第4章-非稳态导热的分析与计算-简化

1、v稳态导热：稳态导热：理想化情形理想化情形v生活和工程中的生活和工程中的现象和问题现象和问题v烘烤食品（花生米、蛋糕等点心）烘烤食品（花生米、蛋糕等点心）v热处理工艺中金属工件的加热与冷却热处理工艺中金属工件的加热与冷却v焖井过程热量在地层内的扩散过程焖井过程热量在地层内的扩散过程v特征：特征：物体内的温度明显随时间而变化物体内的温度明显随时间而变化第第4章章 非稳态导热的分析与计算非稳态导热的分析与计算v本章内容：本章内容：关于非稳态导热关于非稳态导热v基本概念基本概念v对称加热的无限大平壁的非稳态导热过程对称加热的无限大平壁的非稳态导热过程v最简单的非稳态导热问题集总热容系统最简单的非稳态

2、导热问题集总热容系统v半无限大物体内的导热半无限大物体内的导热v井筒周围地层的非稳态导热井筒周围地层的非稳态导热 第第4章章 非稳态导热的分析与计算非稳态导热的分析与计算v按过程特点分类：按过程特点分类：v（1）周期性的非稳态导热周期性的非稳态导热（periodic unsteady heat conduction）：）：v物体内的温度场随时间按周期性规律变化物体内的温度场随时间按周期性规律变化v准稳态、拟稳态准稳态、拟稳态第第4章章 非稳态导热的分析与计算非稳态导热的分析与计算4.1 概述概述非稳态过程的分类非稳态过程的分类 v非稳态导热过程的分类：非稳态导热过程的分类：v（2）非周期性非稳

3、态导热非周期性非稳态导热，也称，也称瞬态导热瞬态导热（transient heat conduction）：）：v任意位置的温度随时间任意位置的温度随时间持续升高或连续下降持续升高或连续下降v边界条件或内热源不变时，将边界条件或内热源不变时，将逐渐趋于某个新的稳逐渐趋于某个新的稳定温度场定温度场 第第4章章 非稳态导热的分析与计算非稳态导热的分析与计算4.1 概述概述非稳态过程的分类非稳态过程的分类 v研究目的研究目的v（1）确定非稳态过程中的温度场）确定非稳态过程中的温度场v到达某个预定温度所需经历的时间到达某个预定温度所需经历的时间v预定时间内可以达到的温度预定时间内可以达到的温度v温度对

4、时间的变化率温度对时间的变化率v（2）确定非稳态过程的热流量或热量）确定非稳态过程的热流量或热量v任意位置处的热流密度任意位置处的热流密度v一段时间后的总传热量一段时间后的总传热量 第第4章章 非稳态导热的分析与计算非稳态导热的分析与计算4.1 概述概述非稳态过程的研究目的非稳态过程的研究目的 v关键：关键：v确定温度场：确定温度场：t=f（x , y , z , ）v非稳态导热问题的特点：非稳态导热问题的特点：v温度场温度场随空间、时间随空间、时间变化变化v热流量、热流密度随时间变化热流量、热流密度随时间变化 第第4章章 非稳态导热的分析与计算非稳态导热的分析与计算4.1 概述概述非稳态过程

5、的研究目的非稳态过程的研究目的 v研究研究过程和方法过程和方法：v（1）通过简化假设得到）通过简化假设得到物理模型物理模型v（2）给出）给出数学模型数学模型（方程定解条件）（方程定解条件）v（3）采用适当的方法求解）采用适当的方法求解v（4）分析讨论）分析讨论 第第4章章 非稳态导热的分析与计算非稳态导热的分析与计算4.1 概述概述非稳态过程的研究目的非稳态过程的研究目的 v非稳态导热问题的导热微分方程非稳态导热问题的导热微分方程第第4章章 非稳态导热的分析与计算非稳态导热的分析与计算4.2 对流边界条件下的一维非稳态导热对流边界条件下的一维非稳态导热 v偏微分方程，数学求解难度很大偏微分方程

6、，数学求解难度很大 v简单情形简单情形分析解分析解v（无限大）（无限大）平壁被流体对称加热的非稳态导热过程平壁被流体对称加热的非稳态导热过程ztzytyxtxctv几何条件：几何条件：厚为厚为2v物理条件：物理条件：无内热源、常物性无内热源、常物性v时间条件：时间条件：初始时刻温度分布均初始时刻温度分布均匀，为匀，为t0第第4章章 非稳态导热的分析与计算非稳态导热的分析与计算4.2 对流边界条件下的一维非稳态导热对流边界条件下的一维非稳态导热问题描述问题描述 v边界条件：边界条件：流体温度为流体温度为t，表面，表面传热系数均为传热系数均为h，且沿壁面均匀、，且沿壁面均匀、恒定。加热平壁恒定。加

7、热平壁v试分析平壁内的温度变化过程试分析平壁内的温度变化过程v物理模型物理模型v 定性描述定性描述v定量计算定量计算第第4章章 非稳态导热的分析与计算非稳态导热的分析与计算4.2 对流边界条件下的一维非稳态导热对流边界条件下的一维非稳态导热问题描述问题描述 v平壁传热的简化分析：平壁传热的简化分析：v几何上：平壁几何上：平壁v物理上：沿高度和宽度方向的换物理上：沿高度和宽度方向的换热均匀一致热均匀一致v物理模型：物理模型：常物性、无内热源平常物性、无内热源平壁的一维非稳态导热问题壁的一维非稳态导热问题第第4章章 非稳态导热的分析与计算非稳态导热的分析与计算4.2 对流边界条件下的一维非稳态导热

