高考数学(文)一轮复习课件(苏教版)：第七章++立体几何

1、第七章第七章 立体几何立体几何第一节第一节 空间几何体的结构特征及表面积和体积空间几何体的结构特征及表面积和体积第二节第二节 空间点、直线、平面之间的位置关系空间点、直线、平面之间的位置关系第三节第三节 直线、平面平行的判定及其性质直线、平面平行的判定及其性质第四节第四节 直线、平面垂直的判定与性质直线、平面垂直的判定与性质专家讲坛专家讲坛备考方向要明了备考方向要明了 考考 什什 么么1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并 能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构2.了解球体、柱体、锥体、台体

2、的表面积和体积的计算了解球体、柱体、锥体、台体的表面积和体积的计算 公式公式(不要求记忆公式不要求记忆公式). 怎怎 么么 考考1.对空间几何体的结构特征的考查，很少单独命题，多与对空间几何体的结构特征的考查，很少单独命题，多与 命题真假判断相结合，在考查线面位置关系时，常以几命题真假判断相结合，在考查线面位置关系时，常以几 何体为载体何体为载体2.求几何体的表面积、体积一直是高考考查的重点之求几何体的表面积、体积一直是高考考查的重点之 一通常有以下特点：一通常有以下特点：(1)多以填空题的形式考查，有时也以解答题形式考查多以填空题的形式考查，有时也以解答题形式考查(2)常结合几何体的棱、面满

3、足的条件来计算表面积或体常结合几何体的棱、面满足的条件来计算表面积或体 积，如积，如2012年高考年高考T7.解答题解答题(中的一问中的一问)一般给出相关条一般给出相关条 件来判断几何体形状特征件来判断几何体形状特征(特别是几何体的高特别是几何体的高)并计算体并计算体 积或表面积，积或表面积，2010年高考年高考T16等等.归纳归纳 知识整合知识整合1空间几何体的结构特征空间几何体的结构特征多面多面体体棱柱是由一个平面多边形沿某一方向棱柱是由一个平面多边形沿某一方向 形成的空形成的空间几何体间几何体棱锥是当棱柱的一个底面收缩为一个点时得到的几棱锥是当棱柱的一个底面收缩为一个点时得到的几何体何体

4、棱台可由棱台可由 的平面去截棱锥得到，的平面去截棱锥得到，其上下底面是其上下底面是 且且 的多边形的多边形平移平移平行于棱锥底面平行于棱锥底面相互平行相互平行相似相似旋转体旋转体圆柱可以由圆柱可以由 绕其任一边旋转得到绕其任一边旋转得到圆锥可以由直角三角形绕其圆锥可以由直角三角形绕其_ 旋转得到旋转得到圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上下圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上下底中点连线旋转得到，也可由底中点连线旋转得到，也可由 于圆锥底面的于圆锥底面的平面截圆锥得到平面截圆锥得到球可以由半圆或圆绕球可以由半圆或圆绕 旋转得到旋转得到矩形矩形一条直角边所一条直角边所在直线在直线平行平行

5、直径所在直线直径所在直线 探究探究1.有两个面互相平行，其余各面都是平行有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱吗？四边形的几何体是棱柱吗？ 提示：不一定如图所示，尽管几提示：不一定如图所示，尽管几何体满足了两个平面平行且其余各面都何体满足了两个平面平行且其余各面都是平行四边形，但不能保证每相邻两个是平行四边形，但不能保证每相邻两个侧面的公共边互相平行侧面的公共边互相平行2圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台侧面展侧面展开图开图侧面积侧面积公式公式S圆柱侧圆柱侧S圆锥侧圆锥侧S圆台侧圆台侧2rlrl(rr)l3空

6、间几何体的表面积和体积公式空间几何体的表面积和体积公式Sh4R2 探究探究2.柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么联系？联系？ 提示：提示： 3如何求不规则几何体的体积？如何求不规则几何体的体积？ 提示：常用方法：分割法、补体法、转化法通过计提示：常用方法：分割法、补体法、转化法通过计算转化得到基本几何体的体积来实现算转化得到基本几何体的体积来实现自测自测 牛刀小试牛刀小试1用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆 面，则这个几何体一定是面，则这个几何体一定是_(填序号填序号) 圆柱；圆锥；球体；圆柱，圆锥，球体的

7、组圆柱；圆锥；球体；圆柱，圆锥，球体的组 合体合体解析：由球的性质可知，用平面截球所得的截面都是解析：由球的性质可知，用平面截球所得的截面都是圆面圆面答案：答案： 2(教材习题改编教材习题改编)如图所示的几何体是棱柱的有如图所示的几何体是棱柱的有 _(填序号填序号)解析：根据棱柱结构特征可知是棱柱解析：根据棱柱结构特征可知是棱柱答案：答案：3(2012上海高考上海高考)一个高为一个高为2的圆柱，底面周长为的圆柱，底面周长为 2，该圆柱的表面积为，该圆柱的表面积为_解析：由已知条件得圆柱的底面半径为解析：由已知条件得圆柱的底面半径为1，所以，所以S表表S侧侧2S底底cl2r22226.答案：答案

