函数与方程零点问题

1、函数与方程1函数的零点(1)定义：对于函数yf(x)(xD)，把使f(x)0成立的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点(2)函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x轴交点间的关系：方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点(3)函数零点的判定(零点存在性定理)：如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根探究1.函数的零点是函数yf(x)与x轴的交点吗？是否任意函数都有零点？提示：函数的零点

2、不是函数yf(x)与x轴的交点，而是yf(x)与x轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数；并非任意函数都有零点，只有f(x)0有根的函数yf(x)才有零点2若函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，则yf(x)在区间a，b上的图象是否一定是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0呢？提示：不一定由图(1)(2)可知3函数零点具有哪些性质？提示：对于任意函数，只要它的图象是连续不间断的，其函数零点具有以下性质：(1)当它通过零点且穿过x轴时，函数值变号；(2)相邻两个零点之间的所有函数值保持同号2二次函数yax2bxc(a>0)的图象与零点的关系0

3、00二次函数yax2bxc (a0)的图象与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点零点个数两个一个零个3二分法的定义对于在区间a，b上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法自测·牛刀小试1(教材习题改编)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是()解析：选C由图象可知，选项C所对应零点左右两侧的函数值的符号是相同的，不能用二分法求解2(教材习题改编)若函数f(x)唯一的一个零点同时在区间(0,16)，(0,

4、8)，(0,4)，(0,2)内，那么下列命题中正确的是()A函数f(x)在区间(0,1)内有零点B函数f(x)在区间(0,1)或(1,2)内有零点C函数f(x)在区间2,16)上无零点D函数f(x)在区间(1,16)内无零点解析：选C由题意可知，函数f(x)的唯一零点一定在区间(0,2)内，故一定不在2,16)内3根据表格中的数据，可以判定方程exx20的一个根所在的区间为()x10123ex0.3712.727.3920.09x212345A.(1,0)B(0,1)C(1,2) D(2,3)解析：选C令f(x)exx2，则f(1)0.371<0，f(0)12<0，f(1)2.72

5、3<0，f(2)7.394>0，f(3)20.095>0，所以方程exx20的一个根所在的区间为(1,2)4若函数f(x)x2axb的两个零点是2和3，则函数g(x)bx2ax1的零点是_解析：函数f(x)x2axb的两个零点为2和3，即a5，b6.g(x)bx2ax16x25x1，令g(x)0，得x或.答案：，5函数f(x)3ax12a在区间(1,1)上存在零点，则实数a的取值范围是_解析：f(x)3ax12a在区间(1,1)上有零点，且f(x)为一次函数，f(1)·f(1)<0，即(15a)(1a)<0.a>或a<1.答案：a>或a

6、<1确定函数零点所在的区间例1(1)(2013·唐山模拟)设f(x)exx4，则函数f(x)的零点位于区间()A(1,0)B(0,1)C(1,2)D(2,3)(2)(2013·朝阳模拟)函数f(x)2xa的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是()A(1,3) B(1,2) C(0,3) D(0,2)自主解答(1)f(x)exx4，f(x)ex1>0，函数f(x)在R上单调递增对于A项，f(1)e1(1)45e1<0，f(0)3<0，f(1)f(0)>0，A不正确，同理可验证B、D不正确对于C项，f(1)e14e3<0，f(2)

7、e224e22>0，f(1)f(2)<0.(2)由条件可知f(1)f(2)<0，即(22a)(41a)<0，即a(a3)<0，解得0<a<3.答案(1)C(2)C若方程xlg(x2)1的实根在区间(k，k1)(kZ)内，则k为何值？解：由题意知，x0，则原方程即为lg(x2)，在同一直角坐标系中作出函数ylg(x2)与y的图象，如图所示，由图象可知，原方程有两个根，一个在区间(2，1)上，一个在区间(1,2)上，所以k2或k1. 判断函数零点所在区间的方法判断函数在某个区间上是否存在零点，要根据具体题目灵活处理当能直接求出零点时，就直接求出进行判断；当

