2019年河南省新乡市高考数学二模试卷(文科)

1、2019 年河南省新乡市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5 分）已知复数 zA2为纯虚数，则实数 a（   ）B               C2     &

2、#160;     D2（5 分）已知集合 AxN|x4，BxN|A3，4B0，3，41，则AB（  ）C1，3，4      D0，1，3，4（3 5 分）若一个圆锥的轴截面是面积为 1 的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为（）AB2C2D44（5 分）设 x，y 满足约束条件，则 z2x+y 的最大值是（）A1B4C6D7（5 5 分

3、）已知双曲线 C：1（a0，b0）一条渐近线与直线 2x4y+20 垂直，则该双曲线的离心率为（）ABCD26（5 分）已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是 3，3，5，3，6，11若这组数据的平均数、中位数、众数依次成等差数列，则丢失数据的所有可能值的和为（）A67（5 分）函数 f（x）B8              C12+1 的大致图象为（ 

4、60; ）D14AB第 1 页（共 23 页）CD8（5 分）某程序框图如图所示，则该程序的功能是（）10 5 分）已知数列an的首项 a121，且满足（2n5）an+1（2n3）an+4n216n+15，A为了计算 1+2+22+23+263B为了计算 1+2+22+23+263+264C为了计算 2+22+23+263D为了计算 2+22+23+263+2649（5 分）设 a，b，c 分别是方程 x+3log，（

5、0;）xlog x，（ ）xx+3 的实数根，则有（）AabcBcbaCbacDcab（则an的最小的一项是（）Aa5Ba6Ca7Da8xQ  M  N11（5 分）如图，已知抛物线 C1 的顶点在坐标原点，焦点在 x 轴上，且过点（3，6），圆C2：2+y26x+80，过圆心 C2 的直线 l 与抛物线和圆分别交于 P， ， ， ，则|PN|+3|QM|的最小值为（）第 2 

6、页（共 23 页）A12+4B16+4C16+6D20+612（5 分）设 maxp，q表示 p，q 两者中较大的一个，已知定义在0，2的函数 f（x）max2sinx，2cosx，满足关于 x 的方程 f2（x）+（12m）f（x）+m2m0 有 6 个不同的解，则 m 的取值范围为（）A（1，）B（1，1+）C（，2）D（1+，2）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20

7、60;分.把答案填在答题卡中的横线上.13（5 分）在矩形 ABCD 中，|2，|4，则|+|14（5 分）已知等比数列an的首项为 1，且 a6+a42（a3+a1），则 a1a2a3a715（5 分）已知函数 f（x）exalnx 在1，2上单调递增，则 a 的取值范围是16（5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17-21 题为

8、必考题，每个试题考生都必须作答,第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60分（b   c17 12 分）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a， ， ，若（1）求 B；（2）若 b，求ABC 面积的最大值18（12 分）在三棱锥 ABCD 中，ADAB，AB，BDC 是边长为 2形（1）证明：BDAC（2）当平面 ABD平面

9、60;ABC，求点 A 到平面 BCD 的距离的等边三角19（12 分）随着科技的发展，网购已经逐渐融入了人们的生活在家里面不用出门就可以第 3 页（共 23 页）买到自己想要的东西，在网上付款即可，两三天就会送到自己的家门口，如果近的话当天买当天就能送到，或者第二天就能送到，所以网购是非常方便的购物方式某公司组织统计了近五年来该公司网购的人数 yi（单位：人）与时间 ti（单位：年）的数据，列表如下：tiyi124227341464579（1）依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型

10、拟合 y 与 t 的关系，请计算相关系数r 并加以说明（计算结果精确到 0.01）（若|r|0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）附：相关系数公式，参考数据（2）建立 y 关于 t 的回归方程，并预测第六年该公司的网购人数（计算结果精确到整数）（参考公式：，）20（12 分）设椭圆1（0b0）的右顶点为 A，上顶点为 B已知椭圆的焦距为 2，直线 AB 的斜率为 （1）求椭圆的标准方程；（2）设直线 l

11、：ykx（k0）与椭圆交于 MN 两点，且点 M 在第二象限，l 与 AB 延长线交于点 P，若BNP 的面积是BMN 面积的 3 倍，求 k 的值21（12 分）已知函数 f（x）ex+ax+b 的图象在点（0，f（0）处的切线方程为 2xy+10（1）求 f（x）的表达式；（2）当 x0 时，f（x）x2+mx+1 恒成立，求实数 m 的取值范围(二)选

