电路原理上册三章

1、第三章 动态元件和动态电路导论引言1. 什么叫动态元件？元件电压电流关系为微分，积分关系的元件叫动态元件。2. 什么叫动态电路？ 含有动态元件的电路叫动态电路。3. 为什么要研究动态电路？实际电路中需要利用电容器、电感器等,以完成某种功能，特引入理想的电容元件和电感元件作电路模型。4. 动态电路的分析方法：动态电路分析的核心是列写动态电路的微分方程，求解微分方程得到待求变量，进而求解电路中的其他变量。基本要求 1. 掌握动态元件的VCR。2. 掌握电路微分方程的列写及求解方法。3.掌握阶跃函数，冲激函数及其在电路中的应用。4. 掌握求解电路初始值的方法。5. 深刻理解时间常数，零输入响应、零状

2、态响应和全响应，自由分量和强制分量，稳态和暂态等概念。§3-1 电容元件电容量反映电路储存电场能性质的电路参数。简称电容。线性电容用C表示。电容元件是电容器和其它储存电场能的实际部件抽象出的理想元件。电容量是联系其电荷与电压关系的参数。其电荷与电压的关系也分为线性与非线性，时变与非时变。本章仅研究时不变线性电容。一、电容元件的q - u关系(a) (b)图3-1-1 线性电容元件及其q-u特性元件如图所示q(t)=Cu(t) 或u(t)=q(t) C为常量,与电压u(t)和电荷q(t)无关的比例系数,对理想的电容器而言，由其结构、材料、介质等决定。 其q(t)，u(t)曲线如右,是一

3、条直线，与u(t)之间的夹角为，则有C = tg。二、电容元件电压电流关系（VCR）1、微分关系式设引线上的电流i(t)与u(t)为一致参考方向，则当端电压u(t)随时间而变化时，其储存的电荷q(t)也随之而变化，引线上即有传导电流通过，此电流等于q(t)对时间的变化率。 当0时, i(t)0时,电压增加，充电，电流实际方向与参考方向相同。当0时, i(t)0时,电压减小，放电，电流实际方向与参考方向相反。当=0时,有i(t)=0 以上分析说明：电容电流的存在依赖于电压是否变化，而不是电压是否存在。例如： (a) (b)图3-1-2 电容元件上电压和电流的波形人们将电容元件称为“动态元件”，就

4、因为电压变化才有电流。2、积分关系将微分式两边从（-到任意时刻t）积分。 其中u(t0)称为电容电压在t0时的初始值，是由-到t0期间积累的，t0为研究某一工作过程的初始时刻。可见u(t)是由电流在-，t区间所积累，与电流的全部历史有关。这表明电压对电流有“记忆”作用，所以电容又称为“记忆”元件。 (a) 电容的初始电压为u(0) (b) 电容的初始电压为零图3-1-3 具有初始电压u(0)的线性 电容元件及其等效模型如果令t0=0 ，即零时刻为开始研究的时间起点，则 可作出其等效电路如图3-1-3所示电容元件充放电的一个重要性质：由微分式可知：当u(t)连续变化时，为有限值。i(t)亦为有限

5、值。当u(t)跳变时，。i(t)。由积分式可知：当i(t)为有限值时，u(t)不能跳变，只能连续变化。归纳为一句话：有限的电流使电压连续变化，无限大的电流使电压发生跳变。例如下图+Ct=0u(t)i(t)uC(t)+Cu(t)uC(t)Ri(t)t=0 R限流，i为有限值； 开关合上瞬间i(t)uC(t)连续变化。 uC(t) 将发生跳变， uC(t)=u(t)(t0)三、电容元件吸收的功率和能量 t0t吸收的能量 当u(t0)=0时，即无初始电压，无初始储能，则 此式表明：电容元件在任一瞬时储存的能量与u(t)的平方成正比。§3-2 电感元件 忽略电感线圈的电阻，即忽略其耗能特性，

