三角恒等变换学案1

1、第 三 章三 角 恒 等 变 换一、课标要求：本章学习的主要内容是两角和与差的正弦、余弦、和正切公式，以及运用这些公式进行简单的恒等变换.三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上.通过本章学习，要使学生在学习三角恒等变换的根本思想和方法的过程中，开展推理能力和运算能力， 使学生体会三角恒等变换的工具性作用，学会它们在数学中的一些应用1. 了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；2.理解以两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、 余弦、正切公式，了解它们的内在联系；3.运用上述公式进行简单的恒等变换，以引导学生推导半角公式，积化和

2、差、和差化 积公式不要求记忆作为根本训练，使学生进一步提高运用转化的观点去处理问题的自觉性，体会一般与特殊的思想， 换元的思想，方程的思想等数学思想在三角恒等变换中的应用.二、编写意图与特色1.本章的内容分为两节：“两角和与差的正弦、余弦和正切公式，“简单的三角恒等变换，在学习本章之前我们学习了向量的相关知识，因此作者的意图是选择两角差的余弦公式作为根底，运用向量的知识来予以证明，降低了难度，使学生容易接受；2.本章是以两角差的余弦公式作为根底来推导其它的公式；3.本章在内容的安排上有明暗两条线，明线是建立公式，学会变换，暗线是开展推理和运算的能力，因此在本章全部内容的安排上，特别注意恰时恰点

3、的提出问题，引导学生用比照、联系、化归的观点去分析、处理问题，强化运用数学思想方法指导设计变换思路的意识；4.本章在内容的安排上贯彻“删减繁琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末叶的内容的理念，严格控制了三角恒等变换及其应用的繁、难程度，尤其注意不以半角公式、积化和差、和差化积公式作为变换的依据，而只把这些公式的推导作为变换的根本练习.三、教学内容及课时安排建议本章教学时间约 8 课时，具体分配如下：3.1 两角和与差的正弦、余弦、和正切公式约 3 课时3.2 简单的恒等变换约 3 课时复习约 2 课时课题 3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、课标要求：本节的中心内容是建立相关的十一

4、个公式，通过探索证明和初步应用， 体会和认识公式的特征及作用.二、编写意图与特色本节内容可分为四个局部，即引入，两角差的余弦公式的探索、证明及初步应用，和差公式的探索、证明和初步应用，倍角公式的探索、证明及初步应用三、学习重点与难点1.重点：引导学生通过独立探索和讨论交流，导出两角和差的三角函数的一个公式,并了解它们的内在联系，为运用这些公式进行简单的恒等变换打好根底；2.难点：两角差的余弦公式的探索与证明.课题3.1.1两角差的余弦公式第一课时一、学习目标1掌握借助单位圆，运用三角函数定义和向量夹角的余弦公式推导出两角差的余弦公 式；2通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及功能，为建立其它

5、和差公式打好 根底；3通过教学活动，使学生经历发现、猜测、论证的数学化的过程，并体验到数学学习 的严谨、求实的科学态度，逐步培养学生探索问题的精神。二、学习重、难点1. 重点：通过探索得到两角差的余弦公式；2. 难点：探索过程的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的根底知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题，等等三、学习过程1、学习引导探究一：两角差的余弦公式思考 1：设 a , 3 为两个任意角,你能判断 COS a 3 = COS a COS。恒成立吗？思考 2:我们设想 COSa 3 的值与 a , 3 的三角函数值有一定关系，观察下表中的数据，你有

6、什么发现？COS(60 - 30)COS60COS30Sin60 Sin30COS(120-60)COS120COS60Sin120Sin60思考 3： 一般地，你猜测 COS a 3 等于什么？思考 4:如图，设 a , 3 为锐角，且 a 3，角 a 的终边与单位圆的交点为 P1, / P1OP= 3，那么 COSa - 3 表示哪条线段长？思考 5：上图中，如何用线段分别表示Sin 3 和COS3 ?思考 6： COS a COS。= OACOS a ,它表不哪条线段长？sin a sin 3 = PAsin a ,它表示哪条线段长？yc思考 7:利用 OM = OB + BM = OB