12、考题：共 10 分，请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题第 4 页（共 23 页）计分。选修 4-4:坐标系与参数方程(10 分)22（10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为，（ 为参数）以坐x标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 （cossin）1（1）求 C 和 l 的直角

13、坐标方程；（2）已知直线 l 与 y 轴交于点 M，且与曲线 C 交于 A，B 两点，求|选修 4-5：不等式选讲23已知 f（x）|x+a|+|x|（1）当 a1 时，求不等式 f（x）3 的解集；（2）设关于 x 的不等式 f（x）3 有解，求 a 的取值范围|的值第 5 页（共 23 页）2019 年河南省新乡市高考数学二模试卷（文

14、科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5 分）已知复数 zA2为纯虚数，则实数 a（   ）B               C2        &

15、#160;  D【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为 0 且虚部不为 0 求解【解答】解：z                         为纯虚数，即 a 故选：D【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题2（5 分

16、）已知集合 AxN|x4，BxN|A3，4B0，3，41，则AB（  ）C1，3，4      D0，1，3，4【分析】根据题意，由集合的定义求出集合 A、B，由补集的定义分析可得答案【解答】解：根据题意，AxN|x40，1，2，3，4，BxN|11，2，则AB0，3，4；故选：B【点评】本题考查集合补集的计算，关键是掌握集合子集的定义，属于基础题（3 5 分）若一个圆锥的轴截面是面积为 1 的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为（）AB2C2D4【分析】设

17、圆锥的底面圆半径、高和母线长，根据直角三角形的边角关系和面积公式列方程求出 r 和 l 的值，再计算圆锥的侧面积公式【解答】解：设圆锥的底面圆半径为 r，高为 h，母线长为 l，由题意知，rh$fracsqrt22第 6 页（共 23 页）l，则轴截面的面积为 解得 r1，所以 l；1，所以该圆锥的侧面积为 S 圆锥侧rl故选：A【点评】本题考查了圆锥的结构特征与应用问题，是基础题4（5 分）设 x，y 满

18、足约束条件，则 z2x+y 的最大值是（）A1B4C6D7【分析】作出不等式对应的平面区域，利用 z 的几何意义，利用直线平移法进行求解即可【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由 z2x+y，得 y2x+z 表示，斜率为 2 纵截距为 Z 的一组平行直线平移直线 y2x+z，当直线 y2x+z 经过点 A 时，直线 y2x+z 的截距最大，此时 z 最大，由解得 A（2，3）此时

19、2x+y7，即此时 z7，故选：D【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用 z 的几何意义是解决线性规划问题的第 7 页（共 23 页）关键，注意利用数形结合来解决（5 5 分）已知双曲线 C：1（a0，b0）一条渐近线与直线 2x4y+20 垂直，则该双曲线的离心率为（）ABCD2【分析】求得渐近线方程，由两直线垂直的条件：斜率之积为1，可得 a，b 的关系，由离心率公式，可得所求值【解答】解：双曲线 C：1（a0，b0）的渐近线方程为y&

20、#177; x，由一条渐近线与 2x4y+20 垂直，可得一条渐近线的斜率为2，即有 2，可得 e        ，故选：A【点评】本题考查双曲线的渐近线方程和离心率的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题6（5 分）已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是 3，3，5，3，6，11若这组数据的平均数、中位数、众数依次成等差数列，则丢失数据的所有可能值的和为（）A6B8C12D14【分析】设出未知数，根据这组数的平均数、中位数、众数依次

21、成等差数列，列出等式关系，因为所写出的结果对于 x 的值不同所得的结果不同，所以要讨论 x 的三种不同情况，从而求出所求【解答】解：设这个数字是 x，则平均数为，众数是 3，若 x3，则中位数为 3，此时 x10，若 3x5，则中位数为 x，此时 2x+3，x4，若 x4，则中位数为 5，2×5+3，x18，所有可能值为10，4，18，其和为 12故选：C第 8 页（共 23 页）【点评】本题主要

22、考查了众数，中位数，平均数，考查等差数列的性质，同时考查了分类讨论的数学思想，属于基础题7（5 分）函数 f（x）+1 的大致图象为（）ABCD【分析】先判断函数为偶函数，再求出当 0x1 时，f（x）1，故排除 A，B，C【解答】解：f（x）f（x），函数为偶函数，其图象关于 y 轴对称，故排除 B，C，当 0x1 时，log2x80，x240，f（x）1，故排除 A，故选：D【点评】本题考查了函数的图象的识别，关键掌握函数的奇偶性，和函数值得变化趋势，属于基础题8（5&#

