131单调性与最大值（1）

1、编写人：贾栋兖州一中一、学习目标v熟练掌握增函数、减函数的定义。v会求函数的单调性。v会证明函数的单调性。二、教学重点、难点v重点：函数单调性的概念和判断。v难点：函数单调性的证明。三、知识链接v函数的三要素：定义域，值域，对应关系。v初中学习的一次函数与二次函数，图像的变化有什么特征？2、在区间、在区间 _上，随着上，随着x的增大，的增大，f(x)的值随着的值随着 _. o5-5-55f(x)=x1、从左至右图象上升还是下降、从左至右图象上升还是下降 _?上升上升(- ,) 增大增大0 xy1x)(1xf2xy0 xy1x)x(f12xy0 xy1x)x(f12xy0 xy1x)x(f12x

2、y0 xy1x)x(f12xy0 xy1x)x(f12xy0 xy1x)x(f12xyOxy1x)x(f12xy0 xy)0(f2xyOxy1x)(1xf2xy由上述图像我们发现： 在区间(0，+)上，f(x)随着x的增大，相应的f(x) 随着增大。即：在区间(0，+)上，任取两个x1,x2,当x1x2时，有f(x1)f(x2),这时，我们就说函数f(x)=x2在区间(0，+)上是增函数。Oxy1x)(1xf2xy由上述图像我们发现： 在区间(-，0)上，f(x)随着x的增大，相应的f(x) 随着减小。即：在区间(-，0)上，任取两个x1,x2,当x1x2时，有f(x1)f(x2),这时，我们

3、就说函数f(x)=x2在区间(-，0)上是减函数。增函数： 一般地，设函数一般地，设函数y=f(xy=f(x) )的定义域为的定义域为I I，如，如果对于果对于定义域定义域I I内的某个区间内的某个区间D D内的内的任意任意两个两个自自变量变量x x1 1，x x2 2，当当x x1 1xx2 2时，都有时，都有f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2) )，那，那么就说么就说f(xf(x) )在区间在区间D D上是增函数。上是增函数。yx0 x1x2f(x1)f(x2)y=f(x) 一般地一般地, ,设函数设函数y=f(x)y=f(x)的定义域为的定义域为I,I,如如果对果对于于定义域定义域

4、I I内的某个区间内的某个区间D D内的内的任意任意两个两个自变量自变量x x1 1,x,x2 2. .当当x x1 1xf(x)f(x2 2),),那么就说那么就说f(x)f(x)在区间在区间D D上是减函数。上是减函数。yx0 x1x2f(x1)f(x2)y=f(x)减函数： 注： 如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间.例一：右图是定义在-5，5上的函数 ，根据图像说出函数的单调区间，以及在每一区间上，它是增函数函数减函数？( )yf x解：解：函数函数 的单调区间有：的单调区间有： 和

5、和 和和 和和( )yf x 5,2) 2,1)1,3)3,5其中，其中， 在区间在区间-5,-2)-5,-2)，1,3)1,3)上上是减函数，在区间是减函数，在区间-2,1)-2,1)，3,53,5上是增上是增函数。函数。( )yf x二次函数y=ax2+bx+c(a0)在 上是增函数在 上是减函数在 上是增函数在 上是减函数(,2ba (,)2ba在在(-,+)上是减函数上是减函数在在(-,+)上上是增函数是增函数一次函数y=kx+b(k0)yox当k0时,yox当a0时,(,2ba (,)2ba例2：物理学中的玻意耳定律物理学中的玻意耳定律 ( 为正常数为正常数)告诉我们，对于一定量的气

6、体，当其体积告诉我们，对于一定量的气体，当其体积 减减小时，压强小时，压强 将增大，试用函数的单调性证明。将增大，试用函数的单调性证明。kpVkVp分析：只需要证明函数 在区间(0，+)上是减函数即可。证明：根据单调性的定义，设 V1，V2 是定义域(0，+)上的任意两个实数，且V1V2 ，则kpV由 得 由V1V2 ，得V2-V10。21121212()().VVkkp Vp VkVVVV1212,(0,),0;V VV V又 0，于是 0，即 .所以，函数 在区间(0，+)上是减函数。即当其体积 减小时，压强 将增大。k12()()p Vp V1()p V2()p VkpVpV（1）取值）

7、取值（2）作差变形）作差变形（3）定号）定号（4）判断）判断根据单调性的定义得结论。根据单调性的定义得结论。 取取 是该区间内的任意两个值且是该区间内的任意两个值且 。12x ,x12x x 即求即求 ，通过因式分解、配方、有理，通过因式分解、配方、有理化等方法。化等方法。12f(x )-f(x ) 即即根据给定的区间和根据给定的区间和 的符号的确定的符号的确定 的符号。的符号。21x -x12f(x )-f(x )定义证明函数单调性的一般步骤：定义证明函数单调性的一般步骤：练习：练习： 求证函求证函数数 在区间在区间 上是单上是单调增函数调增函数1f(x) = -1x0 +， ，则，则证明：

8、在区间（证明：在区间（0，+）上任取两个值）上任取两个值 ,且且 12x ,x12x x12121212x -x11f(x )-f(x ) = -+=xxx x又因为又因为 ， ，所以说，所以说12x -x 012f(x )-f(x ) 0 即函数即函数 在区间（在区间（0，+）上是单调）上是单调增函数增函数.1f(x) = -1x若把区间改为若把区间改为 , ,结论变化吗结论变化吗 ? ? -0，若把函数改为若把函数改为af(x) = -1(a0)x，结论变化吗？结论变化吗？思考：针对训练：1、下列函数中，在区间(0,2)上单调递增的是( )21.23.1 2.(23)A yB yxC yxD yxx 2、已知f(x)在R上是减函数，a,bR，且a+b0，则有（ ）. ( )( ). ( )( ). ( )(). ( )()A f af bB f a