第3章 随机过程

1、22:511回顾回顾 随机过程的基本概念随机过程的基本概念角度角度1：对应不同随机试验结果的时间过程的集合：对应不同随机试验结果的时间过程的集合. (t) = 1 (t), 2 (t), , n (t)是全部样本函数的集合是全部样本函数的集合。角度角度2：随机过程是随机变量概念的延伸。：随机过程是随机变量概念的延伸。随机过程是随机过程是在时间进程中处于不同时刻的在时间进程中处于不同时刻的随机变量随机变量的集合的集合。随机过程在任意随机过程在任意时刻的值是一个时刻的值是一个随机变量。随机变量。22:512回顾回顾 随机过程的数字特征随机过程的数字特征u均值（数学期望）均值（数学期望）表示随机过程

2、的表示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心。个样本函数曲线的摆动中心。积分是对积分是对x进行的，表示进行的，表示t 时刻各个样本的均值，不同时刻各个样本的均值，不同时刻时刻t的均值构成摆动中心。的均值构成摆动中心。u方差方差表示随机过程在表示随机过程在t时刻对于均值时刻对于均值a(t)的偏离程度。等于的偏离程度。等于均方值与均值平方之差。均方值与均值平方之差。1( )( , )( )Etxf x t dxa t2222 ( ) ( )( )( ) ( )( )DtEta tEta tt22:513第第3章章 随机过程随机过程u相关函数和协方差函数相关函数和协方差函数反映随机过程在任意两个时刻上

3、获得的随机变量之间的反映随机过程在任意两个时刻上获得的随机变量之间的关联程度。关联程度。u自相关函数和自协方差函数之间的关系自相关函数和自协方差函数之间的关系u互相关函数：将相关函数的概念引伸到两个随机过程互相关函数：将相关函数的概念引伸到两个随机过程 1212122121212( ,) ( ) ( )(,; ,)R t tEttx x fx x t tdx dx 121122( ,) ( )( ) ( )( )B t tEta tta t)()(),(),(212121tatattRttB1212( , )( ) ( )xhxh=Rt tEtt12122112( ) ( )( ) ( )(

4、) ( )( ) ( )Etta tta tta t a t22:514回顾回顾严（狭义）平稳随机过程严（狭义）平稳随机过程 性质性质12121212( , , )( ,)nnnnnnfx xxt ttfx xxttt；11111( , )( )f x tf x21212212( ,; , )( ,; )fx x t tfx x 数字特征数字特征判断随机过程的平稳性。判断随机过程的平稳性。定义广义定义广义( (宽宽) )平稳随机过程，简称平稳过程。平稳随机过程，简称平稳过程。1 111( )( )Etx f x dxa12( , )( )R t tR 各态历经性各态历经性 时间平均时间平均=

5、=统计平均统计平均)()(RRaa22:515回顾回顾平稳过程平稳过程的自相关函数的自相关函数2(0)( )( )REtt的平均功率( )()RR 的偶函数( )(0)( )RRR的上界22( ) ( )( )REtat 的直流功率222(0)( )( )( )RREtat 的交流功率 平稳过程的功率谱密度平稳过程的功率谱密度(维纳维纳-辛钦关系辛钦关系) 各态历经过程的任一样本的功率谱密度等于过程的各态历经过程的任一样本的功率谱密度等于过程的功率谱密度。功率谱密度。)()(fPR22:51610ffH- fH( f )P( f )典型例题1.随机过程随机过程 (t)的功率谱密度如图的功率谱密

6、度如图试求：试求：自相关函数自相关函数R()； 直流功率；直流功率； 交流功率。交流功率。解：由图可知，该功率谱密度表达式为解：由图可知，该功率谱密度表达式为)21()()(的三角形，宽为高为HfffP)( )(1 )()(2HHfSafffPR)(1)(2HHfSafR 11)()0(1)(2交流功率直流功率HHffRRR22:517典型例题2.设设s(t)是一个平稳随机脉冲序列，其功率谱密度为是一个平稳随机脉冲序列，其功率谱密度为Ps(f),求已调信号求已调信号e(t)= s(t) cosct 的功率谱密度的功率谱密度Pe(f)。解：解：)(cos)(cos)()(ttsttsERccec

