平面向量的综合应用考点与题型归纳

1、平面向量的综合应用考点与题型归纳考点一平面向量与平面几何典例(2021石家庄模拟)在平行四边形 ABCD中,|AB|= 12, |AD|= 8假设点M , N满> > > > > >足 BM = 3MC , DN = 2NC,贝U AM NM =()A. 20B. 15C. 36D. 6> > > >解析法一：由BM = 3MC , DN = 2 NC知,点M是BC的一个四等分点,且 BM =32>>>>3 > >&BC,点 N 是 DC 的一个三等分点, 且 DN = §DC,所

2、以 AM = AB + BM = AB + 4 AD , AN>>>2 >>>>>3 >>2>1 >1=AD + DN = AD + 3 AB ,所以 NM = AM AN = AB + 4 AD AD + 3 AB = 3 AB 4>> >>3>1>1>1>3>>3>1AD,所以 AM NM = AB + 4ADpAB 4 AD= 3AB + 4 AD- AB 4 AD=3> 2 9 > 219AB 2 16 AD 2 = 3 14464 =

3、36,应选 C.法二：不妨设/ DAB为直角,以AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴建立如下图的平面直角坐标系.那么M(12,6), N(8,8),所以AM = (12,6),> > >NM = (4, 2),所以 AM NM = 12X 4+ 6X ( 2)= 36,应选 C.答案C题组练习1.假设OABC所在平面内任一点,且满足("OeB "Oc)> > >OB + OC 2OA) = 0,那么 ABC的形状为A 等腰三角形C.正三角形B 直角三角形D 等腰直角三角形解析：选a 由(6I? oc) -"Ob + oc 2&

4、quot;Oa)= 0,> > > > > >得 CB - AB + AC )= 0, AB AC = CB ,> > > > > >AB AC) -AB + AC) = 0,即 |AB |= | AC |,念BC是等腰三角形.> > 1 1 12. (2021西安质检)P ABC所在平面内一点,AB + PB + PC = 0, |AB |= | PB>|= | PC |= 2,那么 ABC的面积等于()B. 2.3D. 4 .'3A. ;3C. 3 .'3> >解析：选B

5、由|PB|=|PC得,"BC是等腰三角形,取BC的中点D,连接PD(图略),> > > > > > > 1那么 PD 丄 BC,又 AB + PB + PC = 0,所以 AB = ( PB + PC ) = 2 PD ,所以 PD = AB =0 4si nc n0, 2 ,> > 11, 且PD /AB,故AB丄BC,即ABC是直角三角形, 由| PB |= 2, |PD |= 1可得| BD 那么|1BC |= 2 '3,所以 ABC 的面积为 2X 2X 2 '3= 2 '3.3如图,在扇形 OAB

6、中,0A = 2,/ AOB= 90° M是0A的中点,点 在弧AB上,那么t 61的最小值为解析：如图,以O为坐标原点, -为x轴的正半轴,"0!B为y轴的正半轴建立平面直角坐标系,那么M(1,0) ,B(0,2),设P(2cos 0, 2sin 0),> >所以 PM -PB = (1 2cos 0, 2sin 0) 2cos 0, 2 2sin 0 = 4 2cos,所以0= 4 2(cos 0+ 2sin 0) = 4 2/5 §n( 0+ © 其中sin(j)=誓,cosMt eB的最小值为4 2 .5.答案：4 2 '5考

7、点二平面向量与解析几何典例(2021 江苏高考)向量 a = (cos x, sin x), b = (3, ,；3), x 0, n(1)假设a / b,求x的值;记f(x)= a b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.解(1)由于 a = (cos x, sin x), b = (3, .'3), a /b ,所以一 3cos x= 3sin x.贝U tan x=5 n又 x 0, n所以 x=.(2)f(x)= a b = (cos x, sin x) (3 3) = 3cos x 3sin x= 2 3cos x + .由于 x 0, n所以 x+ , ,n 並从而

