2圆内接四边形的性质与判定定理

1、2. 2圆内接四边形的性质与判定定理一. 教学目标1知识与技能目标：(1) 理解圆内接四边形的性质定理，能应用定理解决相关的几何问题；(2 )理解圆内接四边形的判定定理，能应用定理及推论解决相关的几何问题2. 过程与方法目标：经历定理的提出、证明、应用的过程，探究定理的本质，整理点共圆的重要知识3. 情感态度与价值观目标 ：通过对圆内接四边形性质的探究，体会观察、归纳方法在数学命题中的应用；通过对圆内接四边形判 定定理的探究，进一步体会分类思想以及反证法的应用二. 重点圆内接四边形的性质定理，圆内接四边形的的判定定理及推论，判定定理证明中蕴涵的数学思想方法三. 难点(1 )判定定理的证明(2

2、)运用运动变化思想方法探究几何问题四、教学过程(一) 导入新课1. 复习：圆内接四边形的定义2 .提出问题：我们知道，任意三角形都有外接圆，那么，任意四边形有外接圆吗？(1 )由学生通过画图得到初步结论，形成感性认识；(2) 教师进一步提出问题：具备什么条件的四边形才有外接圆呢？(与原稿相比，这样设计目标更具体，过程更容易操作，更容易激发学生的探究欲望，从而为研究圆 内接四边形的判定做好铺垫)(二) 推进新课1 .圆内接四边形性质的研究(1 )阅读教材P. 27 “探究”：观察一组圆内接四边形，寻找其共同特征(3)设计如下问题，帮助学生得出结论 图中都研究哪些四边形？它们有什么共同特征? 观察

3、以上四个图形中各四边形四个内角的关系，你能够得出什么结论? 是不是所有的圆内接四边形都有这样的结论？ 你能证明你的结论吗?（与原稿相比，这样设计能够突出学生的主体作用，学生分析问题和解决问题更有目的性，更能体现 知识的形成过程）（2 ）性质定理1圆的内接四边形的对角互补（3）性质定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角2 提出问题：（1 ）回顾平行线的性质定理与判定定理： 性质定理：两直线平行，同位角相等； 判定定理：同位角相等，两直线平行 ；（2）回顾等腰三角形的性质定理与判定定理： 性质定理：在三角形中，等边对等角 判定定理：在三角形中，等角对等边（3 ）从上述性质定理与判定定理的关系

4、中，你能够得出什么结论？（通常情况下，性质定理与判定 定理是互逆的）（4）圆内接四边形的性质定理的逆命题是否成立？即对角互补的四边形是否是圆内接四边形？（与原稿相比，这样设计沟通了通常情况下性质定理与判定定理的内在联系，更容易引起学生的思考,学生更容易接受，并且可以通过这样的规律学生其他定理，从而体会了数学定理衍生的一般过程）3 探究圆内接四边形的判定定理 （1 ）画出图形，写出已知，求证如图，已知，四边形 ABCD中，.B . D =180求证：A, B,C, D在同一圆上（简称四点共圆）（2）分析过程： 任意三点 代B,C显然在同一圆上，过这三点作圆O，只要证明点D在圆上；/ 直接证明点D

5、在圆上比较困难，考虑反证法；让学生回顾证明点在圆上的方法，发现只有圆的定义，即到圆心的距离等于 半径，对本题而言，这很难操作。根据“正难则反”的原理，考虑用反证法证明。 那么，反证法的一般步骤是什么呢？（这样设计能够让学生比较自然地由直接证明过渡到间接证明，体会“正难则反”的原理） 假设D不在圆上，那么 D会在哪里呢？（乘胜追击，引导学生分析 D的可能位置，体会分类讨论的思想方法） 假设D在圆内，会出现什么结果？（教师引导学生把圆内的非特殊角转化为圆上的特殊角，通过添加辅助线，得出矛盾。这一过程没有 教师的参与，学生的不容易完成的。） 假设D在圆外，又会出现结果？（学生已经有了解决 D在圆内情

6、况的经验， 教师可以放手由学生独立完成，只需要对有困难的学生做指导即可，这样既可以锻炼学生的分析、表达等方面的能力，又能够检验学生的听课效果，达到举一反三）（3 ）得到结论圆内接四边形的判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆（简记为： 对角互补，四点共圆）4 推论：如果四边形的一个外角等于它的内对角，则这个四边形的四个顶点共圆（简记为：外角等于内对角， 四点共圆）说明：该定理的证明运用了分类讨论、反证法、穷举法(三) 应用举例1 . P. 29 例 1如图，圆Oi与圆02都经过A,B两点，经过点 A的直线CD与圆Oi交于点C，与圆02交于点D , 经过点B的直线EF与

7、圆O-i交于点E，与圆02交于点FACOQEF求证：CE / DF分析：只要证明同旁内角互补连结AB，利用圆内接四边形的性质，可以沟通两圆之间的角的关系说明：(1 )两圆相交，连公共弦，是常用的辅助线(2)在圆中，角与角之间的沟通常用用圆周角，圆心角，外角，内对角等2. P. 29 例 2如图，CF是ABC的AB边上的高,FP _ BC , FQ _ AC求证：代B, P,Q四点共圆(四) 课堂练习1 . P. 30习题2. 2第1、2题2. (07海南文理)已知 AP是O O的切线，P为切点，AC是O O的割线，与O O交于B,C两点,圆心O在.PAC的内部，点 M是BC的中点。(1)证明

8、代P,O,M四点共圆；(2)求.OAM . APM的大小。3. ( 09海南文理)已知 ABC的两条角平分线 AD和CE相交于H ,B =60 , F 在 AC 上，且 AE 二 AF(1)证明：B, D, H , E四点共圆；(2)证明：CE平分.DEF(练习题增加两道高考原题，可以使学生体会共圆问题的重要性，提醒学生 注意四点共圆的证明与应用)(五) 课堂小结1圆内接四边形的性质定理；2 圆内接四边形的判定定理及推论；3 .方法总结：(1) 相交两圆的辅助线的作法；(2) 分类讨论方法，反证法，穷举法4 归纳证明四点共圆的主要方法(1)利用圆的定义：到圆心的距离等于半径；(2 )对角互补，四点共圆；(3 )外角等于内对角，四点共圆；（4）两个三角形的公共边同侧两个张角相等，则两个三角形有公共的外接圆（由学生课后探究，给 出证明过程）C（六）布置作业1 . P. 30习题2. 2第3题2.（11海南文理）如图，D , E分别为lABC的边AB , AC上的点，且不与lABC的顶点重合。已知AE的长为m , AC的长为n , AD , AB的长是关于x的方程x - 14x亠mn = 0 C的两个根。（1）证明：C , B , D , E四点共圆；（2）若A = 90，且 m=4, n =6，求 C , B ,（增加高考原题，培养学生的解题能力）反思：1教学