7、tstsEcos21)()(csRcos)(21)(41ccjjseeR)()(41)( cscseffPffPfP22:518第第3章章 随机过程随机过程 3.3 高斯随机过程（正态随机过程）高斯随机过程（正态随机过程） 3.3.1 定义定义u如果随机过程如果随机过程 (t)的任意的任意n维（维（n =1,2,.）分布均服）分布均服从正态分布，则称它为正态过程或高斯过程。从正态分布，则称它为正态过程或高斯过程。u n维正态概率密度函数表示式为：维正态概率密度函数表示式为：式中式中 njnkkkkjjjjknnnnnaxaxBBBtttxxxf112/ 1212/2121)(21exp.)2(

8、1),.,.,(；22)(),(kkkkkatEtEa22:519第第3章章 随机过程随机过程 |B| 归一化协方差矩阵的行列式，即归一化协方差矩阵的行列式，即 |B|jk 行列式行列式|B|中元素中元素bjk的代数余因子的代数余因子 bjk 为归一化协方差函数，即为归一化协方差函数，即 11121221112nnnnbbbbbbB kjkkjjjkatatEb)()(22:5110第第3章章 随机过程随机过程 3.3.2 重要性质重要性质u对于高斯过程，只需要研究它的数字特征。对于高斯过程，只需要研究它的数字特征。 由高斯过程的定义式可以看出，高斯过程的由高斯过程的定义式可以看出，高斯过程的

9、n维分维分布只依赖各个随机变量的布只依赖各个随机变量的均值、方差和归一化协方差均值、方差和归一化协方差。u广义平稳的高斯过程也是严平稳的。广义平稳的高斯过程也是严平稳的。 因为，若高斯过程是广义平稳的，即其均值与时间因为，若高斯过程是广义平稳的，即其均值与时间无关，协方差函数只与时间间隔有关，而与时间起点无无关，协方差函数只与时间间隔有关，而与时间起点无关，则它的关，则它的n维分布也与时间起点无关，故它也是严平维分布也与时间起点无关，故它也是严平稳的。所以，高斯过程若是广义平稳的，则也严平稳。稳的。所以，高斯过程若是广义平稳的，则也严平稳。22:5111第第3章章 随机过程随机过程u如果高斯过

10、程在不同时刻的取值是不相关的，那么它们如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，那么它们也是统计独立的。也是统计独立的。 如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，即对如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，即对所有所有j k，有，有bjk =0，则其概率密度可以简化为，则其概率密度可以简化为u高斯过程经过线性变换后的过程仍是高斯过程。高斯过程经过线性变换后的过程仍是高斯过程。即若线即若线性系统的输入为高斯过程，则系统输出也是高斯过程。性系统的输入为高斯过程，则系统输出也是高斯过程。u若干个高斯过程的代数和的过程仍是高斯型。若干个高斯过程的代数和的过程仍是高斯型。),.,;,.,(2121nnnt

11、ttxxxfnax1k2k2kkk2)(exp211122( , )(, ) .(, )nnf x tf x tf x tnjnkkkkjjjjknnnnnaxaxBBBtttxxxf112/ 1212/2121)(21exp.)2(1),.,.,(；22:5112第第3章章 随机过程随机过程 3.3.3 高斯随机变量高斯随机变量u定义定义： 高斯过程在任一时刻上的取值是一个正态分布的高斯过程在任一时刻上的取值是一个正态分布的随机变量，也称高斯随机变量，其一维概率密度函数随机变量，也称高斯随机变量，其一维概率密度函数为为 为底的指数函数以常量方差均值eaaxxfexpexp222221均值均值

12、a处，出现的概率最大。处，出现的概率最大。22:5113第第3章章 随机过程随机过程u性质性质f (x)对称于直线对称于直线 x = a，即，即a表示分布中心，表示分布中心， 称为标准偏差，表示集中程度，称为标准偏差，表示集中程度，图形将随着图形将随着 的减小而变高和变窄。的减小而变高和变窄。若若a = 0, = 1，称为标准化正态分布：，称为标准化正态分布：max1 ()2f axf axfxa1)(dxxfaadxxfdxxf21)()(21( )exp22xf x22:5114第第3章章 随机过程随机过程u正态分布函数正态分布函数（正态分布的概率密度（正态分布的概率密度f (x)的积分）

13、的积分） 这个积分的值无法用闭合形式计算，通常利用其他这个积分的值无法用闭合形式计算，通常利用其他特殊函数，用查表的方法求出：特殊函数，用查表的方法求出：p用误差函数用误差函数erf (x)表示表示： 误差函数，可以查表求出其值。误差函数，可以查表求出其值。令令 则有则有 及及 221()( )()exp22xzaF xPxdz2/ )(aztdtdz2202( )xterf xedt2()/ 21211( )()2222x atxaF xedterf22:5115第第3章章 随机过程随机过程 误差函数是自变量的递增函数，且有误差函数是自变量的递增函数，且有 erf(0)=0，erf()=1，