8、对流边界条件下的一维非稳态导热物理模型物理模型 v平壁内非稳态过程的特点：平壁内非稳态过程的特点：吸热、导热过程并存吸热、导热过程并存v吸热的结果：吸热的结果：不但使进、出平壁的热量不等，还不但使进、出平壁的热量不等，还导导致自身温度升高致自身温度升高v导热的结果：导热的结果：热量的影响范围扩大，平壁温度发生热量的影响范围扩大，平壁温度发生变化变化第第4章章 非稳态导热的分析与计算非稳态导热的分析与计算4.2 对流边界条件下的一维非稳态导热对流边界条件下的一维非稳态导热过程的特征过程的特征 v初始时刻：初始时刻：壁温立即发生变化壁温立即发生变化，由由t0跃升至跃升至tw v进入平壁的热量：进入

9、平壁的热量：一边被吸收一边被吸收使平壁温度升高使平壁温度升高，一边被传导一边被传导使热量的影响范围扩大使热量的影响范围扩大v 热量没有影响到的位置，温度热量没有影响到的位置，温度维持初始值不变维持初始值不变第第4章章 非稳态导热的分析与计算非稳态导热的分析与计算4.2 对流边界条件下的一维非稳态导热对流边界条件下的一维非稳态导热过程的特征过程的特征 v如某中间时刻如某中间时刻1：v壁面温度有不同程度的壁面温度有不同程度的升高升高v向平壁内部温度逐渐降向平壁内部温度逐渐降低低v平壁的平壁的中心区域维持初中心区域维持初始温度不变始温度不变第第4章章 非稳态导热的分析与计算非稳态导热的分析与计算4.

10、2 对流边界条件下的一维非稳态导热对流边界条件下的一维非稳态导热过程的特征过程的特征 v随时间延续，随时间延续，壁面加热的波及壁面加热的波及区域将继续向平壁中心推进区域将继续向平壁中心推进v穿透时间穿透时间c：v温度扰动刚刚传到平壁对温度扰动刚刚传到平壁对称面的时刻称面的时刻v整个平壁都整个平壁都“感受感受”到了到了壁面热扰动的影响壁面热扰动的影响第第4章章 非稳态导热的分析与计算非稳态导热的分析与计算4.2 对流边界条件下的一维非稳态导热对流边界条件下的一维非稳态导热过程的特征过程的特征 vc时刻后：时刻后：v整个平壁继续升温整个平壁继续升温v升温幅度越来越小升温幅度越来越小v时间无限长：时

11、间无限长：与流体与流体处于热平衡处于热平衡第第4章章 非稳态导热的分析与计算非稳态导热的分析与计算4.2 对流边界条件下的一维非稳态导热对流边界条件下的一维非稳态导热过程的特征过程的特征 v瞬态导热过程的两个阶段：瞬态导热过程的两个阶段：v初始阶段（初始阶段（initial regime），非正规状况阶段），非正规状况阶段：穿穿透时刻之前的阶段透时刻之前的阶段，平壁温度，平壁温度受初始温度分布受初始温度分布t0的影响的影响v正规状况阶段（正规状况阶段（regular regime）：）：穿透时刻之后穿透时刻之后，温度分布受热边界条件的影响温度分布受热边界条件的影响第第4章章 非稳态导热的分析与

12、计算非稳态导热的分析与计算4.2 对流边界条件下的一维非稳态导热对流边界条件下的一维非稳态导热过程的特征过程的特征 v通过两侧面进入平壁的热流量随时间的变化：通过两侧面进入平壁的热流量随时间的变化：v初始时刻具有最大的热流量，初始时刻具有最大的热流量，？第第4章章 非稳态导热的分析与计算非稳态导热的分析与计算4.2 对流边界条件下的一维非稳态导热对流边界条件下的一维非稳态导热过程的特征过程的特征 v随时间延续，传入平壁的热流量逐渐减小随时间延续，传入平壁的热流量逐渐减小v平壁吸收的总热量平壁吸收的总热量：热流量曲线下的面积：热流量曲线下的面积第第4章章 非稳态导热的分析与计算非稳态导热的分析与

13、计算4.2 对流边界条件下的一维非稳态导热对流边界条件下的一维非稳态导热过程的特征过程的特征 v物理模型：物理模型：常物性、无源的常物性、无源的一维非稳态导热一维非稳态导热v研究厚为研究厚为的半块平壁的半块平壁v坐标系：坐标系：坐标原点置于平壁坐标原点置于平壁中心面中心面第第4章章 非稳态导热的分析与计算非稳态导热的分析与计算4.2 对流边界条件下的一维非稳态导热对流边界条件下的一维非稳态导热数学模型数学模型 v物理模型：物理模型：常物性、无内热源、一维平壁的非稳态导热常物性、无内热源、一维平壁的非稳态导热第第4章章 非稳态导热的分析与计算非稳态导热的分析与计算4.2 对流边界条件下的一维非稳

14、态导热对流边界条件下的一维非稳态导热数学模型数学模型 ztzytyxtxct22xtat0,0 xv定解条件：定解条件：v初始条件：初始条件：必须的必须的第第4章章 非稳态导热的分析与计算非稳态导热的分析与计算4.2 对流边界条件下的一维非稳态导热对流边界条件下的一维非稳态导热数学模型数学模型 00|tt x0 v边界条件：边界条件：0|0 xxt|xxth ttx（对称性）（对称性）v完整的数学模型：完整的数学模型： 第第4章章 非稳态导热的分析与计算非稳态导热的分析与计算4.2 对流边界条件下的一维非稳态导热对流边界条件下的一维非稳态导热数学模型数学模型 0|0 xxt|xxth ttx0

15、0|tt x0 22xtat0,0 x 初始条件：初始条件： 边界条件：边界条件： 为使边界条件齐次化为使边界条件齐次化，引入过余温度，引入过余温度=t- -t 控制方程：控制方程：v定义过余温度定义过余温度=t- -t后：后： 第第4章章 非稳态导热的分析与计算非稳态导热的分析与计算4.2 对流边界条件下的一维非稳态导热对流边界条件下的一维非稳态导热数学模型数学模型 22xa0,0 x 000|tt0|0 xxxxhx|纯数学问题，典型的纯数学问题，典型的分离变量法分离变量法、Laplace变换方法变换方法等等v分析解：分析解： 第第4章章 非稳态导热的分析与计算非稳态导热的分析与计算4.2