7、 + CP 可得什么结论？思考 8：上述推理能说明对任意角a , 6 ,都有 cos a 3 = cosa cos。+ sin a sin 3 成立吗？思考 9：根据 cos a cos 3 + sin a sin 3 的结构特征，你能联想到一个相关计算原理吗？思考 10:如图，设角 a , 3 的终边与单位圆的交点分别为A、B,贝 u 向量OA、OB的坐标分别是什么？其数量积是什么?据量积定义，OA OB等于什么？由此可得什么结论?思考 12：公式 cos( a 3 ) = cos a cos 3 + sin a sin 3 称为差角 的余弦公式，记作C皿，该公式有什么特点？如何记忆？探究二

8、：两角差的余弦公式的变通思考 1：假设 a + 6 和 6 的三角函数值，如何求 cosa 的值？思考 2:利用 a a 3 =。可得 cos。等于什么？思考 3：假设 cos a + cos 3 = a, sin a + sin 3 = b,贝 U cos a 。等于什么？ 思考 4：假设 cos a cos 3 = a, sin a sin 3 = b,贝 U cos a 。等于什么？2、随堂练习、cos 15。=2二33、sina = - ,aW 一, R, cosB =-一，6 w冗,一,求cos - P 3242一，.15、sine=一,时是第二象限角 求cose-一的值1733、知

9、识拓展例10s P为锐角,co甲=,sina+E= 3,求co才714-一一 .1一3兀*,、例 2cosa + bcosb + sina + bsinb =，且0一,2兀，求cosa -云的值.四、反思小结1.在差角的余弦公式的形成过程中， 蕴涵着丰富的数学思想、方法和技巧，如数形结合,化归转换、归纳、猜测、构造、换元、向量等，我们要深刻理解和领会2. 一个角的正弦或余弦值，求该角的余弦或正弦值时 ，要注意该角所在的象限，从而确定该角的三角函数值符号.思考 11 ：向量OA与OB的夹角。与 a、3 有什么关系？根3.在差角的余弦公式中，a, 6 既可以是单角，也可以是复角，运用时要注意角的变

10、换， 如，2 3 = a + 6 a - 3 等.同时，公式的应用具有灵活性，解题时要注意正向、逆向和变式形式的选择五、白我测评2、COSa = ga在(；，兀),贝U COS(jot)=()课题W.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(第二课时)一、学习目标理解以两角差的余弦公式为根底，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用 二、学习重、难点1. 重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式的探究及公式之间的内在联系；2.难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用三、学习过程1、学习引导探究(一)：两角和与差的根本三角公式思考 1 :注意到

11、a +。= a ( 3 )，结合两角差的余弦公式及诱导公式，COS( a + 3 )等于什么？思考 2:上述公式就是两角和的余弦公式，记作。(邠，该公式有什么特点？如何记忆？思考3:诱导公式sin(a) =cosa可以实现由正弦到余弦的转化，结合C( . ：)和C(:._) 你能推导出 sin( a + 3 ), sin( a 6 )分别等于什么吗？思考 4：上述公式就是两角和与差的正弦公式，分别记作S&港，这两个公式有什么特点？如何记忆？思考 5：正切函数与正弦、 余弦函数之间存在商数关系，从S(“塑、Cp)出发，tan(a+ 3 )、tan( a 3 )分别与 tan a、tan

12、3 有什么关系思考 6：上述公式就是两角和与差的正切公式，分别记作T(。福，丁仁书)，这两个公式有什么特点？如何记忆？公式成立的条件是什么？思考 7：为方便起见，公式&小有，CBP)，工立书称为和角公式，公式Sg* , C(%_p),T(*称为差角公式。怎样理解这 6 个公式的逻辑联系？探究(二)：两角和与差三角公式的变通思考 1 ： 假设 cos a + cos 3 = a,sin a sin3 = b,贝 Ucos( a + 3 )等于思考 2： 假设 sin a + cos 3 = a,cos a+ sin3 = b,贝 Usin( a + 3 )等于思考 3:根据公式 Tg 卅

13、，tana + tan。可变形为思考 4： sinx + cosx 能用一个三角函数表示吗?2、随堂练习、利用和差角公式，求以下各式的值 sin15o； cos75；、利用和差角公式，求以下各式的值 sin 72ocos42o- cos72osin 42； cos20ocos70o- sin 20osin 70o；、sina=一3,口是第四象限角，求sin：兰a cos：兰|的值.5443、知识拓展A1 - tan15例 1 1.化间眨cosx-扼sin x-1- tan15例 2 2.tan (a + E )=? ,tan勺一四)=】,求tan | 的值.例 3 3.0 E(兰a ,cos兰