14、erf(-x)=-erf(x)p用互补误差函数用互补误差函数erfc(x)表示表示： 式中式中 互补误差函数是自变量的递减函数，且有互补误差函数是自变量的递减函数，且有erfc(0)=1，erfc()=0，erfc(-x)=2-erfc(x)。 当当x 2时，时，2211)(axerfcxF22( )1( )txerfc xerf xedt 21( ) (3.314)xerfc xex202( )xterf xedt22:5116第第3章章 随机过程随机过程p用用Q函数表示函数表示：Q函数定义：函数定义：Q函数和函数和erfc函数的关系：函数的关系：Q函数和正态分布函数函数和正态分布函数F(x

15、)的关系：的关系：Q(-x)=1- Q(x)，x0；Q(0)=1/2， Q()=0。2/21( ) 02txQ xedtx221)(xerfcxQ)2(2)(xQxerfcaxQaxerfcxF12211)(xtdtexerfc22)(22:5117第第3章章 随机过程随机过程3.4 平稳随机过程通过线性系统平稳随机过程通过线性系统n确知信号通过线性系统确知信号通过线性系统（复习）（复习） ： 线性时不变系统可由其单位冲激响应线性时不变系统可由其单位冲激响应h(t)或其频率或其频率响应响应H(f)表征。输入与输出关系可以表示成卷积表征。输入与输出关系可以表示成卷积式中式中 vi 输入信号，输入

16、信号， vo 输出信号输出信号对应的傅里叶变换关系：对应的傅里叶变换关系： ( )( )( )( ) ()( )( )( )( ) ()oiioiiv tv th tvh tdv th tv thv td或 ()()()oiVfHf Vf22:5118第第3章章 随机过程随机过程n随机信号通过线性系统：随机信号通过线性系统： 把把vi(t)看作是输入随机过程的一个样本，看作是输入随机过程的一个样本，vo(t)看作输看作输出随机过程的一个样本。当线性系统输入端加入一个随出随机过程的一个样本。当线性系统输入端加入一个随机过程机过程 i(t) 时，对于时，对于 i(t) 的每个样本的每个样本vi,n

17、(t),n=1,2,，系，系统输出都有一个统输出都有一个vo,n(t),n=1,2,与其相对应，而所有与其相对应，而所有vo,n(t),n=1,2,的集合构成输出随机过程的集合构成输出随机过程 o(t) ，因此，因此u假设：假设： i(t) 输入的平稳随机过程，输入的平稳随机过程， a 均值，均值，Ri( ) 自相关函数，自相关函数， Pi( ) 功率谱密度；功率谱密度；求输出过程求输出过程 o(t)的统计特性（均值、自相关函数、功率的统计特性（均值、自相关函数、功率谱以及概率分布）。谱以及概率分布）。( )( ) ()oithtd 22:5119第第3章章 随机过程随机过程u输出过程输出过程

18、 o(t)的均值的均值 对对 o(t)两边取统计平均，得到两边取统计平均，得到因为假设输入过程是平稳的因为假设输入过程是平稳的 ，则有，则有 式中，式中，H(0)是线性系统在是线性系统在 f = 0处的频率响应，即处的频率响应，即直流增益。因此直流增益。因此输出过程的均值是一个常数输出过程的均值是一个常数。( )( ) ()oithtd ( )( ) ()( ) ()oiiEtEhtdhEtd atEtEii)()( )( )(0)oEtahda H22:5120第第3章章 随机过程随机过程u输出过程输出过程 o(t)的自相关函数的自相关函数根据输入过程的平稳性，有根据输入过程的平稳性，有于是

19、于是 即即输出过程的自相关函数仅仅是时间间隔输出过程的自相关函数仅仅是时间间隔 的函数的函数。 可见，可见，若线性系统的输入是平稳的，则输出也是平稳的。若线性系统的输入是平稳的，则输出也是平稳的。 11111111( ,)( )() ( ) ()( ) () ( ) ( ) () ()oooiiiiR t tEttEhtdhtdhhEttd d )()()(11iiiRttE11( ,)( ) ( )()( )oioR t thhRd dR ( )( ) ()oithtd 22:5121第第3章章 随机过程随机过程u输出过程输出过程 o(t)的功率谱密度的功率谱密度对上式进行傅里叶变换：对上式