16、 对流边界条件下的一维非稳态导热对流边界条件下的一维非稳态导热分析解分析解 2210,expcosnnnnxaxC式中式中 n称为称为特征值特征值，是，是超越方程超越方程的根：的根： 4sin2sin 2nnnnCtannnh无穷级数之和无穷级数之和 v特点：特点：过余温度比只与三个量纲一的参数有关过余温度比只与三个量纲一的参数有关 第第4章章 非稳态导热的分析与计算非稳态导热的分析与计算4.2 对流边界条件下的一维非稳态导热对流边界条件下的一维非稳态导热分析解分析解 2210,expcosnnnnxaxC4sin2sin 2nnnnCtannnh20,xt xtax hftt第第4章章 非稳

17、态导热的分析与计算非稳态导热的分析与计算4.2 对流边界条件下的一维非稳态导热对流边界条件下的一维非稳态导热分析解分析解 20,xt xtax hftt2aFohBi令令 式中，式中，Fo傅里叶傅里叶 (Fourier) 数数，Bi比渥比渥 (Biot) 数数 0,xxfFo BitannnBi21expo cosnnnnxCFv计算工作量很大计算工作量很大v计算表明：计算表明：指数项衰减快指数项衰减快v当当Fo0.2时，时，取无穷级数的首项而舍弃其他项取无穷级数的首项而舍弃其他项，所得，所得结果的误差小于结果的误差小于1第第4章章 非稳态导热的分析与计算非稳态导热的分析与计算4.2 对流边界

18、条件下的一维非稳态导热对流边界条件下的一维非稳态导热分析解分析解 210,expo cosnnnnxxCFv当当Fo0.2时，时，取取Cn= 0（n2）vFo0.2：第第4章章 非稳态导热的分析与计算非稳态导热的分析与计算4.2 对流边界条件下的一维非稳态导热对流边界条件下的一维非稳态导热分析解分析解 210,expo cosnnnnxxxfFo BiCF1211011,4sinexpo cos2sin 2xxFv当当Fo0.2后：后：第第4章章 非稳态导热的分析与计算非稳态导热的分析与计算4.2 对流边界条件下的一维非稳态导热对流边界条件下的一维非稳态导热分析解分析解 1211011,4si

19、nexpo cos2sin 2xxF1,cos0,xx(x,)与与(0,) 的比值却的比值却与与无关，无关，仅取决于平壁的几仅取决于平壁的几何位置何位置（x/）和和Bi数数初始条件的影响已经消失初始条件的影响已经消失：正规状况阶段正规状况阶段v正规状况阶段的重要性：正规状况阶段的重要性：v正规状况阶段占非稳态过程的极大部分比例正规状况阶段占非稳态过程的极大部分比例v工程应用中所关心的非稳态问题常常工程应用中所关心的非稳态问题常常处于正规状处于正规状况阶段况阶段v作为材料导热系数和热扩散系数测量的原理作为材料导热系数和热扩散系数测量的原理 第第4章章 非稳态导热的分析与计算非稳态导热的分析与计算

20、4.2 对流边界条件下的一维非稳态导热对流边界条件下的一维非稳态导热分析解分析解 第第4章章 非稳态导热的分析与计算非稳态导热的分析与计算4.2 对流边界条件下的一维非稳态导热对流边界条件下的一维非稳态导热分析解分析解 v正规状况阶段的温度计算：正规状况阶段的温度计算：不甚方便不甚方便v工程上的简化计算方法：工程上的简化计算方法：v海斯勒海斯勒(Heisler)提出的诺模图提出的诺模图(nomogram)方法方法v由由Campo提出的近似拟合公式提出的近似拟合公式1211011,4sinexpo cos2sin 2xxFv对双面对称加热的平壁：对双面对称加热的平壁：从流体中吸收的热量完全被从流

21、体中吸收的热量完全被用来升高平壁温度用来升高平壁温度v平壁的总吸热量：平壁的总吸热量： 第第4章章 非稳态导热的分析与计算非稳态导热的分析与计算4.2 对流边界条件下的一维非稳态导热对流边界条件下的一维非稳态导热吸热量吸热量 00QcV tt非稳态导热过程非稳态导热过程所传递的最大热量所传递的最大热量 第第4章章 非稳态导热的分析与计算非稳态导热的分析与计算4.2 对流边界条件下的一维非稳态导热对流边界条件下的一维非稳态导热吸热量吸热量 从初始时刻开始的某时间段的吸热量：从初始时刻开始的某时间段的吸热量：0,dVQc t xtV任意时刻、任意位置处的热流密度为：任意时刻、任意位置处的热流密度为

22、：d,d,ddxt xxqxx 0,dVcA t xtxv特征数或准则数：特征数或准则数：表示某一物理现象或物理过程特征表示某一物理现象或物理过程特征的量纲一的量的量纲一的量v掌握特征数的定义及其物理意义掌握特征数的定义及其物理意义是传热学学习的重要是传热学学习的重要内容内容 第第4章章 非稳态导热的分析与计算非稳态导热的分析与计算4.2 对流边界条件下的一维非稳态导热对流边界条件下的一维非稳态导热Fo数和数和Bi数数的意义及对非稳态过程的影响的意义及对非稳态过程的影响 0,xxfFo Biv特征长度特征长度lc (characteristic length): 出现在特征数中的出现在特征数中