8、不能直接求出时，可根据零点存在性定理判断；当用零点存在性定理也无法判断时可画出图象判断1(2013·武汉模拟)在下列区间中，函数f(x)ex4x3的零点所在的区间为()A. B.C. D.解析：选B易知函数f(x)在R上是单调减函数对于A，注意到fe4×3e>0，fe4×3e1>0，因此函数f(x)ex4x3的零点不在区间上；对于B，注意到f>0，fe4×3e2<42<0，因此在区间上函数f(x)ex4x3一定存在零点；对于C，注意到f<0，f(0)2<0，因此函数f(x)ex4x3的零点不在区间上；对于D，注意

9、到f(0)2<0，fe4×3e4<0，因此函数f(x)ex4x3的零点不在区间上2已知x表示不超过实数x的最大整数，g(x)x为取整函数，x0是函数f(x)ln x的零点，则g(x0)等于_解析：函数f(x)的定义域为(0，)，函数f(x)>0，即函数f(x)在(0，)上单调递增由f(2)ln 21<0，f(e)ln e>0，知x0(2，e)，g(x0)x02.答案：2判断函数零点个数例2(1)(2012·北京高考)函数f(x)xx的零点个数为()A0B1C2D3(2)函数f(x)的零点个数为()A0 B1 C2 D3自主解答(1)因为yx在x

10、0，)上单调递增，yx在xR上单调递减，所以f(x)xx在x0，)上单调递增，又f(0)1<0，f(1)>0，所以f(x)xx在定义域内有唯一零点(2)当x0时，函数有零点x；当x>0时，作出函数，yx22x的图象，观察图象可知两个函数的图象(如图)有2个交点，即当x>0时函数f(x)有2个零点故函数f(x)的零点的个数为3.答案(1)B(2)D判断函数零点个数的方法(1)解方程法：令f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象

11、与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质；(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点3(2013·深圳模拟)已知符号函数sgn(x)则函数f(x)sgn(x1)ln x的零点个数为()A1 B2 C3 D4解析：选C依题意得，当x1>0，即x>1时，f(x)1ln x，令f(x)0得xe>1；当x10，即x1时，f(x)0ln 10；当x1<0，即x<1时，f(x)1ln x，令f(x)0得x<1.因此，函

12、数f(x)的零点个数为3.根据函数零点的存在情况求参数例3定义域为R的偶函数f(x)满足对xR，有f(x2)f(x)f(1)，且当x2,3时，f(x)2x212x18，若函数yf(x)loga(x1)在(0，)上至少有三个零点，则a的取值范围是()A.B.C.D.自主解答在方程f(x2)f(x)f(1)中，令x1得f(1)f(1)f(1)，再根据函数f(x)是偶函数可得f(1)0，由此得f(x2)f(x)f(x)，由此可得函数f(x)是周期为2的周期函数，且其图象关于直线x1对称，又当x0,1时，x22,3，所以当x0,1时，f(x)f(x2)2(x2)212(x2)182x24x22(x1)

13、2，根据对称性可知函数f(x)在1,2上的解析式也是f(x)2(x1)2，故函数f(x)在0,2上的解析式是f(x)2(x1)2，根据其周期性画出函数f(x)在0，)上的部分图象(如图)，结合函数图象，只要实数a满足0<a<1且2<loga(21)<0即可满足题意，故0<a<1且log3a<log3，即0<a<.答案A已知函数有零点(方程有根)求参数值常用的方法和思路(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角

14、坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解.4已知函数f(x)x22exm1，g(x)x(x>0)(1)若yg(x)m有零点，求m的取值范围；(2)确定m的取值范围，使得g(x)f(x)0有两个相异实根解：(1)法一：g(x)x22e，等号成立的条件是xe，g(x)的值域是2e，)因而只需m2e，则yg(x)m就有零点法二：作出g(x)x(x>0)的大致图象如图：可知若使yg(x)m有零点，则只需m2e.(2)若g(x)f(x)0有两个相异的实根，即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，作出g(x)x(x>0)的大致图象f(x)x22exm1(xe)2m1e2.其图象的对称轴

