射影变换例题解析

1、射影变换例题解析例1填空题1 两线束间的射影对应是透视对应的充分必要条件为 .2 两点列间射影对应由 对对应点唯一确定.3 共线四点的交比是 不变量4 两个点列经过中央投影, 不变5 不重合的 对应元素,可以确定唯 个对合对应解1 由定理知,两线束间的射影对应是透视对应的充分必要条件是：两个线束的公共线自 对应2 射影对应被其三对对应点所唯一确定,因此两个点列间的三对对应点可以决定唯- 个射影对应3 共线四点的交比是射影不变量 4两个点列经过中央投影,交比不变5 不重合的两对对应元素,可以确定唯 个对合对应例2单项选择题1假设ABCD =r,那么DB AC=A.-B 1r1 rG1 rD 1

2、-rr2设 AB, A +入1B, A + LB是四条不同的有穷远共点直线l1, I2, Is, l4的齐次坐标,那么I,l3| 4)=()A入1B.入2C2D入1入2(3)设 1,2, 3, 4是四个不同的共线点,如果(12, 34)=(23, 41)那么(13, 24)=()A 1B.1COD. 8解由交比的运算定理,1 选D; 2选C 3选A例 3 求证 P 3,1 ,P2 7,5 与 P3 6,4 ,P4 ( 9, 7)成调和共轭.分析可以采用非齐次坐标与齐次坐标两种方法进行证实解法1(x3xj(x4x2)(63)(97)(P1P2, P3F4)=3142 =-1(X3X2)(X4Xi

3、)(93)(67)解法2将F,F2,F3,P4写成齐次坐标,那么Pi( 3,1,1),P2( 7,5,1),P3( 6,4, 1),P4( 9,7,1)可以写作P3( 24,16,4),P4( -18,-14,-2)于是 P3=P1 +3P2 P 4=P -3P2 (P1P2,P3P4)=上=-13例4求证：一角的两条边与这个角的内外角平分线调和共轭.证法1利用共点直线成调和共轭的定义进行证实如图4-6所示,角的两边为 A, B,其内外角平分线分别为11,丨2(AB 1 11 2)=业d(abl2)(ABI1) =1(ABI2) = -1- ( AB I 112) = -1AB图4-6证法2用

4、代数法设取原点在三角形 SAB内部,AX B分别在A, B直线上设SA的法线方程为0,设SB的法线方程为10为了求内角分线l i和外角分线12方程,利用角平分线的几何特性,设P (x, y)为角平分线l i上的任一点,那么它们到B的距离相离,即|=或0,即 i i ( AB, 1 il2)=2证法3根据定理,如图4-7,假设用直线1 i / 1 2求截角的两边 A B分别交A, B于A, B,交1 i于Ti,交1 2于T ,那么由11和1 2互相垂直,可知 STi丄1l,又11为角平分线,由初等几何定理,可知 SAB为等腰三角形,且有 ATi=B,即Ti为AB中点,根据定理知1 A 1 i B

5、图4-7例5假设A,B,C,D为共线四点,且(AB CD =-i ,CD中点为O,求证Otf=OB证实(AB CD= AC BD iBC AD即 AC- BDBC AD= 0把 AC BD BC AD都以 0 为原点表示,那么有(OC-OA) (OD-OB) + (OD-OA) (OC-OB) = 0整理得 2 (CA-O BOC -O D) =(OA+CB)(O C+CC)而 OD=-OC 2(0 AOBOe)=(OA+OB)(ODOC)=0即 O C2=OA -O B例6设三直线ai x b| y cip2a2xb2 yc2P3a3xbayC3求证以pi =0 ,p2 =0 ,p3=0 为

6、三边的三角形的重心由方程(a2b3 a3b2)pi(a3biaib3)P2(aib2a2bi) p3 给出.Al 3Ep< q3p2Jqi -B Op3C图4-8Pi= 0 , P2= 0 , p3= 0.设 BC边上中线 AOasba分析如图4-8,A ABC三边AB, AC BC的方程分别为 的方程q3=0.过A点作BC的平行线13,贝U 13的斜率为kl3由于la过pi和P2的交点A所以l 3可由pi和P2线性表示,即l 3的方程为a! x b| y &(a2x b2 y c2) 013的斜率为aia2bib2a 2a3bi b2b3匕3玄1玄3 0b2a3a2b3l 3的

7、方程为pib3aia3bib2a3a2b3由于l 3与BC平行,所以l 3与BC交于无穷远点L又D为BC中点,(BC DL-) = -1两条直线截同一线束,所得对应四点的交比不变,可得(pip2, q3l 3)=-iq3的方程为pi836b3ai匕2玄3a?b3同理qi的方程为p2 aib2 bia2 p3 0那么qi与q3的交点为b2a3 a2b3pi b3ai a3bip2 aib2 a2bip3例7A B, C三直线交于点P,试用直尺作出第四条直线和它们成调和共轭.作法：如图4-9. A,B, C三直线交于点 P,任作不通过 P点的直线I,I与直线A,B, C分别 交于A B, C三点,

8、在PA上任取一点 M连BM交PC于N.连AN交PB于K,连MK交I于P,那么有AB CD =-1.连PD,即为所求第四调和线D,即AB CD = -1A C B D如图4-9例8三点形 ABC及平面上一点 P P不在ABC的任一边上.AP,田,CP与对边交于 A ,B , C,且BC与 B C交于Ai, CA与 C A交于B, AB与A B交于Ci.如图4-10.求证：iBC, AA= -i ,CA BB= -i2Ai, Bi, C三点共线.证实i由完全四点形CABP的调和性,可知BC, AA= -i又(B, C, Ai, A' ) 一(A C, B' , B)(CA BB)=

9、( AC B' Bi)=( BC AiA')= -i2由三点形 ABC和ABC的对应点连线共点 P,由笛沙格定理可知,对应边交点A , B , C 共线.-CB 、AB AC图 4-10例9巴卜斯命题：设 A, B, C与 A B, C2为同一平面内两直线上的两组共线点,BG与RC交于L, CA与C2A交于M, AB2与AB交于N.如图4-11.求证L,M N共线.证实图4-1T( B, D, N, A(O, Q, B2, A2)=(B, C2, L, E)( B, D, N, A) -( B, C2, L, E)由于两点列底的交点B自对应,有(B, D, N, A) - (B , C2 , L , E)因此DC , NL, A2E三直线共点 M.即L , M, N共线.例10如