23、的几何尺度几何尺度vlc = V/Av双面对称加热的平壁：双面对称加热的平壁：半厚度半厚度第第4章章 非稳态导热的分析与计算非稳态导热的分析与计算4.2 对流边界条件下的一维非稳态导热对流边界条件下的一维非稳态导热Fo数和数和Bi数数的意义及对非稳态过程的影响的意义及对非稳态过程的影响 第第4章章 非稳态导热的分析与计算非稳态导热的分析与计算4.2 对流边界条件下的一维非稳态导热对流边界条件下的一维非稳态导热Fo数和数和Bi数数的意义及对非稳态过程的影响的意义及对非稳态过程的影响 22aFoa式中，式中，和和2/a都具有时间的量纲都具有时间的量纲分子分子：边界上发生热扰动时刻算起到计算时刻为止

24、边界上发生热扰动时刻算起到计算时刻为止的时间的时间分母分母2/a：热扰动经过一定厚度的固体层传播到面积热扰动经过一定厚度的固体层传播到面积2上所需要的时间上所需要的时间反映非稳态进程的无量纲时间反映非稳态进程的无量纲时间第第4章章 非稳态导热的分析与计算非稳态导热的分析与计算4.2 对流边界条件下的一维非稳态导热对流边界条件下的一维非稳态导热Fo数和数和Bi数数的意义及对非稳态过程的影响的意义及对非稳态过程的影响 1hBih Bi数：数：物体内部的导热热阻与表面的对流热阻之比物体内部的导热热阻与表面的对流热阻之比分子：分子：热量通过半个平壁时单位面积的导热热阻热量通过半个平壁时单位面积的导热热

25、阻分母：分母：平壁表面与流体间单位面积的对流热阻平壁表面与流体间单位面积的对流热阻第第4章章 非稳态导热的分析与计算非稳态导热的分析与计算4.2 对流边界条件下的一维非稳态导热对流边界条件下的一维非稳态导热Fo数和数和Bi数的意义及对非稳态过程的影响数的意义及对非稳态过程的影响 v当当Bi时：时：/1/hv从平壁放入流体中的瞬间，从平壁放入流体中的瞬间，壁面具有壁面具有和流体相同的温度和流体相同的温度1hBih v第三类边界条件可转化为第一类边界第三类边界条件可转化为第一类边界条件条件 v当当Bi0时：时：/1/hv物体内部各点在同一时刻的温度趋物体内部各点在同一时刻的温度趋于一致于一致v温度

26、场与空间位置无关，只是时间温度场与空间位置无关，只是时间的单值函数的单值函数集总热容系统集总热容系统 第第4章章 非稳态导热的分析与计算非稳态导热的分析与计算4.2 对流边界条件下的一维非稳态导热对流边界条件下的一维非稳态导热Fo数和数和Bi数数的意义及对非稳态过程的影响的意义及对非稳态过程的影响 1hBih v当当Bi0时，时， /t），表面传热系数为），表面传热系数为h，且保持不变，且保持不变v试分析物体的温度随时间的变化规律试分析物体的温度随时间的变化规律第第4章章 非稳态导热的分析与计算非稳态导热的分析与计算4.3 集总热容系统集总热容系统物理和数学模型物理和数学模型v物理模型：物理模

27、型：集总热容系统集总热容系统vBi0 ：物体的物体的导热系数非常大、导热系数非常大、物体的物体的几何尺寸小、几何尺寸小、流体与物体的流体与物体的表面传热系数非常小表面传热系数非常小第第4章章 非稳态导热的分析与计算非稳态导热的分析与计算4.3 集总热容系统集总热容系统物理和数学模型物理和数学模型ihlBv集总热容系统的控制方程：集总热容系统的控制方程：v基于导热微分方程的方法：基于导热微分方程的方法：将物体与环境间的换将物体与环境间的换热量视为虚拟热源热量视为虚拟热源，代入导热微分方程，代入导热微分方程v基于能量守恒的方法。基于能量守恒的方法。物理概念清楚、容易理解物理概念清楚、容易理解第第4

28、章章 非稳态导热的分析与计算非稳态导热的分析与计算4.3 集总热容系统集总热容系统物理和数学模型物理和数学模型v将整个物体作为控制容积将整个物体作为控制容积 v无源时，物体在冷却过程中满足的能量守恒关系为：无源时，物体在冷却过程中满足的能量守恒关系为：第第4章章 非稳态导热的分析与计算非稳态导热的分析与计算4.3 集总热容系统集总热容系统物理和数学模型物理和数学模型ingoutsEoutsEv物体表面以对流传热方式散失的热量全部来自于其内物体表面以对流传热方式散失的热量全部来自于其内能的减少能的减少第第4章章 非稳态导热的分析与计算非稳态导热的分析与计算4.3 集总热容系统集总热容系统物理和数

29、学模型物理和数学模型损失热量损失热量: :outhA tt物体内能的增加速率为物体内能的增加速率为ddstEVcddthA ttcV outsE第第4章章 非稳态导热的分析与计算非稳态导热的分析与计算4.3 集总热容系统集总热容系统物理和数学模型物理和数学模型ddthA ttcV 或或d0dthAttcV初始条件为：初始条件为：00tt非齐次方程非齐次方程集总热集总热容系统容系统的数学的数学模型模型v引入过余温度引入过余温度=t- -t 第第4章章 非稳态导热的分析与计算非稳态导热的分析与计算4.3 集总热容系统集总热容系统求解与分析求解与分析ddhAcV 000tt分离变量积分分离变量积分:

30、 :00ddhAcV第第4章章 非稳态导热的分析与计算非稳态导热的分析与计算4.3 集总热容系统集总热容系统求解与分析求解与分析集总热容系统的温度变化规律：集总热容系统的温度变化规律：00exptthAttVc特点：特点：在在开始阶段温度变化很快开始阶段温度变化很快；随时间的延续，温度随时间的延续，温度变化幅度逐渐减小变化幅度逐渐减小，直到最后的，直到最后的稳定状态稳定状态 特点：过余温度随时间特点：过余温度随时间按负指数函数规律变化按负指数函数规律变化第第4章章 非稳态导热的分析与计算非稳态导热的分析与计算4.3 集总热容系统集总热容系统求解与分析求解与分析集总热容系统中物体温度的变化规律集