20、进行傅里叶变换：令令 = + ，代入上式，得到，代入上式，得到即即11( ,)( ) ( )()( )oioR t thhRd dR ( )( )jooP fReddeddRhhji)()()( ( )( )( )( )jjjoiPfhedhedRed2( )( )( )( )( )( )oiiP fHfH fP fH fP f结论：结论：输出过程的功率谱密度是输入过程的功率谱密度乘输出过程的功率谱密度是输入过程的功率谱密度乘以系统频率响应模值的平方。以系统频率响应模值的平方。应用：应用：由由Po( f )的反傅里叶变换求的反傅里叶变换求Ro( ) 22:5122第第3章章 随机过程随机过程u

21、 输出过程输出过程 o(t)的概率分布的概率分布p如果线性系统的输入过程是高斯型的，则系统的输出过程也是如果线性系统的输入过程是高斯型的，则系统的输出过程也是高斯型的。高斯型的。 因为从积分原理看，因为从积分原理看，可表示为一个和式的极限：可表示为一个和式的极限： 由于已假设由于已假设 i(t)是高斯型的，所以上式右端的每一项在任一时是高斯型的，所以上式右端的每一项在任一时刻上都是一个高斯随机变量。因此，输出过程在任一时刻上得到刻上都是一个高斯随机变量。因此，输出过程在任一时刻上得到的随机变量就是这无限多个高斯随机变量之和。由概率论理论得的随机变量就是这无限多个高斯随机变量之和。由概率论理论得

22、知，这个知，这个“和和” 也是高斯随机变量，因而输出过程也为高斯过程。也是高斯随机变量，因而输出过程也为高斯过程。注意，与输入高斯过程相比，注意，与输入高斯过程相比，输出过程的数字特征已经改变了。输出过程的数字特征已经改变了。更一般地说，更一般地说，高斯过程经线性变换后的过程仍为高斯过程。高斯过程经线性变换后的过程仍为高斯过程。00( )lim() ()koikkkktth( )( ) ()oithtd ( )( ) ()oithtd 22:5123第第3章章 随机过程随机过程 3.5 窄带随机过程窄带随机过程 n什么是窄带随机过程？什么是窄带随机过程？ 若随机过程若随机过程 (t)的谱密度集

23、中在中心频率的谱密度集中在中心频率fc附近附近相对窄的频带范围相对窄的频带范围 f （带宽）内，且中心频率（带宽）内，且中心频率 fc 远远离零频率，即离零频率，即 则称该则称该 (t)为窄带随机过程。为窄带随机过程。 实际中，大多数通信系统都是窄带带通型，实际中，大多数通信系统都是窄带带通型，通通过窄带系统的信号或噪声必然是窄带随机过程过窄带系统的信号或噪声必然是窄带随机过程。 0ccfff 22:5124第第3章章 随机过程随机过程n典型的窄带随机过程的谱密度和样本函数典型的窄带随机过程的谱密度和样本函数 0ccfff 窄带随机过窄带随机过程的一个样程的一个样本的波形，本的波形，如同一个如

24、同一个包包络和相位随络和相位随机缓变机缓变的正的正弦波。弦波。频率频率不是随机的。不是随机的。22:5125第第3章章 随机过程随机过程n窄带随机过程的表示式窄带随机过程的表示式u包络包络相位形式相位形式 式中，式中，a(t) 窄带随机过程的随机包络窄带随机过程的随机包络 (t) 窄带随机过程的随机相位窄带随机过程的随机相位 c 正弦波的中心角频率正弦波的中心角频率 显然，显然， a(t)和和 (t)的变化相对于载波的变化相对于载波cos ct的变的变化要缓慢得多。化要缓慢得多。( )( )cos( ),( )0cta ttta t22:5126第第3章章 随机过程随机过程u同相同相正交形式正

25、交形式将窄带随机过程表示式进行三角函数展开，得到其等价式将窄带随机过程表示式进行三角函数展开，得到其等价式式中式中 (t)的的同相分量同相分量 (t)的的正交分量正交分量 可以看出：可以看出： (t)的统计特性由的统计特性由a(t)和和 (t)或或 c(t)和和 s(t)的统计特性确定。反之，若的统计特性确定。反之，若 (t)的统计特性已知，则的统计特性已知，则a(t)和和 (t)或或 c(t)和和 s(t)的统计特性也随之确定。的统计特性也随之确定。 注意：注意：窄带过程的窄带过程的a(t)和和 (t)及及 c(t)和和 s(t)都是随机缓都是随机缓变的过程，均属低通型过程。变的过程，均属低