8、：6答案：答案：9274(教材习题改编教材习题改编)一个球的半径扩到原来的一个球的半径扩到原来的3倍，则表面倍，则表面积扩大原来的积扩大原来的_倍；体积扩大原来的倍；体积扩大原来的_倍倍5(教材习题改编教材习题改编)如图，用半径为如图，用半径为2的半圆形铁皮卷成一的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的容积是个圆锥筒，那么这个圆锥筒的容积是_空间几何体的结构特征空间几何体的结构特征 例例1下列结论中正确的是下列结论中正确的是_(填序号填序号) 各个面都是三角形的几何体是三棱锥；各个面都是三角形的几何体是三棱锥； 以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转以三角形的一条边所在直线为旋转轴

9、，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥；形成的曲面所围成的几何体叫圆锥； 棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥；能是六棱锥； 圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线 自主解答自主解答 错误如图，由两个结错误如图，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥各面都是三角形，但它不是棱锥 错误如下图，若错误如下图，若ABC不是直角三不是直角三角形，或是直角三角形但旋转轴不是直角边，角形，或是直角三角形但旋转轴不

10、是直角边，所得的几何体都不是圆锥。所得的几何体都不是圆锥。 错误若六棱锥的所有棱都相等，错误若六棱锥的所有棱都相等，则底面多边形是正六形但由几何图形则底面多边形是正六形但由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长要大于底面边长答案答案 求解空间几何体概念辨析题的常用方法求解空间几何体概念辨析题的常用方法(1)定义法，即严格按照空间几何体的有关定义判断定义法，即严格按照空间几何体的有关定义判断(2)反例法，即通过举反例来说明一个命题是错误的反例法，即通过举反例来说明一个命题是错误的 1下列命题中，正确的是下列命题中，正确的是_(填序号填序号)有两

11、个侧面是矩形的棱柱是直棱柱有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱;侧面都是等腰三角形的棱柱是正棱锥侧面都是等腰三角形的棱柱是正棱锥;侧面都是矩形的四棱柱是长方体侧面都是矩形的四棱柱是长方体;底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱 是正棱柱是正棱柱.解析：对于，两个侧面是矩形并不能保证侧棱与底面垂解析：对于，两个侧面是矩形并不能保证侧棱与底面垂直，故错误；对于，侧面都是等腰三角形，不能确保直，故错误；对于，侧面都是等腰三角形，不能确保此棱锥顶点在底面在底面的射影在底面正多边形的中心上，此棱锥顶点在底面在底面的射影在底面正多边形的中心上，且也不能保

12、证底面是正多边形，故错误；对于，侧面且也不能保证底面是正多边形，故错误；对于，侧面是矩形不能保证底面也是矩形，因而错误是矩形不能保证底面也是矩形，因而错误答案：答案： 例例2如图所示，过正三棱锥的底面如图所示，过正三棱锥的底面一边且垂直于对棱作一截面，若此截面将一边且垂直于对棱作一截面，若此截面将对棱对棱VA分成分成VD DA3 2两部分，且底两部分，且底面的边长为面的边长为4，求此正棱锥的全面积，求此正棱锥的全面积几何体的表面积几何体的表面积求几何体表面积应注意的事项求几何体表面积应注意的事项 (1)正棱锥的全面积应等于侧面积加上底面积，正棱锥的全面积应等于侧面积加上底面积，所以应分别求出；

13、所以应分别求出； (2)熟记各种几何体的侧面积的求法是关键；熟记各种几何体的侧面积的求法是关键； (3)通过轴截面等构造直角三角形或直角梯形，通过轴截面等构造直角三角形或直角梯形，从而建立相关量从而建立相关量(半径、高、斜高、母线、棱或底边半径、高、斜高、母线、棱或底边长等长等)的关系的关系几何体的体积几何体的体积 例例3已知等边圆柱已知等边圆柱(轴截面是正方形的圆柱轴截面是正方形的圆柱)的表面的表面积为积为S，求其内接正四棱柱的体积，求其内接正四棱柱的体积 求几何体的体积要注意以下几点求几何体的体积要注意以下几点(1)熟记简单几何体的体积公式；熟记简单几何体的体积公式；(2)会画出几何体的轴

14、截面；会画出几何体的轴截面；(3)掌握内接、外切及组合体中各几何中相关量的关系掌握内接、外切及组合体中各几何中相关量的关系 3. (2012湖州模拟湖州模拟)如图所示，已知一个多面体的平面如图所示，已知一个多面体的平面 展开图由一个边长为展开图由一个边长为1的正方形和的正方形和4个边长为个边长为1的正三的正三 角形组成，角形组成， 则该多面体的体积是则该多面体的体积是_与球有关的切、接问题与球有关的切、接问题求解与球有关的切、接问题的解题策略求解与球有关的切、接问题的解题策略 解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系

15、和数量关系，选准最观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间，达到空间问题平面化的目的问题平面化的目的 答案：答案：36 由棱台和圆台的定义可知棱台和圆台是分别用平行由棱台和圆台的定义可知棱台和圆台是分别用平行于棱锥和圆锥的底面的平面截棱锥和圆锥后得到的，所于棱锥和圆锥的底面的平面截棱锥和圆锥后得到的，所以在解决棱台和圆台的相关问题时，常以在解决棱台和圆台的相关问题时，常“还台为锥还台为锥”，体，体现了转