8、1 w cos x+ W 三.于是,当X+ n= n,即x= 0时,f(x)取到最大值3；当x +右n,即x= 5时,f(x)取到最小值一2 , 3.题组练习1. 向量OA = (k,12), = (4,5), 5C = (10, k),且 A, B, C 三点共线,当 k<0时,假设k为直线的斜率,那么过点(2, 1)的直线方程为 .解析：VAE? = 6eB 6a = (4 k, 7), 1BC = "oC "oeB = (6 , k 5),且 N/BC, (4 k)(k 5) + 6 x 7 = 0,解得 k= 2 或 k = 11由 k<0,可知 k=

9、2,那么过点(2, 1)且斜 率为一2的直线方程为 y+ 1 = 2(x 2),即2x+ y 3= 0.答案：2x+ y 3 = 0x2 y22. 假设点O和点F分别为椭圆-+二=1的中央和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,那么6a -FFa的最大值为.解析：由题意,得F( 1,0),设P(x0, y0),那么有曾+弓=1,解得y0= 3 1 ,由于"a =(X0+ 1, y0), OP =(X0, y0),所以 OP -FP = x°(x°+ 1) + y2= x0+ x0 + 3 1 寸=曽 + x°+ 3,对应的抛物线的对称轴方程为X0= 2,由于一

10、2W X0W 2,故当X0= 2时,OP -FP取得最大答案：6考点三平面向量与三角函数4典例点A, B, C在圆x2+ y2= 1上运动,且 AB丄BC假设点P的坐标为(2,0),那么> > >| PA + PB + P C |的最大值为()A . 6B . 7C. 8D. 9解析由A, B, C在圆x2 + y2= 1上,且AB丄BC,知线段AC为圆的直径,设圆心为O,> > >故 PA + PC = 2PO = (-4,0),设 B(a, b),贝U a2+ b2= 1 且 a 1,1, "pb = (a 2, b),b b b所以 FA +

11、 PB + PC = (a 6, b).b b b故I PA + PB + PC|= 12a + 37,B B b._所以当a = 1时,| PA + PB + PC取得最大值 49= 7.答案B解题技法平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)假设给出的向量坐标中含有三角函数,求角的大小,解题思路是运用向量共线或垂直的坐标表示,或等式成立的条件等,得到三角函数的关系式,然后求解.假设给出的向量坐标中含有三角函数,求向量的模或者向量的其他表达形式,解题思路是利用向量的运算,结合三角函数在定义域内的有界性或根本不等式进行求解.题组练习1. (2021 南昌模拟) a = (cos a, sin

12、 a), b = (cos( a, sin( a),那么 a b = 0 是 an=kn+ QkG Z)的()A .充分不必要条件B 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件解析： 选 BTab = cos a co a+ sin a sin a = cos2 a sin 2a= cos 2 a,假设 a b = 0,nnn那么 cos 2a= 0,.2 a= 2kn±k Z),解得 a= kn±(k Z). Aa b = 0 是 a= k n+ (k Z)的必要不充分条件.应选 B.2. a , b , c ABC的三个内角 A, B, C的对边,向量 m

13、= ( 3, 1), n =(cos A, sin A).假设 m 丄n,且 acos B+ bcos A = csin C,那么角 A, B 的大小分别为()A n n6, 32 n nB.：3 ' 6n nC.3 6n nD.3 , 3解析：选C由 ml n ,得 mn = 0 ,即 3cos A sin A= 0,由题意得 cos 心 0, tan A= 3,又 A (0, n).A =扌.又 acos B + bcos A= 2Rsin Acos B+ 2Rsin Bcos A = 2Rsin(A+ B)=2Rsin C = c(R 为ABC 外接圆半径),且 acos B+