26、通型过程。 今后均假设今后均假设 (t)是一个均值为是一个均值为0，方差为，方差为 2的的平稳高平稳高斯窄带斯窄带过程。过程。( )( )cos( )cta ttttttttcsccsin)(cos)()()(cos)()(ttatc)(sin)()(ttats22:5127第第3章章 随机过程随机过程 3.5.1 c(t)和和 s(t)的统计特性的统计特性p 数学期望数学期望：对上式求数学期望得到对上式求数学期望得到 因为因为 (t)平稳且均值为零，故对于任意的时间平稳且均值为零，故对于任意的时间t，都有都有E (t) = 0 ，所以，所以 tttttcsccsin)(cos)()( )(

27、)cos( )sinccscEtEttEtt( )0( )0csEtEt，22:5128第第3章章 随机过程随机过程p自相关函数自相关函数：式中式中(,) ( ) () ( )cos( )sin ()cos()()sin()(,)coscos()(,)cossin()(,)sincos()(,)sinsin()ccscccscccccsccscccsccR t tEttttttEttttR t tttR t tttR t tttR t ttt )()(),()()(),()()(),()()(),(ttEttRttEttRttEttRttEttRssscsscsccsccc22:5129第第3

28、章章 随机过程随机过程因为因为 (t)是平稳的，故有是平稳的，故有这就要求上式的右端与时间这就要求上式的右端与时间t无关，而仅与无关，而仅与 有关。有关。因此，若令因此，若令 t = 0，上式仍应成立，这时，上式仍应成立，这时因与时间因与时间t无关，以下二式自然成立无关，以下二式自然成立所以所以( ,) ( ) ()( ,)coscos()( ,)cossin()( ,)sincos()( ,)sinsin()ccccsccscccsccR t tEttR t tttR t tttRt tttR t tttccsccttRttRRsin),(cos),()( ,)( )R t tR( ,)(

29、) ( ,)( )cccscsR t tRRt tRccsccRRRsin)(cos)()(22:5130第第3章章 随机过程随机过程因与时间无关，再令因与时间无关，再令 t =/2 c，同理可以求得，同理可以求得 小结小结1：若窄带过程：若窄带过程 (t)是平稳的，则是平稳的，则 c(t)和和 s(t)也也必然是平稳的。必然是平稳的。( )( ,)cos( ,)sinscsccRR t tRt t ( ,) ( ) ()( ,)coscos()( ,)cossin()( ,)sincos()( ,)sinsin()ccccsccscccsccR t tEttR t tttR t tttRt

30、tttR t ttt( ,)( ) ( ,)( )ssscscR t tRRt tR22:5131第第3章章 随机过程随机过程进一步分析以下两式进一步分析以下两式应同时成立，故有应同时成立，故有小结小结2：同相分量：同相分量 c(t) 和正交分量和正交分量 s(t)具有相同的自具有相同的自相关函数。相关函数。根据互相关函数的性质，应有根据互相关函数的性质，应有代入上式，得到代入上式，得到这说明这说明Rsc( )是是 的奇函数，所以的奇函数，所以同理可证同理可证 ( )( )cos( )sin( )( )cos( )sincccscscsccRRRRRR)()(scRR)()(sccsRR)()

31、(sccsRR)()(scscRR0)0(scR0)0(csR22:5132第第3章章 随机过程随机过程将将代入下两式代入下两式得到得到同时同时小结小结3： (t) 、 c(t)和和 s(t)具有相同的平均功率或方差具有相同的平均功率或方差（因为均值为（因为均值为0）。）。 csccsRRRsin)(cos)()(ccsccRRRsin)(cos)()(0) 0(scR0) 0(csR)0()0()0(scRRR222cs22 ( ) ( )( )DtEta t)()0(2tER22:5133第第3章章 随机过程随机过程p根据平稳性，过程的特性与变量根据平稳性，过程的特性与变量t无关，故由式无关，故由式 得到得到小结小结4：因为：因为 (t)是高斯过程是高斯过程，所以，所以， c(t1)、 s(t2)一定一定是高斯随机变量，从而是高斯随机变量，从而 c(t) 、 s(t)也是高斯过程也是高斯过程。p根据根据Rcs(0)=0可知，可知， c(t) 与与 s(t)在在 = 0处互不相关，处互不相关，又由于它们是高斯型的，因此又由于它们是高斯型的，因此小结小结5： c(t) 与与 s(t)也是统计独立的也是统计独立的。 tttttc