23、160;分）某程序框图如图所示，则该程序的功能是（）A为了计算 1+2+22+23+263B为了计算 1+2+22+23+263+264第 9 页（共 23 页）C为了计算 2+22+23+263D为了计算 2+22+23+263+264【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：模拟程序的运行，可得S0，n1S1，n2满足条件 n64，执行循环体，S1+2，n3满足条件

24、60;n64，执行循环体，S1+2+22，n4满足条件 n64，执行循环体，S1+2+22+23，n5满足条件 n64，执行循环体，S1+2+22+23+24，n6观察规律可知满足条件 n64，执行循环体，S1+2+22+23+263，n65不满足条件 n64，退出循环，输出 S1+2+22+23+263 的值故选：A【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题9（5 分）设 a，b，c 分别是方程 x+3log，（ ）xlog&#

25、160;x，（ ）xx+3 的实数根，则有（）AabcBcbaCbacDcab【分析】由数形结合的思想方法可得：先分别作出函数 y、ylog x、yx+3的图象，再观察图象间的交点的横坐标即可得解，【解答】解：先分别作出函数 y、ylog x、yx+3 的图象，再观察图象间的交点的横坐标即可得解，由图知：cab，故选：D第 10 页（共 23 页）10 5 分）已知数列an的首项 a121，且满足（2n5）an+1（2n3）an+4n216n+15，【点评

26、】本题考查了指数函数、对数函数图象的作法及图象间的交点，主要考查了数形结合的思想方法，属难度较大的题型（则an的最小的一项是（）Aa5Ba6Ca7          Da8【分析】本题可先将 4n216n+15 进行因式分解，再进行变形发现可以构造一个数列bn使问题简单化，然后通过求出数列bn的通项公式来求出数列an的通项公式，再可以把数列an的通项公式看成一个二次函数去考虑an取最小值的项数【解答】解：由题意，可知：4n216n+15（2n3）（2n5），（2n5）an+1

27、（2n3）an+（2n3）（2n5），等式两边同时除以（2n3）（2n5），可得：，可设 bn，则，bn+1bn+1，即：bn+1bn1b1数列bn是以7 为首项，1 为公差的等差数列bn7+（n1）×1n8，nN *an（n8）（2n5）2n221n+40可把 an 看成关于 n 的二次函数，则根据二次函数的性质，可知：当 n5 或 n6 时，an 可能取最小值第 11 页（共 23 页）当 n5

28、0;时，a52×5221×5+4015，当 n6 时，a62×6221×6+4014当 n5 时，an 取得最小值故选：A【点评】本题主要考查数列的转化及构造新数列的思想，以及二次函数去判断数列取最值的问题，本题是一道较好的中档题xQ  M  N11（5 分）如图，已知抛物线 C1 的顶点在坐标原点，焦点在 x 轴上，且过点（3，6），圆C2：2+y26x+80，过圆心 C2 的直线 l

29、 与抛物线和圆分别交于 P， ， ， ，则|PN|+3|QM|的最小值为（）A12+4B16+4C16+6D20+6【分析】设抛物线的标准方程，将点代入抛物线方程，求得抛物线方程，由抛物线的焦点弦性质，求得，根据抛物线的性质及基本不等式，即可求得答案【解答】解：设抛物线的方程：y22px（p0），则 362p×3，则 2p12，抛物线的标准方程：y212x，焦点坐标 F（3，0），准线方程为 x3，圆 C2：x2+y26x+80 的圆心为（3，0），半径为 1，由直

30、线 PQ 过抛物线的焦点，可设P（1，），Q（2，+），由 ，可得得|PN|+3|QM|PF|+1+3（|QF|+1）|PF|+3|QF|+43（|PF|+3|QF|）（16+6故选：C）+43（4+        ）+4          ）+4第 12 页（共 23 页）【点评】本题考查抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系，抛物线的焦点弦的

31、性质及基本不等式的应用，考查转化思想，属于中档题12（5 分）设 maxp，q表示 p，q 两者中较大的一个，已知定义在0，2的函数 f（x）max2sinx，2cosx，满足关于 x 的方程 f2（x）+（12m）f（x）+m2m0 有 6 个不同的解，则 m 的取值范围为（）A（1，）B（1，1+）C（，2）D（1+，2）【分析】由“取大函数”的图象的定义可作出函数的图象，再结合方程的根的个数与函数图象的交点个数的关系即关于 x 的方程