15、为xe，开口向下，最大值为m1e2.故当m1e2>2e，即m>e22e1时，g(x)与f(x)有两个交点，即g(x)f(x)0有两个相异实根m的取值范围是(e22e1，)1个口诀用二分法求函数零点的方法用二分法求零点近似值的口诀为：定区间，找中点，中值计算两边看同号去，异号算，零点落在异号间周而复始怎么办？精确度上来判断3种方法判断函数零点所在区间的方法判断函数yf(x)在某个区间上是否存在零点，常用以下方法：(1)解方程：当对应方程易解时，可通过解方程，看方程是否有根落在给定区间上；(2)利用函数零点的存在性定理进行判断；(3)通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点

16、来判断4个结论有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号(4)函数零点的存在定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件. 数学思想利用数形结合思想解决与方程的根有关的问题在解决与方程的根或函数零点有关的问题时，如果按照传统方法很难奏效时，常通过数形结合将问题转化为函数图象的交点的坐标问题来解决典例(2012&#

17、183;福建高考)对于实数a和b，定义运算“*”：a*b设f(x)(2x1)*(x1)，且关于x的方程f(x)m(mR)恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是_解析由定义可知，f(x)(2x1)*(x1)即f(x)作出函数f(x)的图象，如图所示，关于x的方程f(x)m恰有三个互不相等的实根x1，x2，x3，即函数f(x)的图象与直线ym有三个不同的交点，则0<m<.不妨设从左到右交点的横坐标分别为x1，x2，x3.当x>0时，x2xm，即x2xm0，x2x31，0<x2x3<2，即0<x2x3<；当x<0时，由得x

18、，<x1<0.0<x1<.0<x1x2x3<.<x1x2x3<0.答案1解决本题的关键有以下三点(1)根据新定义正确求出函数f(x)的解析式，并准确画出其图象(2)利用一元二次方程根与系数的关系及基本不等式确定x2x3的范围(3)正确确定x1的取值范围2函数yf(x)有零点方程f(x)0有实根函数yf(x)的图象与x轴有交点在解决函数与方程的问题时，要注意这三者之间的关系，在解题中充分利用这个关系与实际问题的转化1若定义在R上的函数f(x)满足f(x2)f(x)，且x1,1时，f(x)1x2，函数g(x)则方程f(x)g(x)0在区间5,5上的解

19、的个数为()A5B7C8 D10解析：选C依题意得，函数f(x)是以2为周期的函数，在同一坐标系下画出函数yf(x)与函数yg(x)的图象，结合图象得，当x5,5时，它们的图象的公共点共有8个，即方程f(x)g(x)0在区间5,5内的解的个数是8.2已知函数f(x)若关于x的方程f(x)k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是_解析：画出函数f(x)的图象如图所示，根据图象可知当k(0,1)时，方程f(x)k有两个不同的实根答案：(0,1)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1已知函数f(x)则函数f(x)的零点为()A.，0B2,0C. D0解析：选D当x1时，由f(x)2x1

20、0，解得x0；当x>1时，由f(x)1log2x0，解得x，又因为x>1，所以此时方程无解综上函数f(x)的零点只有0.2(2012·湖北高考)函数f(x)xcos x2在区间0,4上的零点个数为()A4 B5C6 D7解析：选Cx0,4，x20,16x20，都是f(x)的零点，此时x有6个值f(x)的零点个数为6.3函数f(x)exx2的零点所在的一个区间是()A(2，1) B(1,0)C(0,1) D(1,2)解析：选C因为函数f(x)的图象是连续不断的一条曲线，又f(2)e24<0，f(1)e13<0，f(0)1<0，f(1)e1>0，f(2