16、化的数学思想现了转化的数学思想 (1)公式法：直接根据相关的体积公式计算公式法：直接根据相关的体积公式计算 (2)等积法：根据体积计算公式，通过转换空间几等积法：根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易，或是求出一些体何体的底面和高使得体积计算更容易，或是求出一些体积比等积比等 (3)割补法：把不能直接计算体积的空间几何体进割补法：把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形，转化为可计算体积的几何体行适当的分割或补形，转化为可计算体积的几何体 计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形，行

17、，即将侧面展开化为平面图形，“化曲为直化曲为直”来解决，因来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法的求法.创新交汇创新交汇空间几何体中体积的最值问题空间几何体中体积的最值问题 1求空间几何体的体积一直是高考考查的重点，几求空间几何体的体积一直是高考考查的重点，几乎每年都考查，既可以与三视图结合考查，又可以单独考乎每年都考查，既可以与三视图结合考查，又可以单独考查而求空间几何体体积的最值问题，又常与函数、导数、查而求空间几何体体积的最值问题，又常与函数、导数、不等式等知识交汇考查不等式等知识交汇考查 2求解空间几何体最值

18、问题，可分为二步：第一步求解空间几何体最值问题，可分为二步：第一步引入变量，建立关于体积的表达式；第二步以导数或基本引入变量，建立关于体积的表达式；第二步以导数或基本不等式为工具求最值不等式为工具求最值 典例典例(2012湖北高考湖北高考(节选节选)如图如图1，ACB45，BC3，过动点，过动点A作作ADBC，垂足，垂足D在线段在线段BC上上且异于点且异于点B，连结，连结AB，沿，沿AD将将ABD折起，使折起，使BDC90(如图如图2所示所示)当当BD的长为多少时，三棱锥的长为多少时，三棱锥ABCD的体积最大？的体积最大？ 解答此题的关键是恰当引入变量解答此题的关键是恰当引入变量x，即令，即令

19、BDx，结合位置关系列出体积的表达式，将求体积的最值问题结合位置关系列出体积的表达式，将求体积的最值问题转化为求函数的最值问题转化为求函数的最值问题 如图，动点如图，动点P在正方体在正方体ABCDA1B1C1D1的对角线的对角线BD1上过点上过点P作作垂直于平面垂直于平面BB1D1D的直线，与正方的直线，与正方体表面相交于体表面相交于M，N.设设BPx，MNy，则函数，则函数yf(x)的图象大致是的图象大致是_(填序号填序号)解析：显然，只有当解析：显然，只有当P移动到中心移动到中心O时，时，MN有惟一的最有惟一的最大值，淘汰；大值，淘汰；P点移动时，取点移动时，取AA1的中点的中点E，CC1

20、的的中点中点Q，平面，平面D1EBQ垂直于平面垂直于平面BB1D1D，且，且M、N两两点在菱形点在菱形D1EBQ的边界上运动，故的边界上运动，故x与与y的关系应该是的关系应该是线性的，淘汰线性的，淘汰.答案：答案：1给出下列命题：在正方体上任意选择给出下列命题：在正方体上任意选择4个不共面的个不共面的顶点，它们可能是正四面体的顶点，它们可能是正四面体的4个顶点；底面是等个顶点；底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱其中正确命题的序号是柱其中正确

21、命题的序号是_解析：正确，正四面体是每个面都是解析：正确，正四面体是每个面都是等边三角形的四面体，如正方体等边三角形的四面体，如正方体ABCDA1B1C1D1中的四面体中的四面体ACB1D1；错误，；错误，举反例如图所示，底面举反例如图所示，底面ABC为等边三角形，可令为等边三角形，可令ABVBVCBCAC，则，则VBC为等边三角形，为等边三角形，VAB和和VCA均为等腰三角形，但不能判定其为正三棱锥；错均为等腰三角形，但不能判定其为正三棱锥；错误，必须是相邻的两个侧面误，必须是相邻的两个侧面答案：答案：2(2012南京模拟南京模拟)如图，已知正三棱柱如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的的底

22、面边长为底面边长为2 cm，高为，高为5 cm，则一质点自点，则一质点自点A出发，出发，沿着正三棱柱的侧面绕行两周到达点沿着正三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的的最短路线的长为长为_cm.答案：答案：13备考方向要明了备考方向要明了 考考 什什 么么怎怎 么么 考考1.理解空间直线、平面位置理解空间直线、平面位置 关系的定义；关系的定义；2.了解四个公理和等角定理，了解四个公理和等角定理， 并能以此作为推理的依据；并能以此作为推理的依据；3.能运用公理、定理和已获能运用公理、定理和已获 得的结论证明一些空间图得的结论证明一些空间图 形的位置关系的简单命题形的位置关系的简单命题.1.直线

23、、平面位置关系是历年直线、平面位置关系是历年 高考考查的重点内容之一，高考考查的重点内容之一， 多以主观题形式出现如多以主观题形式出现如 2010年高考年高考T16(1)等等2.公理和定理一般不单独考公理和定理一般不单独考 查，而是作为解题过程中查，而是作为解题过程中 的推理依据的推理依据.归纳归纳 知识整合知识整合 1四个公理四个公理 公理公理1：如果一条直线上的如果一条直线上的 在一个平面内，那在一个平面内，那么这条直线在此平面内作用：可用来证明点、直线在么这条直线在此平面内作用：可用来证明点、直线在平面内平面内 作用：作用：可用来证明点、直线在平面内可用来证明点、直线在平面内 公理公理2

