2018-2019学年江苏省无锡市锡山高级中学高一(下)期末数学试卷

1、2018-2019 学年江苏省无锡市锡山高级中学高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.1（5 分）在等差数列an中，若 a24，a42，则 a6（）A1B0C1D62（5 分）如图是 60 名学生参加数学竞赛的成绩（均为整数）的频率分布直方图，估计这次数学竞赛的及格率是（）A75%B25%C15%D40%3（5 分）若直线 2mx+y+60 与直线（m3）xy+70 平行，则&#

2、160;m 的值为（）A1B1C1 或1D34（5 分）以边长为 1 的正方形的一边所在所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（）A2BC2D15（5 分）一艘海轮从 A 处出发，以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40°的方向直线航行，30 分钟后到达 B 处，在 C 处有一座灯塔，海轮在 A 处观察灯塔，其方向是南偏东 70°，在 B 处观察灯塔

3、，其方向是北偏东 65°，那么 B，C 两点间的距离是（）海里A10B20C10D20（6 5 分）已知 ， 是两个不重合的平面，下列四个条件中能推出 的个数是（）第 1 页（共 21 页）7 5 分）已知正数组成的等比数列an，若 a1a20100，那么 a7+a14 的最小值为（  ）存在一条直线 a，a，a；存在一个平面 ，；存在两条平行直线 a，b，a，b，a

4、，b；存在两条异面直线 a，b，a，b，a，b；A0B1C2D3（A20B25C50D不存在8（5 分）某公司 10 位员工的月工资（单位：元）为 x1，x2，x10，其均值和方差分别为 和 s2，若从下月起每位员工的月工资增加 100 元，则这 10 位员工下月工资的均值和方差分别为（）A ，s2+1002C ，s2B +100，s2+1002D +100，s29（5 分）若直线 axby+20（a0，b0）被圆 

5、x2+y2+2x4y+10 截得的弦长为 4，则的最小值为（）ABC +D +210（5 分）一个三位自然数百位，十位，个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当 ab，bc 时称为“凹数”（如 213，312 等），若 a，b，c1，2，3，4且 a，b，c 互不相同，则这个三位数是“凹数”的概率是（）ABCD11（5 分）在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，已知面角 EBDC 的平面角的大小为（）ABC，E 为&

6、#160;CC1 的中点，则二D12（5 分）ABC 中，ABC 所在平面内存在点 P 使得 PB2+PC23PA23，则ABC 面积最大值为（）ABCD二、填空题：本小题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13（5 分）若两个球的表面积之比是 4：9，则它们的体积之比是14（5 分）某公司有 A、B 两个部门，共有职工 300 人，其中 A 部门有职工

7、60;132 人，按部第 2 页（共 21 页）门职工数比例用分层抽样的方法，从该公司的职工中抽取一个容量为25 的样本，则从 B部门抽取的员工人数是（15 5 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若，17 12 分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1 中，ABAC，ACAA1，D 是棱 AB 的中点则角 C16（5 分）在平面直角坐标系 xOy

8、0;中，点 A（4，0），B（0，4），从直线 AB 上一点 P 向圆（x1）2+（y+1）24 引两条切线 PC，PD，切点分别为 C，D，则直线 CD 过定点，定点坐标为三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（1）求证：BC1平面 A1CD；（2）求证：BC1A1C18（12 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a3，b5，c7（1）求角

9、0;C 的大小；（2）求 sin（B+）的值19（12 分）已知函数 f（x）|2x1|+|2x+1|，g（x）|a1|a|x|（1）当 x0 时，求不等式 f（x）4 的解集；（2）设函数 f（x）的值域为 M，函数 g（x）的值域为 N，若满足 MN ，求 a 的取值范围20（12 分）如图，矩形 ABCD 是一个历史文物展览厅的俯视图，点 E 在 AB 上，在梯

10、形BCDE 区域内部展示文物，DE 是玻璃幕墙，游客只能在ADE 区域内参观在 AE 上的点P 处安装一可旋转的监控摄像头，MPN 为监控角，其中 M，N 在线段 D，E（含端点）上，且点 M 在点 N 的右下方，经测量得知：AD8 米，AE8 米，AP2 米，第 3 页（共 21 页）记EPM，监控摄像头的可视区域PMN 的面积为 S 平方米（1）求

11、60;S 关于  的函数关系式，并写出 cos 的取值范围；（）求可视区域PMN 的面积的最小值21（12 分）已知点 A（2，2），B（2，6）C（6，6），其外接圆为圆 H（1）求圆 H 的方程；（2）若直线 l 过点 P（0，5），且被圆截得的弦长为，求直线 l 的方程；（3）对于线段 OA 上任意一点 P，若在以 B 为圆心的圆上都存在不同的两点 M，N，使得点

12、0;M 是线段 PN 的中点，求圆 B 的半径 r 的取值范围22  （ 10分 ） 设 数 列 an 的 前n项 和 为（1）若，求 a1 的值；（2）若 a1，a2，a3 成等差数列，求数列an的通项公式Sn ， 且 满 足 ：第 4 页（共 21 页）2018-2019&#

13、160;学年江苏省无锡市锡山高级中学高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.1（5 分）在等差数列an中，若 a24，a42，则 a6（）A1B0C1D6【分析】直接利用等差中项求解即可【解答】解：在等差数列an中，若 a24，a42，则 a4 （a2+a6）2，解得 a60故选：B【点评】本题考查等差数列的性质，等差中项个数的应用，考查计算能力2（5 分）如图是 60 名