32、60;f2（x）+（12m）f（x）+m2m0 有 6 个不同的解等价于函数 tf（x）的图象与直线 tt1、tt2 的交点个数之和为 6 个，再由二次方程区间根问题可得：设g （ t） t2+ （ 1 2m） t+m2 m，则有，即，解得：，得解【解答】解：设 tf（x），则方程 f2（x）+（12m）f（x）+m2m0 可转化为：t2+（12m）t+m2m0，不妨设 t1、t2 为关

33、于 t 的方程 t2+（12m）t+m2m0 的两根，关于 x 的方程 f2（x）+（12m）f（x）+m2m0 有 6 个不同的解等价于函数 tf（x）的图象与直线 tt1、tt2 的交点个数之和为 6 个，由图可得：当函数 tf（x）的图象与直线 tt1、tt2 的交点个数之和为 6 个时，有t2，        

34、2，设 g（t）t2+（12m）t+m2m，第 13 页（共 23 页）由二次方程区间根问题可得：，即，解得：，故选：C【点评】本题考查了“取大函数”的图象的作法、方程的根的个数与函数图象的交点个数的关系及二次方程区间根问题，属难度较大的题型二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡中的横线上.13（5 分）在矩形 ABCD 中，|2，|4，则|+|4【分析】可画出图形，根据向量加法的平行四边形法则即可得出，在 

35、;ABC 中，根据条件可求出，从而得出，从而可求出【解答】解：如图，；第 14 页（共 23 页）故答案为：【点评】考查向量加法的平行四边形法则，相反向量的概念，以及勾股定理14（5 分）已知等比数列an的首项为 1，且 a6+a42（a3+a1），则 a1a2a3a7128【分析】等比数列an的首项为 1，且 a6+a42（a3+a1），q3（a3+a1）2（a3+a1），可化为：q32代入 a1a2a7q1+2+6q3×7（q3）727 可得【解答】解

36、：等比数列an的首项为 1，且 a6+a42（a3+a1），q3（a3+a1）2（a3+a1），可化为：q32由等比数列的性质可得：a1a2a7q1+2+6q3×7（q3）727128，故填：128【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题15（5 分）已知函数 f（x）exalnx 在1，2上单调递增，则 a 的取值范围是（，e【分析】求出函数的导数，问题转化为 axex 在1，2恒成立，令 h（x）xex，x1，2，根据函

37、数的单调性求出 a 的范围即可【解答】解：f（x）ex，若 f（x）在1，2递增，则 f（x）0 在1，2恒成立，即 axex 在1，2恒成立，令 h（x）xex，x1，2，则 h（x）（x+1）ex0，h（x）在1，2递增，故 h（x）minh（1）e，故 ae，故答案为：（，e【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道常规题第 15 页（共 23 页）16（5 分）某几何体的三视图如图所示，则

38、该几何体的外接球的表面积为 20【分析】首先把几何体的三视图转换为几何体，进一步确定几何体的外接球球心，在算出几何体的外接球半径，最后求出球的表面积【解答】1 解：根据几何体的三视图，转换为几何体为：如图所示：所以：O 为外接球的球心，所以：R故：S4故答案为：20，20【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体的转换，球的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答,第 22、23

39、 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60分（b   c17 12 分）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a， ， ，若（1）求 B；（2）若 b，求ABC 面积的最大值【分析】（1）由余弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得 cosB第 16 页（共 23 页），可求 B（2）由余弦定理，基本不等式可求 ac【解答】（本题满分为&#

40、160;12 分）解：（1），根据三角形的面积公式即可计算得解由余弦定理可得：可得：      ，2 分，3 分可得：sinAcosBcosBsinC+sinBcosCsin（B+C）sinA，可得：cosBB，（2）由余弦定理：b2a2+c22accosB，可得：1a2+c2ac，7 分1a2+c2可得：acac2acac，9 分，10 分 ABC acsinB，可得ABC 面积的最大值     

41、;12 分【点评】本题主要考查余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了三角函数恒等变换的应用，考查学生的计算能力和转化思想，属于基础题18（12 分）在三棱锥 ABCD 中，ADAB，AB，BDC 是边长为 2形（1）证明：BDAC（2）当平面 ABD平面 ABC，求点 A 到平面 BCD 的距离的等边三角（【分析】 1）设 E 为 BD 的中点，连结 AE，EC，推导出 BDAE，