31、总热容系统中物体温度的变化规律 第第4章章 非稳态导热的分析与计算非稳态导热的分析与计算4.3 集总热容系统集总热容系统求解与分析求解与分析00exptthAttVccV hA具有时间的量纲具有时间的量纲 当当 时时VchAcV hA10036.8%ttett 将将 称为称为时间常数时间常数(time constant)，记为，记为c 第第4章章 非稳态导热的分析与计算非稳态导热的分析与计算4.3 集总热容系统集总热容系统求解与分析求解与分析10036.8%ttett当当=c时，物体的时，物体的过余温度已经下降到初始过余温度的过余温度已经下降到初始过余温度的36.8第第4章章 非稳态导热的分析

32、与计算非稳态导热的分析与计算4.3 集总热容系统集总热容系统求解与分析求解与分析10036.8%ttett非稳态导热过程非稳态导热过程已经进行到全程的已经进行到全程的63.2，离最终离最终的平衡状态还差的平衡状态还差36.8的进程的进程第第4章章 非稳态导热的分析与计算非稳态导热的分析与计算4.3 集总热容系统集总热容系统求解与分析求解与分析10036.8%ttett时间常数：时间常数：反映了物体对环境温度的瞬间变化做出反应反映了物体对环境温度的瞬间变化做出反应的快慢程度的快慢程度 c越小，表明系统越小，表明系统对温度变化的反应越快对温度变化的反应越快温度响应温度响应（temperature

33、response） 第第4章章 非稳态导热的分析与计算非稳态导热的分析与计算4.3 集总热容系统集总热容系统求解与分析求解与分析 热电偶的时间常数：热电偶的时间常数：自身的几何参数自身的几何参数(V/A)、物性参物性参数数(c)、热电偶与外界的换热条件热电偶与外界的换热条件h 时间常数对热电偶的重要性：时间常数对热电偶的重要性：反应了热电偶对流体反应了热电偶对流体温度变化相应快慢的指标温度变化相应快慢的指标 时间常数越小，热电偶的反应越灵敏时间常数越小，热电偶的反应越灵敏第第4章章 非稳态导热的分析与计算非稳态导热的分析与计算4.3 集总热容系统集总热容系统求解与分析求解与分析00exptth

34、AttVchAcV式中，式中，lc为特征长度，为特征长度，lc=V/Ac2chl al2h V Ac V ABiFo0expBi Fo 无量纲化表示方法无量纲化表示方法: 上节课上节课v非稳态的分类非稳态的分类v非稳态问题的研究目的非稳态问题的研究目的v对称加热平壁的一维非稳态导热：定性描述对称加热平壁的一维非稳态导热：定性描述v吸收与导热综合作用的结果吸收与导热综合作用的结果v吸收：物体温度升高、传热的热量减少吸收：物体温度升高、传热的热量减少v导热：物体的温度发生变化，热量的影响范围扩大导热：物体的温度发生变化，热量的影响范围扩大上节课上节课v对称加热平壁的一维非稳态导热对称加热平壁的一维

35、非稳态导热v数学模型数学模型v级数解的特点：计算方法、正规状况阶段级数解的特点：计算方法、正规状况阶段vFo、Bi数的意义，数的意义，Bi数对温度分布的影响数对温度分布的影响上节课上节课v集总热容系统集总热容系统v温度分布的特点温度分布的特点v数学模型数学模型v温度分布温度分布00exptthAttVc第第4章章 非稳态导热的分析与计算非稳态导热的分析与计算4.3 集总热容系统集总热容系统求解与分析求解与分析 任意时刻的任意时刻的（瞬时）热流量：（瞬时）热流量：0exphAhA tthAcV 从初始时刻开始的某时间段的从初始时刻开始的某时间段的换热量换热量：00dQ01 exphAcVcVv集

36、总参数分析法：集总参数分析法：简化和近似方法简化和近似方法v使用的条件：只要满足使用的条件：只要满足 第第4章章 非稳态导热的分析与计算非稳态导热的分析与计算4.3 集总热容系统集总热容系统集总参数分析法的适用条件集总参数分析法的适用条件0.1chlBiM温度场的温度场的误差不会超过误差不会超过5%vLc：特征尺寸，：特征尺寸，lc=V/AvM：与物体几何形状有关的：与物体几何形状有关的量纲一的量量纲一的量v厚厚2且对称加热或冷却的且对称加热或冷却的无限大平壁无限大平壁，M=1v无限长无限长圆柱体或正方形长柱体圆柱体或正方形长柱体，M=1/2v球体或正方体球体或正方体，M=1/3v其他各种不规

37、则形状的物体其他各种不规则形状的物体，近似按与之相当的，近似按与之相当的圆柱体或球体来考虑圆柱体或球体来考虑 第第4章章 非稳态导热的分析与计算非稳态导热的分析与计算4.3 集总热容系统集总热容系统集总参数分析法的适用条件集总参数分析法的适用条件MhlBci1 . 0第第4章章 非稳态导热的分析与计算非稳态导热的分析与计算4.3 集总热容系统集总热容系统集总参数分析法的适用条件集总参数分析法的适用条件 适用条件适用条件可放宽到可放宽到0.1chlBi 原因：原因： 对流传热表面传热系数计算中约对流传热表面传热系数计算中约2025的的误差误差 许多形状复杂的问题无法得到分析解许多形状复杂的问题无