14、bcos A= csin C,所以 c = csin C,所以 sinC= 1,又 C (0 , n)所以 C = 2,所以 B = n - 2= Q 课时跟踪检测A级1.向量n . n5 n .5 n “a= cos6 , s% , b = cos"6, sin,那么 |a b|=()A. 1B並B. 2C. 3D姮D. 2解析：选C.,n5 nn5 n厂由于 a b = cos6 cos , sin§ sin"6 = ( . 3 , 0),所以|a b|= .3 ,故选C.2. 假设向量 OFi = (1,1), OF 2= ( 3, 2)分别表示两个力 Fi

15、, F2,那么 |Fi+ F2I 为()A. .10B . 2 .5C. 5D. .15解析：选 C 由于 F1 + F2= (1,1) + ( 3, 2) = ( 2, 1),所以 |F1 + F2|= 2 2 + 1 2= .5.3. (2021牡丹江第一高级中学月考 )圆O是厶ABC的外接圆,其半径为1,且忑+ AC = 2 AO , AB = 1,贝U CA CB =()3A2B. 3C. .-'3D. 2 '3解析：选B由于-B + /AC = 2-,所以点O是BC的中点,即BC是圆O的直径,X X X X又 AB = 1,圆的半径为 1,所以/ ACB= 30

16、76; 且 AC =J3,贝U CA -CB = | CA | C|B |cos/ACB =3.14. 向量 m = sin A, °与向量n = (3 , sin A+ ,' 3cos A)共线,其中 A是厶ABC的内角,那么角A的大小为()nna6b.4nnCTd.2解析：选 C 由于 m/n,所以 sin A(sin A + 3cos A)-1= 0,所以 2sin2A + 2 ,'3sin Acos A = 3可化为 1- cos 2A + ,'3sin 2A = 3,nn n 11 n所以 sin 2A-6 = 1,由于 A (0, n)所以 2A

17、6 $, g .因此2A- n=扌,解得A=扌.5. (2021全国卷n ) ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,那么X X XPA PB + PC)的最小值是()3 一 2 1- - B D肿k0CMX X X3PA PB + PC)取得最小值,为2.解析：选B 如图,以等边三角形 ABC的底边BC所在直线为x 轴,以BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,贝UA(0,3),B(- 1,0), C(1,0),设 P(x, y),那么 PX = (-x, .'3- y), TeB = (- 1 -x,XX X Xy), PC = (1- x, - y),所以 PA P

18、B + PC) = (-x, .3- y) -2x, 2y) = 2/+ 2 y宁 2-2 当 x= 0, 丫=于时,6. 向量 a = (4,0), b = (2,2 3),非零向量 c满足(a c)b( c)= 0, |c|的最大值与最小值分别为m, n,贝U m n的值为()A . 1B. 3C. 2D. 4解析：选 D 设 c= (x, y),由于(a c) -b( c) = 0,所以(4 x, y) - (x,2 .；3 y) = x2+ y2 6x 2 ,'3y+ 8 = 0,所以(x 3)2+ (y .'3)2= 4,所以满足条件的向量c的终点落在以(3, ,.;

19、3)为圆心,2为半径的圆上,所以|c|的最大值与最小值分别为m= 2+ 2；3, n= 2_3 2,所以 m n= 4.> > >7. ABC 中,D 为边 BC 上的点,且 BD = 2DC, AD = xAB + y AC,贝V x y =解析：由向量的加法法那么知> > > > 2> > 2> >AD = AB + BD = AB + 3 BC = AB + 3( AC AB )=1 > 2> 1 2 11 AB + 3AC,所以 x= -, y= 2,所以 x y= §.1答案：11&设e1

20、, e2, e3为单位向量,且 e3= 1 + ke2k>0,假设以向量e1, e2为邻边的三角形1 的面积为2贝U k=.11解析：设e1, e2的夹角为那么由以向量e1,e2为邻边的三角形的面积为 ？,得？x 1X 1 x11sin 0= 2 得sin 0= 1,所以0= 90°所以e1 e2= 0,从而对 e3=尹1 + ke2两边同时平方得 1 = + k2,解得k= 23或23舍去,所以k=答案：宁9.如图,在 ABC中,O为BC的中点,假设C的夹角为60°那么|"OA|=AB = 1, AC = 3, ?与>解析：AB -AC = | AB