24、：如果两个平面有一个公共点，那么它们还如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线一条直线两点两点 作用：作用：可用来确定两个平面的交线；判断或证可用来确定两个平面的交线；判断或证明多点共线；判断或证明多线共点明多点共线；判断或证明多线共点 公理公理3：经过经过 的三点，有且的三点，有且只有一个平面只有一个平面 作用：作用：可用来确定一个平面；证明点线共面可用来确定一个平面；证明点线共面 公理公理4：平行于同一条直线的两条直平行于同一条直线的两条直线线 作用：作用：判断空间两条直线平行的依据判断空间

25、两条直线平行的依据不在同一条直线上不在同一条直线上互相平行互相平行 探究探究1.平面几何中成立的有关结论在空间立体几平面几何中成立的有关结论在空间立体几何中是否一定成立？何中是否一定成立？ 提示：不一定例如，提示：不一定例如，“经过直线外一点有且只有一经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线垂直条直线和已知直线垂直”在平面几何中成立，但在立体几在平面几何中成立，但在立体几何中就不成立而公理何中就不成立而公理4的传递性在平面几何和立体几何的传递性在平面几何和立体几何中均成立中均成立2直线与直线的位置关系直线与直线的位置关系平行平行相交相交任何任何 (2)异面直线所成的角异面直线所成的角 定义：设

26、定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线作直线aa，bb，把，把a与与b所成的所成的 _ 叫做异面直线叫做异面直线a与与b所成的角所成的角(或夹角或夹角)锐角锐角(或直角或直角) (2)等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角分别平行并且方向相同，那么这两个角 相等相等 判定：过平面内一点与平面外一点的直线，和这判定：过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线个平面内不经过该点的直线是异面直线 探究探究2.不相交的两条直线是异面直线吗？不相交的

27、两条直线是异面直线吗？ 提示：不一定，不相交的两条直线可能平行，也可提示：不一定，不相交的两条直线可能平行，也可能异面能异面 3不在同一平面内的直线是异面直线吗？不在同一平面内的直线是异面直线吗？ 提示：不一定，不在同一平面内的直线可能异面，提示：不一定，不在同一平面内的直线可能异面，也可能平行也可能平行3空间直线与平面、平面与平面的位置关系空间直线与平面、平面与平面的位置关系图形语言图形语言符号语言符号语言公共点公共点直线与直线与平面平面相交相交aA 个个平行平行a 个个 在平面内在平面内a 个个平面与平面与平面平面平行平行 个个相交相交l 个个10无数无数0无数无数自测自测 牛刀小试牛刀小

28、试1(教材习题改编教材习题改编)下列命题：下列命题：经过三点确定一个平面经过三点确定一个平面;梯形可以确定一个平面梯形可以确定一个平面;两两相交的三条直线最多可以确定三个平面两两相交的三条直线最多可以确定三个平面;如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合其中正确命题的是其中正确命题的是_. (填序号填序号)解析：对于，未强调三点不共线，故错误；正确；解析：对于，未强调三点不共线，故错误；正确；对于，三条直线两两相交，如空间直角坐标系，能确对于，三条直线两两相交，如空间直角坐标系，能确定三个平面，故正确；定三个平面，故正确；对于，未强调三点共线，则两平

29、面也可能相交，故对于，未强调三点共线，则两平面也可能相交，故错误错误答案：答案：2如果如果a ; b ; laA ; lbB，那么下列，那么下列 关系成立的是关系成立的是_(填序号填序号)l；l ；lA；lB.解析：解析：a，laA，A，Al，同理，同理B，Bl，l.答案：答案：3若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这 三个平面把空间分成三个平面把空间分成_个部分个部分解析：三个平面解析：三个平面，两两相交，交线分别是两两相交，交线分别是a，b，c，且，且abc，则，则，把空间分成把空间分成7部分部分答案：答案：74若直线若直线l上有两点到平面

30、上有两点到平面的距离相等，则直线的距离相等，则直线l与平与平面面的关系是的关系是_解析：当这两点在解析：当这两点在的同侧时，的同侧时，l与与平行；平行；当这两点在当这两点在的异侧时，的异侧时，l与与相交相交答案：平行或相交答案：平行或相交5(2012信阳模拟信阳模拟)平面平面、的公共点多于两个，则的公共点多于两个，则、垂直；垂直；、至少有三个公共点；至少有三个公共点；、至少有一条公共直线；至少有一条公共直线；、至多有一条公共直线至多有一条公共直线以上四个判断中不成立是以上四个判断中不成立是_(填序号填序号)解析：由条件知，平面解析：由条件知，平面与与重合或相交，重合时，公共重合或相交，重合时，