38、法得到分析解v用水银温度计测量管道中原油温度用水银温度计测量管道中原油温度v温度计水银泡呈圆柱形，长温度计水银泡呈圆柱形，长20mm，直径为，直径为6mm，初始，初始温度为温度为 t0 ，设水银泡同原油间对流传热的表面传热系，设水银泡同原油间对流传热的表面传热系数为数为42W/(m2 K) v试计算温度计的时间常数，并确定插入试计算温度计的时间常数，并确定插入2分钟后温度计分钟后温度计读数的过余温度为初始过余温度的百分之几？读数的过余温度为初始过余温度的百分之几？v水银：水银：c=0.138kJ/(kg K)，=13110 kg/m3，=10.4 W/(m K)第第4章章 非稳态导热的分析与计

39、算非稳态导热的分析与计算4.3 集总热容系统集总热容系统集总参数分析法的适用条件集总参数分析法的适用条件v分析：分析：v（1）所求：时间常数、）所求：时间常数、2分钟时的温度，均与时间有分钟时的温度，均与时间有关关非稳态问题非稳态问题v（2）研究对象：读数变化是水银受热后体积变化的结）研究对象：读数变化是水银受热后体积变化的结果，果，取水银为研究对象取水银为研究对象v（3）温度计感温泡较小，可考虑）温度计感温泡较小，可考虑忽略空间影响忽略空间影响v物理模型：物理模型：集总热容系统集总热容系统第第4章章 非稳态导热的分析与计算非稳态导热的分析与计算4.3 集总热容系统集总热容系统集总参数分析法的

40、适用条件集总参数分析法的适用条件v解：解：首先检验是否可用集总参数分析法首先检验是否可用集总参数分析法v计算特征尺寸：计算特征尺寸： 第第4章章 非稳态导热的分析与计算非稳态导热的分析与计算4.3 集总热容系统集总热容系统集总参数分析法的适用条件集总参数分析法的适用条件v集总热容系统模型成立集总热容系统模型成立VA3342 1.39 105.61 100.10.0510.4h V ABiM30.003 0.021.39 1022 0.020.003RllR222R lRlRv2分钟后，温度计读数的过余温度是初始过余温度的分钟后，温度计读数的过余温度是初始过余温度的13.5%第第4章章 非稳态导

41、热的分析与计算非稳态导热的分析与计算4.3 集总热容系统集总热容系统集总参数分析法的适用条件集总参数分析法的适用条件313110 138 1.39 1059.87542ccVhA02 60expexp0.13559.875c时间常数：时间常数：sv讨论：讨论：v（1）水银温度计可用于测量稳态过程中流体的温度）水银温度计可用于测量稳态过程中流体的温度v（2）对非稳态流体温度场的测定响应差）对非稳态流体温度场的测定响应差v（3）直径很小的热电偶（如）直径很小的热电偶（如d=0.05mm）是常见的用）是常见的用于动态测量的感温元件于动态测量的感温元件第第4章章 非稳态导热的分析与计算非稳态导热的分析

42、与计算4.3 集总热容系统集总热容系统集总参数分析法的适用条件集总参数分析法的适用条件第第4章章 非稳态导热的分析与计算非稳态导热的分析与计算 4.4 半无限大物体的非稳态导热半无限大物体的非稳态导热v几何上：半无限大物体几何上：半无限大物体是从某一界面开始向内部无限是从某一界面开始向内部无限延伸的物体延伸的物体第第4章章 非稳态导热的分析与计算非稳态导热的分析与计算 4.4 半无限大物体的非稳态导热半无限大物体的非稳态导热v现实中不存在现实中不存在v传热学中的传热学中的“半无限大半无限大”：物理上的物理上的v几何上有限厚度的物体在一几何上有限厚度的物体在一定条件下也视为半无限大定条件下也视为

43、半无限大第第4章章 非稳态导热的分析与计算非稳态导热的分析与计算 4.4 半无限大物体的非稳态导热半无限大物体的非稳态导热v应用背景应用背景v高寒地区的供水管线的设计高寒地区的供水管线的设计v海上钻井平台需考虑水面结冰的速率和深度海上钻井平台需考虑水面结冰的速率和深度v生物医学中，需要估算出在给定的表面灼伤温度生物医学中，需要估算出在给定的表面灼伤温度下对皮肤下的活组织造成损伤的时间下对皮肤下的活组织造成损伤的时间v注热流体加热油层时，由油层的顶端或底端向地注热流体加热油层时，由油层的顶端或底端向地层散失热量的过程层散失热量的过程第第4章章 非稳态导热的分析与计算非稳态导热的分析与计算 4.4

44、 半无限大物体的非稳态导热半无限大物体的非稳态导热v问题的描述：问题的描述：v常物性、无内热源常物性、无内热源v初始温度均匀初始温度均匀 t0v初始时刻初始时刻x=0的表面突的表面突然受到热扰动，温度变化为然受到热扰动，温度变化为 tw 并维持不变并维持不变v分析物体内的温度变化规律分析物体内的温度变化规律第第4章章 非稳态导热的分析与计算非稳态导热的分析与计算 4.4 半无限大物体的非稳态导热半无限大物体的非稳态导热v物理模型：物理模型：第一类边界下、常物性、无内热源半无限大第一类边界下、常物性、无内热源半无限大物体内的一维非稳态导热问题物体内的一维非稳态导热问题00,0t xt22ttax

45、w00,xtt0,xt xt 第第4章章 非稳态导热的分析与计算非稳态导热的分析与计算 4.4 半无限大物体的非稳态导热半无限大物体的非稳态导热00,0 x22ax00,0 x0,xx 引入引入过余温度过余温度:wtt00,0t xt22ttaxw00,xtt0,xt xt 第第4章章 非稳态导热的分析与计算非稳态导热的分析与计算 4.4 半无限大物体的非稳态导热半无限大物体的非稳态导热2w4000w2expdxatttt温度分布温度分布:误差函数误差函数w00werf2ttxtta第第4章章 非稳态导热的分析与计算非稳态导热的分析与计算 4.4 半无限大物体的非稳态导热半无限大物体的非稳态导