6、认为它仅储存磁场能量，于是可将线圈抽象为一个理想化的二端元件即电感元件。e(t)+_图3-2-1线圈中的感应电压一、复习电磁感应定律法拉弟电磁感应定律：楞次电磁感应定律：感应电动势企图产生一个感应电流，此感应电流产生的磁通去阻止原磁通的变化。表达式为 设u(t)与i(t)、e(t)为一致参考方向，均与(t)成右螺旋。有u(t)=-e(t) ，则有 当0时，u(t)0，感应电压的实际极性与参考极性相同。此感应电压相当于一个电压源，这个电压源产生的感应电流将由负极流向正极，产生一个与原磁通链相反方向的磁链，去抵消原磁通的增加，这符合楞次定律。当0时，u(t)0,感应电压的实际极性与参考极性相反。它

7、推动的电流所产生的磁通链与原磁通链相同，去补偿原磁通链的减小，这也符合楞次定率。二、线性电感的i关系 当是由线圈自己所载电流的变化而引起的。且磁链与i成右螺旋，是正比例关系，即=Li , L是常量，是单位电流产生的磁通链，它表明由电感产生磁链的能力的大小，叫做电感系数，又称自感系数，自感。 三、电感元件的电压电流关系VCR1、微分关系 当0时，u(t)0， 这个电压将阻止电流的增加；+u(t)i(t)+感应电压当0时，u(t)0， 这个电压将阻止电流的减小；当=0时，u(t)=0， 不变的电流不能引起感应电压。可见，只有变化的电流，才能产生感应电压。感应电压等效于一个电压源，如右图所示。自感元

8、件也是一个“动态元件”。反过来说，为了使时变电流流过电感元件，需在电感两端施加一个电压，去平衡感应电压。2、积分表达式 i(t)的大小与u(t)的全部历史有关，i是由u积累而成的。i(t)对u(t)具有“记忆”作用，所以电感又是一个“记忆元件”。线性电感的一个重要性质：由VCR可知：有限的电压对电感励磁，电流不会跳变；无限的电压对电感励磁，电流将发生跳变。四、功率和能量 p(t)=u(t)i(t)=L当i(t0)=0时，有 §3-3 耦合电感元件耦合电感是有磁耦合的若干电感线圈的电路模型，是多端钮的理想电路元件。耦合电感元件也分为线性与非线性，本书只讨论线性耦合电感。221222号线

9、圈i2+u222/1号线圈12111i1+u111/一、二端口耦合电感元件 对线性互感有 其中 M12与M21皆为常量，称为互感系数，可以证明 M12=M21=M，即有 由电磁感应定律 自感电压 互感电压互感电压前的符号是可正可负的。这要看互感磁通链与产生它的电流是否右螺旋而定。而是否右螺旋，又要决定于两线圈实际的电流方向，线圈的绕向，摆放的位置等因素。在工程实际中，往往不全知道这几个因素，理论分析时就不能画出这种三维图形。所以人们用同名端标注法来解决互感电压前正负号确定的难题。图3-3-1 二端口耦合电感元件(M为正)同名端标注：将耦合电感都画为平面图形，用“”，“*”,“”，“#”等符号标

10、于各电感的某一端，如图3-3-1用“· ”标注在Ll和L2的上端。同名端的意义：当两电感的电流都由同名端流进时，互感电压前取正号，否则取负号。如果把互感电压的正、负号归入互感系数M中去,则M就可正可负。对图3-3-1所示同名端“· ”，M0，（1）式可写为 如右图中的同名端“*”，则M0，（1）式可写为 M*L1L2i1i2u2+u1 注意：当i2=0时, 互感电压u2中M的正、负号将以u2的高电位端跟i1的流入端是否同名端来判断。是同名端，M取正号，否则取负号。M12*L2i2u2+*L1i1+u1L3i3u3+M13M23··二、多端口耦合电感以右图

11、三耦合电感为例，由于u1与i1,u2与i2,u3与i3皆为一致参考方向，故在未标同名端时，可写出各端口电压表达式如下：各式中的互感系数，M12,M23,M13皆可正可负，可由同名端而定。如图中所示之同名端标注，则有:M120. M230. M130作业：3-1-1；3-2-1；3-3-1；3-3-2；3-17§3-4 单位阶跃函数和单位冲激函数单位阶跃函数和单位冲激函数都属于奇异函数。应用这两个函数可以很方便地描述动态电路的激励和响应。一、单位阶跃函数定义： t=0时函数值发生跳变，其值不定，（也可定为0, 1/2 或1）定义： t=0 由t由负趋于零时的极限t=0 由t由正趋于零时