31、公共直线多于一条，故错误；相交时不一定垂直，故错直线多于一条，故错误；相交时不一定垂直，故错误误答案：答案：平面的基本性质及应用平面的基本性质及应用 例例1(2012临沂模拟临沂模拟)以下四个命题：以下四个命题： 不共面的四点中，其中任意三点不共线；不共面的四点中，其中任意三点不共线； 若点若点A、B、C、D共面，点共面，点A、B、C、E共面，则点共面，则点A、B、C、D、E共面；共面； 若直线若直线a、b共面，直线共面，直线a、c共面，则直线共面，则直线b、c共面；共面； 依次首尾相接的四条线段必共面依次首尾相接的四条线段必共面 其中正确命题的个数是其中正确命题的个数是_(填序号填序号) 自

32、主解答自主解答(1) 正确，可以用反证法证明；不正确，可以用反证法证明；不正确，从条件看出两平面有三个公共点正确，从条件看出两平面有三个公共点A、B、C，但是若，但是若A、B、C共线则结论不正确；不正确，共面不具有传共线则结论不正确；不正确，共面不具有传递性；不正确，空间四边形的四条边不在一个平面内递性；不正确，空间四边形的四条边不在一个平面内答案答案(1)本例条件不变，如何证明本例条件不变，如何证明“FE、AB、DC共点共点”？ 1.由所给元素确定平面的关键点由所给元素确定平面的关键点 判断由所给元素判断由所给元素(点或直线点或直线)确定平面时，关键是确定平面时，关键是分析所给元素是否具有确

33、定惟一平面的条件，如不具分析所给元素是否具有确定惟一平面的条件，如不具备，则一定不能确定一个平面备，则一定不能确定一个平面. 2.证明共面问题的常用方法证明共面问题的常用方法 纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内线在此平面内. 辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面，再证明其余元素确定平面再证明其余元素确定平面，最后证明平面，最后证明平面、重合重合.1下列如图所示是正方体和正四面体，下列如图所示是正方体和正四面体，P、Q、R、S分别分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是是所在棱的中点，则四个点共

34、面的图形是_解析：中可证四边形解析：中可证四边形PQRS为梯形；中，为梯形；中，如图所示取如图所示取A1A与与BC的中点为的中点为M、N，可证，可证明明PMQNRS为平面图形，且为平面图形，且PMQNRS为正为正六边形中可证四边形六边形中可证四边形PQRS为平行四边为平行四边形；中，可证形；中，可证Q点所在棱与面点所在棱与面PRS平行，因此，平行，因此，P、Q、R、S四点不共面四点不共面答案：答案：空间两条直线的位置关系空间两条直线的位置关系 例例3如如图，在正方体图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，中，M，N分别是分别是BC1，CD1的中点，则下列的中点，则下列 MN与与CC1垂直垂直;

35、 MN与与AC垂直垂直; MN与与BD平行平行; MN与与A1B1平行平行; 自主解答自主解答由于由于MN与平面与平面DCC1D1相交于相交于N点，点，D1C1平面平面DCC1D1，且，且C1D1与与MN没有公共点，所以没有公共点，所以MN与与C1D1是异面直线又因为是异面直线又因为C1D1A1B1，且，且A1B1与与MN没有公共点，所以没有公共点，所以A1B1与与MN是异面直线是异面直线. 答案答案 异面直线的判定方法异面直线的判定方法 (1)定义法：依据定义判断定义法：依据定义判断(较为困难较为困难)； (2)定理法：过平面内一点与平面外一点的直线与平定理法：过平面内一点与平面外一点的直线

36、与平面内不经过该点的直线为异面直线面内不经过该点的直线为异面直线(此结论可作为定理此结论可作为定理使用使用) (3)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两直反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严密的推理，线平行或相交，由假设的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面.3已知空间四边形已知空间四边形ABCD中，中，E、H分别是边分别是边AB、AD的中的中点，点，F、G分别是边分别是边BC、CD中的点中的点(1)求证：求证：BC与与AD是异面直线；是异面直线；(2)求证：求证：EG与与FH

37、相交相交证明：证明：(1)假设假设BC与与AD共面，不妨设它共面，不妨设它们所共平面为们所共平面为，则，则B、C、A、D.所以四边形所以四边形ABCD为平面图形，这与四为平面图形，这与四边形边形ABCD为空间四边形相矛盾所以为空间四边形相矛盾所以BC与与AD是异面直线是异面直线(2)如图，连接如图，连接AC，BD，则，则EFAC，HGAC，因此因此EFHG；同理；同理EHFG，则，则EFGH为平行四为平行四边形边形又又EG、FH是是 EFGH的对角线，的对角线，所以所以EG与与HF相交相交.异面直线所成的角异面直线所成的角 例例4(2012银川模拟银川模拟)如图所示，在正方体如图所示，在正方体

38、ABCDA1B1C1D1中，中， (1)求求A1C1与与B1C所成角的大小；所成角的大小； (2)若若E、F分别为分别为AB、AD的中点，求的中点，求A1C1与与EF所成所成角的大小角的大小 自主解答自主解答(1)如图，连接如图，连接AC、AB1，由由ABCDA1B1C1D1是正方体，知是正方体，知AA1C1C为平行四边形，所以为平行四边形，所以ACA1C1，从而，从而B1C与与AC所成的角就是所成的角就是A1C1与与B1C所成的角所成的角由由AB1ACB1C可知可知B1CA60， 即即A1C1与与B1C所成角为所成角为60. (2)如图，连接如图，连接BD，由，由AA1CC1，且，且AA1C