14、-a1= -,sin竺 + E )=史，求sin (a + 6)的值4445413四、反思小结1.两角差的余弦公式Ca_是两角和与差的二角系歹0公式的根底，明确了各公 式的内在联系，就自然掌握了公式的形成过程.2.公式诵5与，。出,Ca有与CaP,Ta希与La*的结构相R,但运算符号 不同，必须准确记忆，防止混淆.3.公式都是有灵活性的，应用时不能生搬硬套，要注意整体代换和适当变形五、白我测评课题3.1.3二倍角的正弦、余弦和正切公式第三课时一、学习目标以两角和正弦、 余弦和正切公式为根底， 推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导 过程，掌握其应用.二、学习重、难点1、重点：以两角和的正弦、

15、余弦和正切公式为根底，推导二倍角正弦、余弦和正切公2、难点：二倍角的理解及其灵活运用三、学习过程1、学习引导探究一：二倍角根本公式思考 1:两角和的正弦、余弦和正切公式都是恒等式，特别地，当 6 = a 时，这三个公 式分别变为什么？思考 2:上述公式称为倍角公式，分别记作&“，C2“，T2“，利用平方关系，二倍角的余弦公式还可作哪些变形？思考 3:在二倍角的正弦、余弦和正切公式中，角 a 的取值范围分别如何?思考 4：如何推导 sin3 a , cos3 a 与 a 的三角函数关系？探究二：二倍角公式的变通思考 1: 1 + sin2 a 可化为思考 2：根据二倍角的余弦公式，sin

16、2a , cos2a 与 cos2 a 的关系分别如何?思考 3: tan a 与 sin2 a , cos2a 之间是否存在某种关系？思考 4： sin2 a , cos2 a 能否分别用 tan a 表示？2、随堂练习(1). sin22?30 cos2密0 =.2 cos2主 T =;8. 2sin2一cosJL88.8sinJI兀coscos484855.(sincos1212.4cosot4-sinOt223、知# m 拓展JI JI 一cos 一 =24125二5二一-cos一)=1212例1、一，3、2一cosw = - ,cos& =且a,52求tan2(a P )的值

17、。例2、3 sin x cosx =一,10求4sin三-x4jsin巴+x的值4)(sin四、反思小结1. 角的倍半关系是相对而言的,2 a是a的两倍,4 a是2 a的两倍等，这里蕴 含着换元的思想.2. 二倍角公式及其变形各有不同的特点和作用，解题时要注意公式的灵活运 用，在求值问题中，要注意寻找与未知的联结点 .3. 二倍角公式有许多变形，不要求都记忆，需要时可直接推导.五、白我测评3.2简单的三角恒等变换3个课时一、课标要求：本节主要包括利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换，以及三角恒等变换在数学中的应用.二、编写意图与特色本节内容都是用例题来展现的.通过例题的解答，引导学生对变换对

18、象目标进行比照、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式， 如何根据问题的条件进行公式变形， 以及 变换过程中表达的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识， 从而加深理解变换思想，提 高学生的推理能力.三、学习目标通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行比照、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中表达的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力.四、学习重、难点1、 重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式的推导作为根本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变

19、换相比拟中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力.2、 难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高 从整体上把握变换过程的能力.课题3.2简单的三角恒等变换第一课时一. 学习目标1掌握运用和差角公式、倍角公式进行三角变换的方法和思路，不断提高从整体上把 握变换过程的能力式推导。2弄清代数变换与三角变换的不同点，认真体会三角变换的特点，提高推理、运算能力。3深刻理解三角变换的思想，培养学生运用换元、逆向使用公式、方程等数学思想方法解 决问题的能力。、学习重、难点1 1、重点：三角恒等变换的内容、思路和方法，以及在积化和差、和差化积、半角公式等方 面的应用。2 2

20、、难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计。三、学习过程1、学习引导问题1:前面学过的倍角公式是什么?四、反思小结倍角公式的灵活运用，弄清倍、半关系的相对性。注意等价转化，换元、方程的思 想。五、白我测评问题2: &与竺有什么关系?23:在二倍角公式中，以a代替2a ,以竺代替a将公式进行改写为22：2， 2 4.试以cosct表示sin ,cos , tan -222_一. a a . a -5：(1)cosot ,如何求sin ,cos ,tan ?222(2)代数式变换与三角变换有什么不同呢？16：求证：(1) sin a cos 0 =5 sin (0