12、的极限则 t由负值趋于零时 （0-）=0t由正值趋于零时 （0）=1平移的阶跃函数（延时的阶跃函数）设t00 向右平移 向左平移01t1t（-t+t1) 单位阶跃函数的应用1、开关作用 2、截取作用：设f(t)对所有的t都有定义，则 f(t)(t)的图形为截取f (t)的t0的部分。f(t)=U0e-t(t)0tf(t)f(t)(t)0t0tf(t)=U0e-tU00tU00tf(t)t0U-U3、表达矩形脉冲0tf(t)t0U分段函数为 单个函数 二、单位冲激函数（t）定义：（t）仅存在于t=0可见（t） （t=0）平移的单位冲激函数（t-t0）（t-t0）=0 tt0 0tA(t-t1)t

13、1(A)一般冲激函数A(t-t1)单位冲激函数的采样性质同理 三、(t)与(t)的关系 0tf(t)Tk/21-Tk/20tf/(t)Tk/2-Tk/21/Tk0t1(1/Tk)·Tk=1 0t求导求导取TK 0的极限取TK 0的极限证明： 在非常短暂的时间内发生的一个巨大脉冲电流或电压可近似的当作冲激电流或冲激电压。见下图。1V+t=0i(t)uC(t)C=1F+1F（t）uC(t)=（t）i(t) uC(0-)=0 可见，开关合上后的瞬间无限大的电流对电容充电，将使电容电压发生跳跃。与电容充电相对偶的是电感励磁,见下图。ISL+uL(t)iL(t)t=0iL(t)+LuL(t)I

14、S(t)由KCL: iL(t)=IS(t)由VCR: 反过来 iL(0-)=0作业： 3-4-2；3-4-3；3-5；3-11§3-5 动态电路的输入输出方程输入作为激励的电压、电流输出作为待求的响应电压、电流单输入单输出电路仅含一个输入激励，且仅输出一个变量的电路。联系该电路输入与输出的微分方程称为单输入单输出方程，简称输入输出方程。以R.L.C串联电路为例,列出以uC为待求变量的微分方程。 由KVL: (1) (2)(2)入（1）得 （3）（3）式方程为二阶线性常系数非齐次微分方程。对任一个单输入单输出电路，应用两种约束关系可以列出2b个方程，消去不需求解的变量就可以得到输入输出

15、方程。当电路比较复杂，有多个动态元件时，列输入输出方程的过程较繁，工作量大，如教材P115中图3-5-2所示的动态电路还不算太复杂。动态电路的阶数：输入输出方程的阶数或独立动态元件的个数。n阶电路的输入输出方程如式（3-5-8）所示。 §3-6 初始状态与初始条件 我们知道，对单输入单输出电路的求解归结为对输入输出方程的求解。n阶常系数线性微分方程的通解中含有n个待定的积分常数，而这些积分常数要由微分方程的n个初始条件来确定。这些初始条件是：待求变量的初始值及其一阶至（n-1）阶导数的初始值。本节讨论怎样计算这些初始条件，以便为求解微分方程提供必要条件。下面讨论“换路”及换路后各元件

16、电压电流的初值。一、换路：电源与电路接通、切断，电路参数突然改变，电路结构突然改变，电源函数形式突然改变，均称为“换路”。换路是“突然”发生的，是“即刻”完成的，不需要时间间隔。二、换路后电容电压与电感电流初值的表达式假定换路发生在t=0时刻，t=0-为换路的前一瞬，则有: 令t=0+为换路后初瞬，则有 （1） （2）1、换路后uc与iL不跳变的情况当t=0时，如ic(t)为有限值,uL(t) 为有限值，则(1)及(2)式中的积分部分均为零，有uc(0)=uc(0-) 或 q(0)= q(0-) (3) iL(0)=IL(0-) 或 (0)= (0-) (4) 初始值 原始值（3）与（4）式，

17、有的教材称为“换路定则”或“换路定律”。2、uC及iL跳变的情况(1)、当t=0时，ic(t)及uL(t)为冲激函数（及其导数）时,（1）.（2）式中积分部分将不为零。则uC(0),iL(0)应按（1）及（2）式计算。(2)、uC及iL的跳变，在工程实际（自然界）中是不存在的，因为uC及iL的跳变，意味着能量的跳变，亦意味着在工程实际中有无限大的功率源。这在实际上是不可能的。(3)、在理论研究时，却要讨论跳变的情况，因为独立电压源和电流源就是理想化的电源，具备输出无限大功率的能力，可以使能量发生跳变。而引入冲激函数（及其导数）也给分析计算带来了可能。3、需要提及的是：uR.iR.iC.uL等变

