025641712det)(2特征值为特征值为431j432j221

41、12211jj41712jj)43(解得解得40j1112111qqq因此因此4101Q4141011-QP34431PAP1.6 1.6 组合系统的数学描画组合系统的数学描画 工程中较为复杂的系统，通常是由假设干个子系统按某种方工程中较为复杂的系统，通常是由假设干个子系统按某种方式衔接而成的。这样的系统称为组合系统。式衔接而成的。这样的系统称为组合系统。 组合系统方式很多，在大多数情况下，它们由并联、串联和组合系统方式很多，在大多数情况下，它们由并联、串联和反响等反响等3种衔接方式构成的。种衔接方式构成的。 下面以两个子系统下面以两个子系统 和和 构成的组合系统进展引见。构成的组合系统进展引

42、见。1S2S的系统方程为的系统方程为1S11111uBxAx11111uDxCy传送函数矩阵为传送函数矩阵为111111)(DBAICGss的系统方程为的系统方程为2S22222uBxAx22222uDxCy传送函数矩阵为传送函数矩阵为221222)(DBAICGss1.6.1 并联衔接并联衔接21uuu21yyy系统方程系统方程uAA2121212100BBxxxxuDDxxCC212121y)()(00)(212212211111212112121sssssssyuGGDBAICDBAICDDBBAIAICCG传送函数矩阵传送函数矩阵1.6.2 串联衔接串联衔接uBxAuBxAx11111

43、111uDxCuDxCy11111111uDBxCBxAuDxCBxAyBxAuBxAx1211222111222122222222uDDxCDxCuDxCDxCyDxCuDxCy1211222111222122222222串连组合后系统方程串连组合后系统方程uAA121212121210DBBxxCBxxuDDxxCCDy1221212传送函数矩阵传送函数矩阵)()()()()()()()(1212ssssssssyyuuGuGGyG所以所以)()()(12sssyuGGG1.6.3 反响衔接反响衔接组合后系统方程为组合后系统方程为uAA012121221121BxxCBCB-xx2110

44、xxCy传送函数矩阵为传送函数矩阵为)()()()(1121sssIs-yuGGGG或或)()()()(1112sssIs-yuGGGG1-1251-126121)()(sGsGI 该当指出，在反响衔接的组合系统中，该当指出，在反响衔接的组合系统中，或或 存在的条件是至关重要的。否那么反响系统对存在的条件是至关重要的。否那么反响系统对于于某些输入就没有一个满足式某些输入就没有一个满足式1-125或式或式1-126的输出。就这的输出。就这个意义来说，反响衔接就变得无意义了。个意义来说，反响衔接就变得无意义了。112)()(sGsGI1.7 1.7 利用利用MATLABMATLAB进展模型转换进展

45、模型转换1.7.1 传送函数与形状空间表达式之间的转换传送函数与形状空间表达式之间的转换1. 延续系统形状空间表达式延续系统形状空间表达式 MATLAB是当今世界上最优秀的科技运用软件之一，它以强大是当今世界上最优秀的科技运用软件之一，它以强大的科学计算才干和可视化功能，简单易用的编程言语以及开放式的的科学计算才干和可视化功能，简单易用的编程言语以及开放式的编程环境等一些显著的优点，使得它在当今许许多多科学技术领域编程环境等一些显著的优点，使得它在当今许许多多科学技术领域中成为计算机辅助分析和设计、算法研讨和运用开发的根本工具和中成为计算机辅助分析和设计、算法研讨和运用开发的根本工具和首选平台

46、。在本书中，用它作为系统分析和设计的软件平台，更显首选平台。在本书中，用它作为系统分析和设计的软件平台，更显示出独特的优势。示出独特的优势。 本节利用本节利用MATLAB实现数学模型的转换。实现数学模型的转换。 可以用可以用ss命令来建立形状空间模型。对于延续系统，其格命令来建立形状空间模型。对于延续系统，其格式为式为 sys=ss(A,B,C,D)，其中，其中A，B，C，D为描画线性延续系为描画线性延续系统的矩阵。统的矩阵。 当当sys1是一个用传送函数表示的线性定常系统时，可以用是一个用传送函数表示的线性定常系统时，可以用命令命令sys=ss(sys1)，将其转换成为形状空间方式。也可以用

47、命，将其转换成为形状空间方式。也可以用命令令sys=ss(sys1,min)计算出系统计算出系统sys的最小实现。的最小实现。例例1-15 1-15 控制系统微分方程为控制系统微分方程为uuuuyyyyy2424724503510)4( 求其形状空间表达式。求其形状空间表达式。解解可以先将其转换成传送函数可以先将其转换成传送函数 2450351024247)()()(23423ssssssssusysG输入以下命令输入以下命令语句执行结果为语句执行结果为这个结果表示，该系统的形状空间表达式为这个结果表示，该系统的形状空间表达式为uyu01875. 0375. 04375. 0100010200

48、0040000161875. 07813. 0188. 210 xxx 留意，在输入命令中，留意，在输入命令中，sys=ss(G)也可以改用也可以改用A,B,C,D=tf2ss(num,den)，在本例中其作用和，在本例中其作用和sys=ss(G)近近似，也可以计算出矩阵似，也可以计算出矩阵A、B、C、D。2. 离散系统的形状空间表达式离散系统的形状空间表达式离散系统的形状空间表达式为离散系统的形状空间表达式为 )()()()()() 1(kdukCxkykHukGxkx 和延续系统形状空间表达式的输入方法相类似，假设要输入和延续系统形状空间表达式的输入方法相类似，假设要输入离散系统的形状空间

49、表达式，首先需求输入矩阵离散系统的形状空间表达式，首先需求输入矩阵G、H、C、d，然后输入语句然后输入语句 ，即可将其输入到，即可将其输入到MATLAB的的workspace中，并且用变量名来表示这个离散系统，其中中，并且用变量名来表示这个离散系统，其中T为采为采样时间。假设样时间。假设Gyu表示一个以脉冲传送函数描画的离散系统，也表示一个以脉冲传送函数描画的离散系统，也可以用可以用ss(Gyu )命令，将脉冲传送函数模型转换成形状空间表达命令，将脉冲传送函数模型转换成形状空间表达式。式。),(TdCHGsssys 例例1-16 1-16 假设某离散系统的脉冲传送函数为假设某离散系统的脉冲传送

50、函数为47. 022. 298. 323. 389. 038. 057. 031. 0)(23423zzzzzzzzGyu采样周期为采样周期为 ，将其输入到，将其输入到MATLAB的的workspace中，并且中，并且绘制零、极点分布图。并且将该离散系统脉冲传送函数模型转换绘制零、极点分布图。并且将该离散系统脉冲传送函数模型转换成形状空间表达式。成形状空间表达式。sT1 . 0 解解 输入以下语句输入以下语句语句执行的结果为语句执行的结果为再输入语句再输入语句 ，绘制出零、极点分布图如下，绘制出零、极点分布图如下在执行完上述语句后，在执行完上述语句后，Gyu曾经存在于曾经存在于MATLAB的的workspace中，这时再执行语句中，这时再执行语句执行结果为执行结果为 结果表示，离散系统的形状空间表达式为结果表示，离散系统的形状空间表达式为)(0001)(05