39、C1可知可知A1ACC1是平行四边形，所以是平行四边形，所以ACA1C1. 即即AC与与EF所成的角就是所成的角就是A1C1与与EF所成的角所成的角 因为因为EF是是ABD的中位线，所以的中位线，所以EFBD. 又因为又因为ACBD，所以，所以EFAC，即所求角为，即所求角为90.求异面直线所成角的步骤求异面直线所成角的步骤平移法求异面直线所成角的一般步骤：平移法求异面直线所成角的一般步骤：4已知三棱锥已知三棱锥ABCD中，中，ABCD，且直线，且直线AB与与CD成成60角，点角，点M、N分别是分别是BC、AD的中点，求直线的中点，求直线AB和和MN所成的角所成的角MEN为异面直线为异面直线A

40、B与与CD所成的角所成的角(或补角或补角)，且，且MEN为等腰三角形为等腰三角形当当MEN60时，时，EMN60，即异面直线，即异面直线AB和和MN所成的角为所成的角为60.当当MEN120时，时，EMN30，即异面直线，即异面直线AB和和MN所成的角为所成的角为30.直线直线AB和和MN所成的角为所成的角为60或或30. (1)“不同在任何一个平面内不同在任何一个平面内”指这两条直线不能确定指这两条直线不能确定任何一个平面，因此异面直线既不平行，也不相交任何一个平面，因此异面直线既不平行，也不相交 (2)不能把异面直线误解为：分别在不同平面内的两条不能把异面直线误解为：分别在不同平面内的两条

41、直线为异面直线直线为异面直线 (3)异面直线的公垂线有且仅有一条异面直线的公垂线有且仅有一条 (1)平移法：即选点平移其中一条或两条直线使其转平移法：即选点平移其中一条或两条直线使其转化为平面角问题，这是求异面直线所成角的常用方法化为平面角问题，这是求异面直线所成角的常用方法 (2)补形法：即采用补形法作出平面角补形法：即采用补形法作出平面角 (1)证明共面问题一般有两种途径：证明共面问题一般有两种途径： 首先由条件中的部分线首先由条件中的部分线(或点或点)确定一个平面，再证其他确定一个平面，再证其他线线(或点或点)在此平面内；在此平面内； 将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证明这将所

42、有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证明这两个平面重合两个平面重合 (2)证明共线问题一般有两种途径：证明共线问题一般有两种途径： 先由两点确定一条直线，再证其他点都在这条直线上；先由两点确定一条直线，再证其他点都在这条直线上； 直接证明这些点都在同一条特定直线上直接证明这些点都在同一条特定直线上 (3)证明共点问题常用方法：先证其中两条直线交于一点，证明共点问题常用方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点再证其他直线经过该点.易误警示易误警示求解线线角中忽视隐含条件而致错求解线线角中忽视隐含条件而致错 典例典例(2013临沂模拟临沂模拟)过正方体过正方体ABCDA1B1C1D1

43、的顶点的顶点A作直线作直线l，使，使l与棱与棱AB，AD，AA1所成所成的角都相等，这样的直线的角都相等，这样的直线l可以作可以作_条条.答案答案4 1易忽视异面直线所成的角，且没有充分认识正方易忽视异面直线所成的角，且没有充分认识正方体中的平行关系而错选体中的平行关系而错选A. 2求解空间直线所成的角时，还常犯以下错误：求解空间直线所成的角时，还常犯以下错误： (1)缺乏空间想象力，感觉无从下手；缺乏空间想象力，感觉无从下手； (2)忽视异面直线所成角的范围忽视异面直线所成角的范围答案：答案：901如图，在四面体如图，在四面体ABCD中，截面中，截面PQMN是正方形，则在下列是正方形，则在下

44、列命题中，错误的为命题中，错误的为_(填序号填序号)AACBDBAC截面截面PQMNCACBDD异面直线异面直线PM与与BD所成的角为所成的角为45解析：依题意得解析：依题意得MNPQ，MN平面平面ABC，又，又MN平面平面ACD，且平面，且平面ACD平面平面ABCAC，因此有，因此有MNAC，AC平面平面MNPQ.同理，同理，BDPN.又截面又截面MNPQ是正方形，是正方形，因此有因此有ACBD，直线，直线PM与与BD所成的角是所成的角是45.答案：答案：C2对于四面体对于四面体ABCD，下列命题，下列命题相对棱相对棱AB与与CD所在直线异面；所在直线异面；由顶点由顶点A作四面体的高，其垂足

45、是作四面体的高，其垂足是BCD三条高线三条高线的交点；的交点；若分别作若分别作ABC和和ABD的边的边AB上的高，则这两上的高，则这两条高所在的直线异面；条高所在的直线异面；分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点交于一点其中正确的是其中正确的是_(填序号填序号)解析：对于，由四面体的概念可知，解析：对于，由四面体的概念可知，AB与与CD所在的直线为异面直线，故所在的直线为异面直线，故正确；对于，由顶点正确；对于，由顶点A作四面体的高，作四面体的高，当四面体当四面体ABCD的对棱互相垂直时，其的对棱互相垂直时，其垂足是垂足是BCD的三条高

