322空间线面平行与垂直关系的判定

1、攸县一中 洪开科 一、复习引入用空间向量解决立体几何问题的用空间向量解决立体几何问题的“三步曲三步曲”。（1 1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；何问题转化为向量问题；（2 2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（3 3）把向量的运算结果）把向量的运算结果“翻译翻译”成相应的几何意成相应的几何意义。义。（化为向量问题）（化为向

2、量问题）（进行向量运算）（进行向量运算）（回到图形）（回到图形）OD1C1B1A1DBCA例例1如图如图,在平行六面体在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中中, O是是B1D1的中点的中点, 求证求证： B1C平面平面ODC1，又又B1C 平面平面ODC1, B1C平面平面ODC1分析分析(基基底底法法)：只要证明与平面：只要证明与平面ODC1中的一组基中的一组基底底共面共面.A1D1B1ADBCC1EF(2,0,0)(2,2,1)DADE ，1(0,1, 2)D F 则则 xyz 例例2.2.在正方体在正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，E、F分别是分别是BB1 1，CD中点，求证：中

3、点，求证：D1F平面平面ADE 证明：设正方体棱长为证明：设正方体棱长为2，如，如图建立图建立空间直角坐标系空间直角坐标系D-xyz1100D F DAD F DE ，D1FDA，D1FDE又又DA DE=D 所以所以D1F平面平面ADE 2例例3 如图，四棱锥如图，四棱锥FABCD的底面的底面ABCD是菱形，其对角线是菱形，其对角线AC=2，BD= ，且，且CF平面平面ABCD，CF=2.求证：平面求证：平面ABF平面平面ADF (2009安徽卷理安徽卷理(1)证：证： ABCD是正方形，是正方形，ACBD如图建立空间直角坐标系如图建立空间直角坐标系O-xyz则则A(0,-1,0)， C(0

4、,1,0)，F(0,1 ,2) BCFADOxzy2ABCDEPF (1)证明：因为证明：因为ABCD是菱形是菱形, ABC=60且且PA=AC=a, 菱形的边长为菱形的边长为a. PA2+AB2=2a2=PB2. PAAB. 同理同理PAAD, PA平面平面ABCD. 例例4如图，在底面是菱形的四棱锥如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中中, ABC=60, PA=AC=a, PB=PD= a, 点点E在在PD上上, 且且PE:ED=2:1.(1) 证明证明PA平面平面ABCD；(2) 求以求以AC为棱，为棱，EAC与与DAC为面的二面角为面的二面角的大小；的大小；(3) 在棱在棱PC上是

5、否存在一点上是否存在一点F使使BF/平面平面AEC？证明你的结论？证明你的结论.2ABCDEPFyzxN例例4如图，在底面是菱形的四棱锥如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中中, ABC=60, PA=AC=a, PB=PD= a, 点点E在在PD上上, 且且PE:ED=2:1.(1) 证明证明PA平面平面ABCD；(2) 求以求以AC为棱，为棱，EAC与与DAC为面的二面角为面的二面角的大小；的大小；(3) 在棱在棱PC上是否存在一点上是否存在一点F使使BF/平面平面AEC？证明你的结论？证明你的结论.(2)解解: 过过A作作ANAD交交BC于于N，如图建立空间直角坐标系如图建立空间直角坐

6、标系A-xyz. 3121(,0),(0,).2233ACaaAEaa 则则设设平面平面EAC的法向量为的法向量为( , , )ux y z 3102221033axayuACuAEayaz 则则3( 3, 3,6)xu 设设解解得得易知平面易知平面DAC的法向量为的法向量为(0,0,1)v 63cos,2|48u vu vuv =30.2ABCDEPFyzxN例例4如图，在底面是菱形的四棱锥如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中中, ABC=60, PA=AC=a, PB=PD= a, 点点E在在PD上上, 且且PE:ED=2:1.(1) 证明证明PA平面平面ABCD；(2) 求以求以AC

7、为棱，为棱，EAC与与DAC为面的二面角为面的二面角的大小；的大小；(3) 在棱在棱PC上是否存在一点上是否存在一点F使使BF/平面平面AEC？证明你的结论？证明你的结论.31(0, ,0),(, ).22BCADaCPaa a , (3) 假设存在点假设存在点F满足条件满足条件.31(,(1) ,)22BFBCCPaaa 则则其中其中01. 且且 0u BF 313(1)6022aaa 12 解解得得又又 BF 平面平面AEC 存在点存在点F是棱是棱PC的中点，使的中点，使BF/平面平面AEC.( 3, 3,6)u 五、迁移练习五、迁移练习1下列判断不正确的是下列判断不正确的是( )A若若两

8、两平面的法向量共线，则平面的法向量共线，则两两平面平行平面平行. B若直线的方向向量与平面的法向量共线，若直线的方向向量与平面的法向量共线，则直线与平面垂直则直线与平面垂直.C若若两两平面的法向量垂直，则平面的法向量垂直，则两两平面垂直平面垂直.D若直线的方向向量与平面的法向量垂直，若直线的方向向量与平面的法向量垂直，则直线与平面平行则直线与平面平行.2棱长为棱长为a的正方体的正方体ABCDA1B1C1D1中，在棱中，在棱DD1上找到一点上找到一点P使使B1D面面PAC，则，则DP的长为的长为 _ Da616( 3,0,6),(0,1,0),( 3,0,0),(0,0,)2ABAM16(3,0

9、,),(3,1,6)2AMA B 10AM A B ABCA1B1C1Myz3在直三棱柱在直三棱柱ABC-A1B1C1中，中，ACB=90，BAC=30，BC=1， A1A= ，M是是CC1得中点。得中点。求证：求证：A1BAM 总结：用向量证明比几何方法证明简单、明了。总结：用向量证明比几何方法证明简单、明了。 证明：证明：如图建立如图建立空间直角坐标系空间直角坐标系C-xyz4在正方体在正方体AC1中，中，E、F分别是分别是BB1、CD的中点，求的中点，求证：面证：面AED面面A1FD1ABCDA1B1C1D1EFXYZABCDADEFNM,AEBD,11,33BMBD ANAE ，/MNCDE平平面面5 5. .如如图，已知矩形图，已知矩形和矩形和矩形所在平面互相垂直，点所在平面互相垂直，点分别在对角线分别在对角线上，且上，且求证：求证：ABCDEFxyzMN), 0 ,2(caBMABNANM)0 ,3 , 0(bAD 0NM AD 由NMAD得到简证：因为矩形简证：因为矩形ABCD和矩形和矩形ADEF所在平面互相垂直，所以所在平面互相垂直，所以AB，AD，AF互相垂直。以互相垂直。以 为