18、量与储能无关的量，根本不需由（1）和（2）计算。它们在换路时，在没有冲激函数的条件下也可发生跳变。具体是否跳变应由t=0的等效电路来计算。4、原始状态：换路前一瞬（t=0-），各独立电容电压uC(0-)与各独立电感电流iL(0_)的集合即uC1(0-).uC2(0-)iL1(0-).iL2(0-)。5、初始状态：换路后一瞬（t=0+）各独立电容电压uC(0+)与各独立电感电流iL(0+)的集合，uC1(0).uC2(0)iL1(0).iL2(0)。例3-6-1 求图3-6-1（a）所示电路中开关闭合后电容电压的初始值uc (0+)及各支路电流的初始值i1 (0+)、i2 (0+)、ic (0+

19、)。假设开关闭合前，电路已工作了很长的时间。 (a) 原始电路 (b) t=0-时的等效电路解：首先求出时的电容电压。由于开关闭合前电路已工作了很长的时间，因而换路前时的电路是直流电路见图3-6-1（b）。这时，电容电压uc是一个常量，即在直流电路中，电容相当于开路，电阻上没有电压降，因而有根据式(3-6-2)得 为了计算其它支路电压、电流的初始值，可以画出换路后时的等效电路，如图36-1（c）所示(图中电容电压的初始值，根据替代定理，用大小相等极性相同的电压源来代替)。 (c) t=0+时的等效电路 图3-6-1 电压、电流初始值的计算示例(1)然后按照线性电路的分析方法进行计算。于是有 例

20、3-6-2 求图3-6-2（a）所示电路中开关闭合后电感电流的初始值iL(0+)、电感电压的初始值uL(0+)以及其它两个支路电流的初始值i(0+)和is(0+)。假设换路前，电路已工作了很长的时间。 (a) 原始电路 (b) t=0-时的等效电路 解：首先求出时的电感电流iL(0-)。由于开关闭合前电路已工作了很长的时间，因而换路前时的电路是直流电路见图3-6-2（b）。这时，电感电流iL是一个常量，电压，即在直流电路中，电感元件相当于短路，有根据式(3-6-4)得 A(c) t=0+时的等效电路 对图3-6-2（c）中右边的回路应用基尔霍夫电压定律，有故 此外 小结：由以上两例可以看出：在

21、动态电路中，虽然当电容电流和电感电压是有限值时，电容电压和电感电流不能跳变，但电容电流、电感电压、电阻电流和电阻电压却是可以跳变的。从能量的观点来看，电容电压和电感电流之所以不能跳变，是受电场能量和磁场能量不能跳变 的约束之故。至于电容电流、电感电压、电阻电流和电阻电压则不受此限。图3-6-3 初始条件的计算 如前所述，输入-输出方程的初始条件是指电路输出变量的初始值及其各阶导数的初始值。初始条件可根据电路的微分(或积分微分)方程和元件的电压、电流初始值来确定。下面举例说明。 例3-6-3 在图3-6-3中，W，电压源的电压us(t)=e-t V；开关S在t = 0时闭合。已知i(0-)=0,

22、 uc(0-)=6 V，求以i(t)为输出变量的输入-输出方程及其初始条件。 解：根据基尔霍夫电压定律和元件的电压电流关系可得换路后电路的积分微分方程为 (3-6-5)或 (3-6-6) 此即以i(t)为输出变量的输入-输出方程。 由式(3-6-5)，令t = 0+，可得 (3-6-7)此处电感电流和电容电压均不能跳变，即；代入式(3-6-7)，得故本例中输入-输出方程(二阶微分方程)的初始条件为例：（3-24题）3-24图所示电路在换路前已工作了很长的时间,试求电路的初始状态以及开关断开后电感电流iL和电容电压uC的一阶导数的初始值。 题3-24图 解题3-24图解：原始状态 作出t=0+时刻的电路如解题3-24图所示。故应先求uL(0), iC(0) iC(0)=iL(0)=0.05A由节点法 uL(0)=-40×0.05+2-20×0.05=-