46、线的交点，故错误；对于，当的三条高线的交点，故错误；对于，当DADB，CACB时，这两条高线共面，故错误；对时，这两条高线共面，故错误；对于，设于，设AB、BC、CD、DA的中点依次为的中点依次为E、F、M、N，易证四边形易证四边形EFMN为平行四边形，所以为平行四边形，所以EM与与FN相交于一相交于一点，易证另一组对棱也过它们的交点，故正确点，易证另一组对棱也过它们的交点，故正确答案：答案：3已知长方体已知长方体ABCDABCD中，中，AB4，BC 3，AA5，求异面直线，求异面直线DB和和AC所成角的余弦值所成角的余弦值备考方向要明了备考方向要明了 考考 什什 么么怎怎 么么 考考1.以立

47、体几何的定义、以立体几何的定义、 公理和定理为出发点，公理和定理为出发点， 认识和理解空间中线认识和理解空间中线 面平行的有关性质与面平行的有关性质与 判定定理判定定理2.能运用公理、定理和能运用公理、定理和 已获得的结论证明一已获得的结论证明一 些空间图形的平行关些空间图形的平行关 系的简单命题系的简单命题.1.直线与平面平行的判定与性质及直线与平面平行的判定与性质及 平面与平面平行的判定与性质是平面与平面平行的判定与性质是 高考的热点之一，考查线高考的热点之一，考查线线线 线线 面面 面面面的转化，考查学生面的转化，考查学生的的 空间想象能力及逻辑推理能力空间想象能力及逻辑推理能力2.多以

48、解答题形式出现，主要是围多以解答题形式出现，主要是围 绕线、面平行的判定和性质定理绕线、面平行的判定和性质定理 的应用设计试题，一般设计为解的应用设计试题，一般设计为解 答题的某一问，如答题的某一问，如2012年高考年高考 T16(2)，2011年高考年高考T16(1)等等.归纳归纳 知识整合知识整合1直线与平面平行的判定定理和性质定理直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言文字语言图形语言图形语言符号语言符号语言判判定定定定理理平面外一条直线与平面外一条直线与的一条直线平行，则该直线与的一条直线平行，则该直线与此平面平行此平面平行(线线平行线线平行线面平线面平行行). ， ， ， .性性质

49、质定定理理如果一条直线和一个平面平行，如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交面相交，那么这条直线就和交线平行线平行(线面平行线面平行线线平行线线平行). ， ， ，lb.这个平面内这个平面内laal lllb 探究探究1.如果一条直线和平面内一条直线平行，那如果一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行吗？么这条直线和这个平面平行吗？ 提示：不一定只有当此直线在平面外时才有线面提示：不一定只有当此直线在平面外时才有线面平行平行 2如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线和如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线和

50、这个平面的任意一条直线都平行吗？这个平面的任意一条直线都平行吗？ 提示：不可以，对于任意一条直线而言，存在异面提示：不可以，对于任意一条直线而言，存在异面的情况的情况2平面与平面平行的判定定理和性质定理平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言文字语言图形语言图形语言符号语言符号语言判定定判定定理理一个平面内的两条一个平面内的两条 与另一个与另一个平面平行，则这两个平面平行，则这两个平面平行平面平行(简记为简记为“线线面平行面平行面面平行面面平行”). ， ， ， ，.相交直线相交直线ababPab文字语言文字语言图形语言图形语言符号语言符号语言性质定理性质定理如果两个平行平面如果两个平行平面

51、同时和第三个平同时和第三个平面面 ，那么它，那么它们的们的 平行平行. ， ， ，ab.相交相交交线交线ab 探究探究3.如果一个平面有无数条直线与另一个平面如果一个平面有无数条直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行吗？平行，那么这两个平面平行吗？ 提示：不一定可能平行，也可能相交提示：不一定可能平行，也可能相交 4如果两个平面平行，则一个平面内的直线与另一如果两个平面平行，则一个平面内的直线与另一个平面有什么位置关系？个平面有什么位置关系？ 提示：平行提示：平行 自测自测 牛刀小试牛刀小试1一条直线一条直线l上有相异三个点上有相异三个点A、B、C到平面到平面的距离的距离相等，那么直线相等，

52、那么直线l与平面与平面的位置关系是的位置关系是_解析：当直线解析：当直线l或或l时，满足条件时，满足条件答案：答案：l或或l2(教材习题改编教材习题改编)已知平面已知平面，直线，直线a，有下列，有下列 说法：说法：a与与内的所有直线平行；内的所有直线平行；a与与内无数条直线平行；内无数条直线平行；a与与内的任意一条直线都不垂直内的任意一条直线都不垂直其中真命题的序号是其中真命题的序号是_解析：由面面平行的性质可知，过解析：由面面平行的性质可知，过a与与相交的平面与相交的平面与的交线才与的交线才与a平行，故错误；正确；平面平行，故错误；正确；平面内的直内的直线与直线线与直线a平行，异面均可，其中

53、包括异面垂直，故平行，异面均可，其中包括异面垂直，故错误错误答案：答案：答案：平行答案：平行4如图，在正方体如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，中， E，F，G，H，N分别是棱分别是棱CC1，C1D1， D1D，DC，BC的中点，点的中点，点M在四边形在四边形EFGH及其内部运动，则点及其内部运动，则点M只需满足条件只需满足条件_时，时，就有就有MN平面平面B1BDD1.(填上正确的一个条件即可，不填上正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况必考虑全部可能情况)解析：解析：HNBD，HFDD1，平面平面NHF平面平面BB1D1D，故线段故线段FH上任意点上任意点M与与N相连，均有相连，均