46、热w00werf2ttxtta erf第第4章章 非稳态导热的分析与计算非稳态导热的分析与计算 4.4 半无限大物体的非稳态导热半无限大物体的非稳态导热v说明：说明：v1）热扰动的传播速度是无限的热扰动的传播速度是无限的 v当当时，时，erf 1。当。当为有限大小时，为有限大小时， erf 值总值总小于小于1w00werf2ttxtta第第4章章 非稳态导热的分析与计算非稳态导热的分析与计算 4.4 半无限大物体的非稳态导热半无限大物体的非稳态导热v说明：说明：v2）公式的作用：）公式的作用：v给出半无限大内物体的温度场给出半无限大内物体的温度场v确定确定加热时间与加热深度加热时间与加热深度w

47、00werf2ttxtta第第4章章 非稳态导热的分析与计算非稳态导热的分析与计算 4.4 半无限大物体的非稳态导热半无限大物体的非稳态导热w00w0.99531tttt22xa当当 时时意味着：意味着：可以认为可以认为 时刻物体内时刻物体内 x 位置仍维持初始温度位置仍维持初始温度w00werf2ttxtta第第4章章 非稳态导热的分析与计算非稳态导热的分析与计算 4.4 半无限大物体的非稳态导热半无限大物体的非稳态导热22xav几何上：时刻几何上：时刻 时，时，x处的温度尚未发生变化处的温度尚未发生变化v穿透深度穿透深度x ：在在 xx的区域内物体仍维持初始温度的区域内物体仍维持初始温度4

48、xa由由第第4章章 非稳态导热的分析与计算非稳态导热的分析与计算 4.4 半无限大物体的非稳态导热半无限大物体的非稳态导热22xav温度扰动达到温度扰动达到 x 位置处所需的时间位置处所需的时间xv在在x 时，时，x 处的温度维持初始温度处的温度维持初始温度v将将x 称为称为穿透时间、惰性时间穿透时间、惰性时间216xxa由由v由穿透深度或穿透时间，可判断物体内的非稳态导热由穿透深度或穿透时间，可判断物体内的非稳态导热是否可以按半无限大模型进行处理是否可以按半无限大模型进行处理 第第4章章 非稳态导热的分析与计算非稳态导热的分析与计算 4.4 半无限大物体的非稳态导热半无限大物体的非稳态导热位

49、置处的热流密度：位置处的热流密度：2w0exp4xtttxqxaa 边界面上的热流密度：边界面上的热流密度：w0wttqa第第4章章 非稳态导热的分析与计算非稳态导热的分析与计算 4.4 半无限大物体的非稳态导热半无限大物体的非稳态导热 在在0, 时间段内的总热流量为：时间段内的总热流量为：吸热系数吸热系数w0w00dd ttQAqAaw02Actt 第第4章章 非稳态导热的分析与计算非稳态导热的分析与计算 4.4 半无限大物体的非稳态导热半无限大物体的非稳态导热 表面为第二类边界条件：表面为第二类边界条件：2002,experfc42qq xaxxt xaa 表面为第三类边界条件：表面为第三

50、类边界条件：2020,erfcexperfc22t xtxhxh axh attaaerfc(x)=1- -erf(x) 称为称为余误差函数余误差函数v井筒：是联系地面与油层的通道井筒：是联系地面与油层的通道v流体温度的变化规律始终是石油工程所关注的问题流体温度的变化规律始终是石油工程所关注的问题v流体温度变化：流体温度变化：源自地层加热或冷却作用源自地层加热或冷却作用 v钻井工程、注蒸汽开发稠油、采油工程、地热开发等钻井工程、注蒸汽开发稠油、采油工程、地热开发等第第4章章 非稳态导热的分析与计算非稳态导热的分析与计算4.5井筒周围地层内的非稳态导热井筒周围地层内的非稳态导热工程背景工程背景v

51、计算目的：计算目的：确定井筒内确定井筒内流体温度沿井深的变化规律流体温度沿井深的变化规律v计算关键：计算关键：井筒内井筒内流体与地层之间的传热量流体与地层之间的传热量v计算困难：计算困难：工艺不同工艺不同，井筒，井筒结构不同结构不同，井筒内流体与，井筒内流体与地层之间的地层之间的热量传递过程中涉及到的热量传递方式和热量传递过程中涉及到的热量传递方式和环节也不尽相同环节也不尽相同v直接研究井筒内流体与地层间的热量传递过程直接研究井筒内流体与地层间的热量传递过程有困难有困难 第第4章章 非稳态导热的分析与计算非稳态导热的分析与计算4.5 井筒周围地层内的非稳态导热井筒周围地层内的非稳态导热工程背景

52、工程背景v简化处理：简化处理：v地层内的热量传递过程地层内的热量传递过程（简称（简称“地层内地层内”），），导导热热v井筒内的热量传递过程井筒内的热量传递过程（简称（简称“井筒内井筒内”），与），与具体工艺过程有关具体工艺过程有关第第4章章 非稳态导热的分析与计算非稳态导热的分析与计算4.5 井筒周围地层内的非稳态导热井筒周围地层内的非稳态导热工程背景工程背景v工艺不同，二者的分界面不同工艺不同，二者的分界面不同v钻井、固井等工艺中，钻井、固井等工艺中，分界面是裸露的井壁分界面是裸露的井壁v采油、注气、压裂等工艺中，采油、注气、压裂等工艺中，分界面是水泥环外分界面是水泥环外缘直径缘直径v不同工