21、 | A| |cos 60°= 1 X 313>1 >>>X 2= 2,又 AO = 2( AB + AC),所以 AO2 =1 > >(AB + 3 + 9=严,所以I-匸于. 1 > > > > >AC)2= 4(AB2+ 2 AB -AC + AC 2),即 AO2 =10. 在平面直角坐标系中,A( 2,0), B(1,3), O为坐标原点,且OM = a OA + QB (aB+ 3= 1), N(1,0),那么 |MN |的最小值为 .解析：V-M = a-A + - (a+3= 1),A, B, M 三点

22、共线,T A( 2,0), B(1,3) ,直线AB的方程为x y+ 2= 0, N(1,0),设点N到直线 AB的距离为d, /-d =|1 0+ 2|3<22 ,B/MN |的最小值为N到直线AB的距离答案：竽：-.：22n11. 在平面直角坐标系 xOy中,向量 m = -y,一 2 小=(sin x, cos x),x 0,.(1)假设m丄n,求tan x的值;n假设m与n的夹角为3,求x的值.n = (sin x, cos x),m± n,22sin xcos x= 0,即 sin x= cos x,sin x a n x= 1.cos x由题意知,|m|=/乎2+

23、2= 1,|n |= sin2x+ cos2x= 1,m n = "2"sin x"cos x= sin x 4 .而 m n = |m | n| com ,n 1 =cos3= 2,n1'sin x4=2.nnn n0,2 , x 4 *4, 4 ,n n5 n4 = 6,/x= 12.12. (2021河南中原名校质检)在厶ABC中,NeB丄-？ , M是BC的中点.(1)假设EB|=-(C|,求向量/MB + 2AC与向量2 AEB十-?的夹角的余弦值;假设0是线段AM上任意一点,且 = |AC |= 2求6只OS + 0C A的最小值.CCCC解：

24、设向量AB + 2 AC与向量2 AB + AC的夹角为0,贝U cos 0 =C CC CAB + 2 AC -2 AB + ACSS S SAB + 2 AC -俾 + AC CC,令 AB = AC = a,贝V cos 0=2a2+2a2 5a 5a45./-AC= U= .'2,aAM= 1,设 "Oa = x(0< XW 1),那么 OM = 1 x.C C C而 OB + OC = 2OM ,C a a a a a aa aa a OA -OB + OC -OA = OA ( OB + OC)= 2 OA -OM = 20A0Mcos t= 2x2 2x

25、= 2X1212 2'当 x=C C C,OA -OB + OC- 取得最小值,最小值是- 11. 2021武汉调研设A, B,c是半径为1的圆o上的三点,且 -丄-官,那么"Oc S S SOA) -0C OB)的最大值是(A. 1+ .2B . 1 ,'2C. ；2 1解析：选A 如图,作出 -D ,C C CC C C使得 OA + OB = OD,那么(OC OA)QCOb) = 0(?2"OaS C C C CC C C*OC OB *OC + OA OB = 1 (OA + OB) OC = 1 C COD -OC,由图可知,当占=1 八、C在O

26、D的反向延长线与圆 O的交点处时,C COD -OC取得最小值,aaaa最小值为 .'2,此时OC OA -OC OB取得最大值,最大值为1+ .'2,应选 A.2.在厶ABC中,BC = 5, G, O分别为 ABC的重心和外心,且01 -BC = 5,那么厶ABC的形状是A .锐角三角形C.直角三角形B .钝角三角形D .上述三种情况都有可能解析：选B 如图,在 ABC中,G , O分别为 ABC的重心和外心,1>取BC的中点D,连接AD, OD , 0G,贝U OD丄BC, GD= 3AD,结合OG> > > 1 > >>> > >> >> 1 >=0D + DG , AD = 2( AB + AC),OG-BC = 5,得(OD + DG )BC = DG-BC =-召(AB>>1>>>>&