21、+ B )+sin(口一0) I一. 8+平9-(2 ) sinsin = 2sin-cos- .22问题7:上述证明中用到哪些数学思想？2、随堂练习sin：1-cos：问题问题问题问题2-3一2cos -sinu-1(2)sin 2B =3,0/3cos4x+sin 4x。2 2、难点：利用三角恒等变换化简函数表达式及对函数y y = = asinaasina + + bcobco 协性质的讨论。r nr m、，2、 f (x) = sin|x+L |+sin x上 |+cosx+a(a R) , a 为常数。66(1)求函数 f (x)的最小正周期；(2)假设 f(x)在|_买，兰 1 上

22、最大值与最小值之和为彩，求 a 值并画出 f(x)在|_买，买 12 22 2上的图像。2 ,71、3、f (x) =2sin(x专)cos(x+.)+ 2j3cos (x + J3 ,(1)化简f (x)的解析式;(2)假设08?兀，求8,使函数f(x)为偶函数;(3)在(2)成立的条件下，求满足f (x) =1,x在JT,JT的x的集合。课题3. 2简单的三角恒等变换(第三课时)一.学习目标1熟练掌握求三角函数最值的常用思路和方法，进一步提高学生三角变换的能力。2掌握解数学应用问题的步骤和方法，能正确的选择自变量，建立函数关系式，培养学生 的应用意识和解决实际问题的能力，进一步理解数学建模

23、思想。3培养学生独立思考、自主探究的能力，学会数学地思考问题、解决问题。二、 学习重、难点1 1、 重点：求三角函数式的最值，解数学应用问题的思路、步骤和方法。2 2、 难点：如何科学地把实际问题转化为数学问题，如何选择自变量建立函数关系式。三、 学习过程1、学习引导问题1、求三角函数式在某一区间上的最值的根本思路是什么？问题 2 2、如图，OPQ 是半径为 1,圆心角为 ；的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内接矩形，记NCOP=口，求当角取何值时，矩形 ABCD 的面积最大？并求出 这个最大面积。(给出题目之后适当启发思路关键在找出面积S 与角a之间的函数关系式，然后由学生自主

24、探究、 合作交流完成整个 过程并展示，再由教师点评在求最值时注意自变量的范围；p p A AHF应用问题转化为数学问题，最后结论要回归到实际问题。)2、随堂练习假设问题 2 中去掉条件记 NCOP=a ，要求改成“求矩形 ABCD 的最大面积还 有其它解决方法吗？(教师引导学生思考选择不同的自变量以寻求不同的解决方案。之后教师进行点评：建立数学模型的关键是选择恰当的自变量， 不同的自变量决定了数学模型的繁简程度；自变量的引入通常有代数和三角两种方法，有些方法虽然无法最终解决问题,但能促进对函数模型多样性的理解。)OPQ 是半径为 1,圆心角为 言的扇形，A、B 是扇形弧上的动点，AB/PQ ,

25、 ABCD 是扇形的内接矩形，求矩形 ABCD 面积的最大值。3、知识拓展例 1、2002 年 8 月，在北京召开国际数学大会，大会会标如下图，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成一个正方形，假设直角三角形中较小的锐角为0,大正方形的面积为 1,小正方形的面积为 ，求 sin。的值。25例 2、如下图，在一个矩形建筑物 ABCD 的局部周边地带开辟绿化带，使建筑物和绿 (口 | / 化带整体构成一个更大的矩形区域AMPN，要求点 B 在 AM 边上，点 D 在 AN 边上，且对角线 MN 过 C 点。矩形建筑物的长 |AB| = 30m，宽|AD | = 20m,绿化带造价为 120

26、 元/ m2。试问，按照此设计要求，至少要准备多少资金？N四、反思小结CD(C在求有关最值问题时，常常可以设一个角为未知数，从而把实际问题转化为三甬问题,然后利用三角函数的有界性、单调性、奇偶性等性质来求解。_(_AB五、白我测评1 函数y=2sin(x)cos(二+x)(x在R)的最小值等于()36A -3B -2C -1D-聂022 ABC 中，NC =90，贝U函数y=sin A+2sin B的值的情况()A 有最大值，无最小值B 无最大值，有最小值C 有最大值且有最小值D 无最大值且无最小值二cos x3当0 x 时，函数f(x)=-的取小值正()4cosxsin x -sin xA4