21、)e2>0，所以f(0)·f(1)<0，故函数的零点所在的一个区间是(0,1)4(2013·济宁模拟)函数f(x)3sin xlogx的零点的个数是()A2 B3C4 D5解析：选D函数y3sin x的周期T4，由logx3，可得x，由logx3，可得x8.在同一平面直角坐标系中，作出函数y3sin x和ylogx的图象(如图所示)，易知f(x)有5个零点5已知函数f(x)xlog3x，若x0是函数yf(x)的零点，且0<x1<x0，则f(x1)的值()A恒为正值 B等于0C恒为负值 D不大于0解析：选A注意到函数f(x)xlog3x在(0，)上是减

22、函数，因此当0<x1<x0时，有f(x1)>f(x0)，又x0是函数f(x)的零点，因此f(x0)0，所以f(x1)>0，即此时f(x1)的值恒为正值，选A.6(2013·洛阳模拟)若函数yf(x)(xR)满足f(x2)f(x)，且x1,1时，f(x)|x|，函数g(x)则函数h(x)f(x)g(x)在区间5,5上的零点的个数为()A10B9C8D7解析：选B由f(x2)f(x)可知，函数f(x)是周期为2的周期函数在同一直角坐标系中画出函数f(x)与函数g(x)的图象，如图所示结合图象可知，函数h(x)在5,5上有9个零点(注意函数g(x)在x0处无定义)二

23、、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7定义在R上的奇函数f(x)满足：当x>0时，f(x)2 012xlog2 012x，则在R上，函数f(x)零点的个数为_解析：函数f(x)为R上的奇函数，因此f(0)0，当x>0时，f(x)2 012xlog2 012x在区间内存在一个零点，又f(x)为增函数，因此在(0，)内有且仅有一个零点根据对称性可知函数在(，0)内有且仅有一解，从而函数在R上的零点的个数为3.答案：38已知函数f(x)x2x，g(x)xln x，h(x)x1的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是_解析：令x2x0，得2xx，令xln x

24、0，得ln xx.在同一坐标系内画出y2x，yln x，yx，如图：x1<0<x2<1，令x10，则()210，即x3>1.所以x1<x2<x3.答案：x1<x2<x39已知函数f(x)满足f(x1)f(x)，且f(x)是偶函数，当x0,1时，f(x)x2.若在区间1,3内，函数g(x)f(x)kxk有4个零点，则实数k的取值范围为_解析：依题意得f(x2)f(x1)f(x)，即函数f(x)是以2为周期的函数g(x)f(x)kxk在区间1,3内有4个零点，即函数yf(x)与yk(x1)的图象在区间1,3内有4个不同的交点在坐标平面内画出函数yf(

25、x)的图象(如图所示)，注意到直线yk(x1)恒过点(1,0)，由图象可知，当k时，直线与曲线yf(x)在区间1,3内有4个不同的交点，故实数k的取值范围是.答案：三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10是否存在这样的实数a，使函数f(x)x2(3a2)xa1在区间1,3上与x轴有且只有一个交点若存在，求出a的范围；若不存在，说明理由解：因为(3a2)24(a1)92>0，所以若存在实数a满足条件，则只需f(1)·f(3)0即可，即f(1)·f(3)(13a2a1)·(99a6a1)4(1a)(5a1)0.所以a或a1.检验：当f(1)0时，

26、a1.所以f(x)x2x.令f(x)0，即x2x0.得x0或x1.方程在1,3上有两根，不合题意，故a1.当f(3)0时，a，此时f(x)x2x，令f(x)0，即x2x0，解得x或x3.方程在1,3上有两根，不合题意，故a.综上所述，a的取值范围为(1，)11若函数F(x)|4xx2|a有4个零点，求实数a的取值范围解：若F(x)|4xx2|a有4个零点，即|4xx2|a0有四个根，即|4xx2|a有四个根令g(x)|4xx2|，h(x)a.则作出g(x)的图象，由图象可知要使|4xx2|a有四个根，则需g(x)的图象与h(x)的图象有四个交点，0<a<4，即4<a<0，a的取值范围为(4,0)12已知关于x的二次方程x22mx2m10.(1)若方程有两根，其中一根在区间(1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的范围；(2)若方程两根均在区间(