42、BDCE，从而 BD平面 AEC，由此能证明 BDAC（2）推导出 ADAB，从而 AD平面 ABC，设点 A 到平面 BCD 的距离为 h，由 VABCDVDABC，能求出点 A 到平面 BCD 的距离第 17 页（共 23 页）【解答】证明：（1）设 E 为 BD 的中点，连结 AE，EC，ABAD，BDAE，BDC 是等边三角形，B

43、DCE，CEAEE，BD平面 AEC，BDAC解：（2）平面 ABD平面 ABC，且相交于 AB，又 ADAB，AD平面 ABC，2，设点 A 到平面 BCD 的距离为 h， ，由 VABCDVDABC，得解得 h，点 A 到平面 BCD 的距离为【点评】本题考查线线垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题19（12 

44、;分）随着科技的发展，网购已经逐渐融入了人们的生活在家里面不用出门就可以买到自己想要的东西，在网上付款即可，两三天就会送到自己的家门口，如果近的话当天买当天就能送到，或者第二天就能送到，所以网购是非常方便的购物方式某公司组织统计了近五年来该公司网购的人数 yi（单位：人）与时间 ti（单位：年）的数据，列表如下：tiyi124227341464579（1）依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系，请计算相关系数r 并加以说明（计算结果精确到 0.01）（若|r|0.75，则线性相关程度很高，

45、可用线性回第 18 页（共 23 页）归模型拟合）附：相关系数公式，参考数据（2）建立 y 关于 t 的回归方程，并预测第六年该公司的网购人数（计算结果精确到整数）（参考公式：，）【分析】（）根据表格数据，计算相关系数 r 进行判断即可（）根据线性规划关系公式求出回归系数进行预报即可【 解 答】 解：（ 1 ） 由题知，则故 y 与 t 的线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合（2）由（1）得，所

46、以 y 与 t 的回归方程为 y14.7t+2.9将 t6 带入回归方程，得 y91.191，所以预测第 6 年该公司的网购人数约为 91 人【点评】本题主要考查线性回归方程的应用，根据表格数据进行计算，考查学生的计算能力第 19 页（共 23 页）20（12 分）设椭圆1（0b0）的右顶点为 A，上顶点为 B已知椭圆的焦距为 2，直线 AB 的斜率为 （1）求椭圆的

47、标准方程；（2）设直线 l：ykx（k0）与椭圆交于 MN 两点，且点 M 在第二象限，l 与 AB 延长线交于点 P，若BNP 的面积是BMN 面积的 3 倍，求 k 的值（【分析】 1）设椭圆的焦距为 2c，由已知得，解得 a3，b2，即可  xx（2）设点 P（x1，y1），M（x2，y2），（x2x10）则 Q（x1，y1）由BNP 的面积是BMN 

48、面积的 3 倍，可得 x2x12x1（x1）， 25x1，联立方程求出由 x1 2，可得 k【解答】解：（1）设椭圆的焦距为 2c，由已知得，解得 a3，b2，所以椭圆的方程为+1（2）设点 P（x0，y0），M（x1，y1），（x0x10）则 N（x1，y1）BPN 的面积是BMN 面积的 3 倍，|PN|3|MN|，即3，（x1x0，y1y0）3（2x1，2y1）从而6x1x03x1，x05x1，易知直线 AB 的方程为：

49、2x+3y6由消去 y，可得 x0，由方程组消去 y，可得 x1由 x05x1，可得，第 20 页（共 23 页）整理得 18k2+25k+80，解得 k 或 k 当 k 时，x090，符合题意；当 k时，x0120，不符合题意，舍去所以，k 的值为【点评】本题考查了椭圆的方程、几何性质，考查了直线与椭圆的位置关系，属于中档题21（12 分）已知函数 f（x）ex+ax+b 的图象在点（

50、0，f（0）处的切线方程为 2xy+10（1）求 f（x）的表达式；（2）当 x0 时，f（x）x2+mx+1 恒成立，求实数 m 的取值范围（【分析】 1）求出原函数的导函数，由 f（0）1+a2 解得 a 值，再由 f（0）1+b1 解得 b，则函数解析式可求；（2）把 x0 时，ex+xx2+mx+1 转化为 m，令 h（x）          （x0），利用导数求其最小值即可得到实数 m 的取值范围【解答】解：（1）由 f（x）ex+ax+b，得 f（x）ex+a，由 f（0）1+a2，解得 a1由 f（0）1+b