27、B1C2D -24 f ,一、 - Z,4函数y =sinx + J3cosx在区间.|0,上的取小值为 _-25 函数y =(acosx+bsin x)cos x有最大值2 ,最小值 T ,那么实数a=, b =6函数f (x) =asin x cosx T3acos2x十巫a+b (a a 0)2写出函数的单调递减区间;设x0, , f x的最小值是一2 ,最大值是抵，求实数a,b的值7、直线 11 l2,A 是 li, 12之间的一定点，并且 A 点到 li, 12的距离分别为 hi,h2OB 是直线 12上一动点，作 ACL AB,且使 AC 与直线 li交于点 C,求刀 ABC 面积

28、的最小值。?三角恒等变换?复习课第一课时一.学习目标进一步掌握三角恒等变换的方法，如何利用正、余弦、正切的和差公式与二倍角公式, 对三角函数式进行化简、求值和证明：二、知识与方法:1. 11 个三角恒等变换公式中，余弦的差角公式是其它公式的根底，由它出发，用-6代替6、3代替6、a = 3等换元法可以推导出其它公式。你能根据以下图回忆推导过程吗?22 .化 求使三角 式成为最 数尽量称尽量 数尽量 母尽量不角函数， 内尽量不 角函数， 值的求出3 .求 注意 象 限范围、三 数值的符 号之间联系与影响，较难的问题需要根据上三角函数值进一步缩小角的范围。4.证明是利用恒等变换公式将等式的左边变同

29、于右边，或右边变同于，或都将左右进行 变换使其左右相等。5.三角恒等变换过程与方法，实际上是对三角函数式中的角、名、形的变换，即1找差异：角、名、形的差异；2建立联系：角的和差关系、倍半关系等，名、形之间可以用 哪个公式联系起来；3变公式：在实际变换过程中，往往需要将公式加以变形后运用或逆 用公式，如升、降简，要函数简：项少，名少，次底，分含三根号含三能求值来；值，要角的角函藉公式， cos a = cos 3 cos a -。- sin 3 sin a - 6 , 1= sin2也+cos2a ,1+tan30=tan450.tan 30=tan (45+30)等。1 tan 3001 -t

30、an 450tan 300三、随堂练习2. ,一、1 tan:1、sin (a +6 )=, sin (a -6 )=-,求-_-2、求值：cos24 - sin6 - cos723、化简(1)_1； (2) sin2asin23+cos2a cos23-cos2 a cos23。sin 200sin 70024、 设为锐角，且 3sin2a +2sin23 =1 , 3sin2济-2sin2 3 =0,求证：济+2 3 =二。25、如下图，某村欲修建一横断面为等腰梯形的水渠，为降低本钱，必须尽量 减少水与水渠壁的接触面。假设水渠断面面积设计为定值m,渠深8米。那么水渠壁 的倾角a应为多少时，

31、方能使修建的本钱最低？解答此题的关键是把实际问题转化 成数学模型， 作出横断面的图 形， 要减少水与水渠壁的接触面 只要使水与水渠断面周长最小， 利用三角形的边角关系将倾角 为和横断面的周长L之间建 立函数关系，求函数的最小值?三角恒等变换?单元测试题第二课时、选择题本大题共 12 个小题，每题 5 分，共 60 分.在每题给出的四个选项中，只，一3二1. D1、cos =-一，a u . , n,sin找=-52值是336356A、B、C、6565652、a 和 E 都是锐角，且5 sin -=13( )331656A、 一B、 一C、656565一， 3 .二13、xu 2k一兀，2k +

32、MZ),44有一个是符合题目要求的12-. -,P是第三象限角，贝U cos E a的1316654cosi.： -=5D、D、6365,那么sin 0的值是,那么cos2的值是的值。只需要将函数y = J3sin 2x - cos2x的图像A、二B、兰C、242525257D、254、设cos(x + y)sinx sin(x + y p12-osx = ，且y是第四象限角，13那么tan】的值是22A、 3B、3 23C、一一2D、2一35、函数f (x )=兀sin万xJI+ cos一x的最小正周期是( )A、二 B 、2二C5、假设函数g(x )= f ( x)sin(兀x)为以2为最小正周期的奇函数，贝 U 函数f (x)可以是A、sin(兀x)B6、某物体受到恒力是cos xCsinl D、sin，；x lF =(1雨), 产生的位移为s =(sint,-cost ),那么恒力物体所做的功是()A、捐+1B 、2C 、22D 、436、向量a =(2cos甲,2sin里), (90,180 ), b = (1,1),贝 U 向量a与b的夹角为( )A、平 B、平45C 、135-中 D 、45+平A、要得到函数y = 2sin 2x的图像，cos2x- 7-、的值为()IJI)cos4 -x向右平