54、有MN平面平面BB1D1D.答案：答案：M线段线段FH5(教材习题改编教材习题改编)过三棱柱过三棱柱ABCA1B1C1的棱的棱A1C1，B1C1，BC，AC的中点的中点E、F、G、H的平面与平面的平面与平面_平行平行解析：如图所示，解析：如图所示，E、F、G、H分别分别为为A1C1、B1C1、BC、AC的中点，的中点，EFA1B1，FGB1B，且，且EFFGF，A1B1B1BB1平面平面EFGH平面平面ABB1A1.答案：答案：ABB1A1线面平行的判定及性质线面平行的判定及性质 例例1(2012宁波模拟宁波模拟)正方形正方形ABCD与正方形与正方形ABEF所在平面相交于所在平面相交于AB，在

55、，在AE、BD上各有一点上各有一点P、Q，且，且APDQ.求证：求证：PQ平面平面BCE. 自主解答自主解答法一：如图所示，作法一：如图所示，作PMAB交交BE于于M，作，作QNAB交交BC于于N，连接连接MN. 正方形正方形ABCD和正方形和正方形ABEF有公共边有公共边AB，AEBD.证明线面平行的关键点及探求线线平行的方法证明线面平行的关键点及探求线线平行的方法 (1)证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线；到一条与已知直线平行的直线； (2)利用几何体的特征，利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构

56、造平合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行；行四边形、寻找比例式证明两直线平行； (3)注意说明注意说明已知的直线不在平面内，即三个条件缺一不可已知的直线不在平面内，即三个条件缺一不可1 (2011福建高考福建高考)如图，正方体如图，正方体ABCD A1B1C1D1中，中，AB2，点，点E为为AD的中的中 点，点点，点F在在CD上，若上，若EF平面平面AB1C， 则线段则线段EF的长度等于的长度等于_2(2013无锡调研无锡调研)如图，如图，PA平面平面ABCD，四边形，四边形ABCD是矩形，是矩形，E、F分别是分别是AB、PD的中点，求证：的中点，求

57、证：AF平平面面PCE.面面平行的判定与性质面面平行的判定与性质 例例2如图所示，在直四棱柱如图所示，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面是正方形，中，底面是正方形，E，F，G分别是棱分别是棱B1B，D1D，DA的中点求证：平的中点求证：平面面AD1E平面平面BGF. 判定面面平行的方法判定面面平行的方法 (1)利用定义：即证两个平面没有公共点利用定义：即证两个平面没有公共点(不常用不常用)； (2)利用面面平行的判定定理利用面面平行的判定定理(主要方法主要方法)； (3)利用垂直于同一条直线的两平面平行利用垂直于同一条直线的两平面平行(客观题可用客观题可用)； (4)利用平面平行的传递

58、性，即两个平面同时平行于第利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行三个平面，则这两个平面平行(客观题可用客观题可用)3(2013济南模拟济南模拟)如图所示，在正如图所示，在正 方体方体ABCDA1B1C1D1中，中，M、 N、P分别为所在边的中点求分别为所在边的中点求 证：平面证：平面MNP平面平面A1C1B.证明：如图所示，连接证明：如图所示，连接D1C，则则MN为为DD1C的中位线，的中位线，MND1C.D1CA1B，MNA1B.同理可证，同理可证，MPC1B.而而MN与与MP相交，相交，MN，MP在平面在平面MNP内，内，A1B，C1B在平面在平面A1C1B

59、内，内，平面平面MNP平面平面A1C1B.线面平行中的探索性问题线面平行中的探索性问题 例例3 (2012徐州模拟徐州模拟)如图所示，在如图所示，在三棱柱三棱柱ABCA1B1C1中，中，A1A平面平面ABC，若若D是棱是棱CC1的中点，问在棱的中点，问在棱AB上是否存在上是否存在一点一点E，使，使DE平面平面AB1C1？若存在，请确？若存在，请确定点定点E的位置；若不存在，请说明理由的位置；若不存在，请说明理由自主解答自主解答存在点存在点E，且，且E为为AB的中点的中点下面给出证明：下面给出证明：如图，取如图，取BB1的中点的中点F，连接，连接DF，则则DFB1C1，AB的中点为的中点为E，连

60、接，连接EF，则则EFAB1.B1C1与与AB1是相交直线，是相交直线，平面平面DEF平面平面AB1C1.而而DE平面平面DEF，DE平面平面AB1C1.破解探索性问题的策略破解探索性问题的策略 解决探究性问题一般要采用执果索因的方法，假解决探究性问题一般要采用执果索因的方法，假设求解的结果存在，从这个结果出发，寻找使这个结设求解的结果存在，从这个结果出发，寻找使这个结论成立的充分条件，如果找到了符合题目结果要求的论成立的充分条件，如果找到了符合题目结果要求的条件，则存在；如果找不到符合题目结果要求的条件条件，则存在；如果找不到符合题目结果要求的条件(出现矛盾出现矛盾)，则不存在，则不存在4如