53、艺的差别：不同工艺的差别：井筒内井筒内，地层内的热量传递过程是地层内的热量传递过程是相同的相同的第第4章章 非稳态导热的分析与计算非稳态导热的分析与计算4.5 井筒周围地层内的非稳态导热井筒周围地层内的非稳态导热工程背景工程背景v地层由致密的岩石组成，地层由致密的岩石组成，热量传递方式为导热热量传递方式为导热v地层内的导热过程复杂性：地层内的导热过程复杂性：v1）非稳态）非稳态v2）地层的）地层的非均质性非均质性v3）存在地温梯度）存在地温梯度v4）地层和井筒交界面处的）地层和井筒交界面处的边界条件难以给出边界条件难以给出 第第4章章 非稳态导热的分析与计算非稳态导热的分析与计算4.5 井筒周

54、围地层内的非稳态导热井筒周围地层内的非稳态导热物理模型物理模型v分段计算法，每小段内：分段计算法，每小段内：v1）地层是均质的）地层是均质的v2）初始温度均匀）初始温度均匀v3）忽略周向的导热忽略周向的导热v4）忽略轴向导热忽略轴向导热v5）存在内热源存在内热源 v常物性、无内热源的一维非稳态导热常物性、无内热源的一维非稳态导热第第4章章 非稳态导热的分析与计算非稳态导热的分析与计算4.5 井筒周围地层内的非稳态导热井筒周围地层内的非稳态导热物理模型物理模型v基于井筒的形状，采用基于井筒的形状，采用柱坐标系柱坐标系v以地表为坐标原点以地表为坐标原点v井筒中心线为井筒中心线为z轴，沿井筒向下为正

55、方向轴，沿井筒向下为正方向v从井筒向外为径向方向从井筒向外为径向方向第第4章章 非稳态导热的分析与计算非稳态导热的分析与计算4.5 井筒周围地层内的非稳态导热井筒周围地层内的非稳态导热数学模型与求解数学模型与求解第第4章章 非稳态导热的分析与计算非稳态导热的分析与计算4.5 井筒周围地层内的非稳态导热井筒周围地层内的非稳态导热数学模型与求解数学模型与求解ztztrrtrrrct211柱坐标系下的导热微分方程：柱坐标系下的导热微分方程： 11ttrrrra式中，式中，a 为地层热热扩散系数，为地层热热扩散系数，m2/s 第第4章章 非稳态导热的分析与计算非稳态导热的分析与计算4.5 井筒周围地层

56、内的非稳态导热井筒周围地层内的非稳态导热数学模型与求解数学模型与求解初始条件：初始条件：00zttt0z为小段中间位置处的为小段中间位置处的原始地层温度原始地层温度：0szttmz式中，式中，ts为地表处不受环境影响的温度，为地表处不受环境影响的温度，；m为地温梯为地温梯度，度，/m；z为该段中间位置处的坐标。为该段中间位置处的坐标。 第第4章章 非稳态导热的分析与计算非稳态导热的分析与计算4.5 井筒周围地层内的非稳态导热井筒周围地层内的非稳态导热数学模型与求解数学模型与求解边界条件：边界条件： 地层和井筒的交界面地层和井筒的交界面r=R处：处：2r Rlztrqr 在径向无限远处：在径向无

57、限远处：0rztt式中，式中，地层的导热系数，地层的导热系数，W/(mK)；R交界面处的交界面处的半径；半径；qlz由单位长度井筒通过交界面传给地层的热量，由单位长度井筒通过交界面传给地层的热量，W/m第第4章章 非稳态导热的分析与计算非稳态导热的分析与计算4.5 井筒周围地层内的非稳态导热井筒周围地层内的非稳态导热数学模型与求解数学模型与求解地层内非稳态导热的完整数学模型：地层内非稳态导热的完整数学模型：11ttrrrra初始条件：初始条件：00ztt边界条件：边界条件：2r Rlztrqr0rztt可采用可采用Laplace变换变换解得模型的分析解解得模型的分析解 第第4章章 非稳态导热的

58、分析与计算非稳态导热的分析与计算4.5 井筒周围地层内的非稳态导热井筒周围地层内的非稳态导热数学模型与求解数学模型与求解地层内的温度分布：地层内的温度分布：02,lzzqt rtI 其中其中 I 为为 101022220111 expda urrY u JuJu YuRRRIuuJuYu式中，式中，J0、J1为为零阶、一阶第一类贝塞尔函数零阶、一阶第一类贝塞尔函数，Y0、Y1为为零阶、一阶第二类贝塞尔函数零阶、一阶第二类贝塞尔函数第第4章章 非稳态导热的分析与计算非稳态导热的分析与计算4.5 井筒周围地层内的非稳态导热井筒周围地层内的非稳态导热数学模型与求解数学模型与求解 地层和井筒交界面处的

59、温度：地层和井筒交界面处的温度： 02,lzRzqtt RtI Rf 式中，式中， 210102220111 exp,da u RY u JuJu YuI RuuJuYu 计算关键：计算关键：是如何计算其中的积分是如何计算其中的积分I第第4章章 非稳态导热的分析与计算非稳态导热的分析与计算4.5 井筒周围地层内的非稳态导热井筒周围地层内的非稳态导热数学模型与求解数学模型与求解 210102220111 exp,da u RY u JuJu YuI RuuJuYu 解析方法难于求出积分解析方法难于求出积分 I 为便于工程计算为便于工程计算半解析法半解析法数值积分的工作量大数值积分的工作量大 半解

60、析法：根据理论分析结果，通过数据拟合得到实半解析法：根据理论分析结果，通过数据拟合得到实用计算关联式的方法用计算关联式的方法 半解析法半解析法工程上广泛采用工程上广泛采用 第第4章章 非稳态导热的分析与计算非稳态导热的分析与计算4.5 井筒周围地层内的非稳态导热井筒周围地层内的非稳态导热数学模型与求解数学模型与求解 地层和井筒交界面处的温度：地层和井筒交界面处的温度： 02,lzRzqtt RtI Rf 210102220111 exp,da u RY u JuJu YuI RuuJuYu定义：定义：tD为无量纲温度；为无量纲温度；D为无量纲时间为无量纲时间1D02lzRzqtttD2aR第第