14、学生参加数学竞赛的成绩（均为整数）的频率分布直方图，估计这次数学竞赛的及格率是（）A75%B25%C15%D40%【分析】先根据直方图中的各个矩形的面积代表了频率求出 60 分及以上的频率，从而估计总体中这次数学竞赛的及格率【解答】解：大于或等于 60 分的共四组，它们是：59.5，69.5），69.5，79.5），79.5，89.5），89.5，99.5）分别计算出这四组的频率，如79.5，89.5）这一组的矩形的高为 0.025直方图中的各个矩形的面积代表了频率，则79.5，89.5）这一组的频率0.025×100.25同样可得，

15、60 分及以上的频率（0.015+0.03+0.025+0.005）×100.75估计这次数学竞赛竞赛的及格率（大于或等于 60 分为及格）为 75%，第 5 页（共 21 页）故选：A【点评】本题考查频率分布直方图的相关知识，直方图中的各个矩形的面积代表了频率，所以各个矩形面积之和为 1，以及频数样本容量×频率，属于基础题3（5 分）若直线 2mx+y+60 与直线（m3）xy+70 平行，则 m 的值为（）A1B1C1&#

16、160;或1D3【分析】直接利用两条直线平行的充要条件，解答即可【解答】解：因为两条直线平行，所以：解得 m1故选：B【点评】本题考查两条直线平行的判定，容易疏忽截距问题，是基础题4（5 分）以边长为 1 的正方形的一边所在所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（）A2BC2D1【分析】边长为 1 的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱，从而可求圆柱的侧面积【解答】解：边长为 1 的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱，则所得几何体的侧面积为：1×2

17、15;12，故选：A【点评】本题是基础题，考查旋转体的侧面积的求法，考查计算能力5（5 分）一艘海轮从 A 处出发，以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40°的方向直线航行，30 分钟后到达 B 处，在 C 处有一座灯塔，海轮在 A 处观察灯塔，其方向是南偏东 70°，在 B 处观察灯塔，其方向是北偏东 65°，那么 B，C 两点间的距离是（）海里A10B20C10D20【分析

18、】根据题意画出图象确定BAC、ABC 的值，进而可得到ACB 的值，根据正弦定理可得到 BC 的值第 6 页（共 21 页）【解答】解：如图，由已知可得，BAC30°，ABC105°，AB20，从而ACB45°在ABC 中，由正弦定理可得 BC故选：A×sin30°10  【点评】本题主要考查正弦定理的应用，考查三角形的解法，属于基本知识的考查（6 5 分）已知 ， 是两个不重合的平面，

19、下列四个条件中能推出 的个数是（）存在一条直线 a，a，a；存在一个平面 ，；存在两条平行直线 a，b，a，b，a，b；存在两条异面直线 a，b，a，b，a，b；A0B1C2D3【分析】在中，由面面平行的判定定理得 ；在中， 与  相交或平行；在中， 与  相交或平行；由面面平行的判定定理得 【解答】解：由 ， 是两个不重合的平面，知：在中，存在一条直线 a，a，a，由面面平行的判定定理得 ，故正确；在中，存在一个平面

20、0;，则  与  相交或平行，故错误；在中，存在两条平行直线 a，b，a，b，a，b，则  与  相交或平行，故错误；存在两条异面直线 a，b，a，b，a，b，由面面平行的判定定理得 ，故正确故选：C第 7 页（共 21 页）7 5 分）已知正数组成的等比数列an，若 a1a20100，那么 a7+a14 的最小值为（  ）【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、

21、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题（A20B25C50D不存在【分析】根据等比数列的性质以及基本不等式得 a7+a1422       220【解答】解：正数组成的等比数列an，a1a20100，a1a20a7a14100，a7+a1422220当且仅当 a7a14 时，a7+a14 取最小值 20故选：A【点评】本题考查等比数列性质的应用，结合基本不等式是解决本题的关键注意均值定理的合理运用8（5 分）某公司 10 位员工的

22、月工资（单位：元）为 x1，x2，x10，其均值和方差分别为 和 s2，若从下月起每位员工的月工资增加 100 元，则这 10 位员工下月工资的均值和方差分别为（）A ，s2+1002C ，s2B +100，s2+1002D +100，s2【分析】根据变量之间均值和方差的关系和定义，直接代入即可得到结论【解答】解：由题意知 yixi+100，则 （x1+x2+x10+100×10）（x1+x2+x10） +100，方差 s2（x1+10

23、0（ +100）2+（x2+100（ +100）2+（x10+100（ +100）2（x1 ）2+（x2 ）2+（x10 ）2s2故选：D【点评】本题主要考查样本数据的均值和方差之间的关系，利用均值和方差的定义是解决本题的关键，要求熟练掌握相应的计算公式9（5 分）若直线 axby+20（a0，b0）被圆 x2+y2+2x4y+10 截得的弦长为 4，则第 8 页（共 21 页）的最小值为（）ABC +   

24、;        D +2【分析】圆即 （x+1）2+（y2）24，表示以 M（1，2）为圆心，以 2 为半径的圆，由题意可得 圆心在直线 axby+20 上，得到 a+2b2，故 + +  +1，利用基本不等式求得式子的最小值【解答】解：圆 x2+y2+2x4y+10 即（x+1）2+（y2）24，表示以 M（1，2）为圆心，以 2 为

25、半径的圆，由题意可得 圆心在直线 axby+20（a0，b0）上，故1a2b+20，即 a+2b2，当且仅当     +      + +  +1 +2        ，时，等号成立，故选：C【点评】本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，以及基本不等式的应用，得到 a+2b2，是解题的关键10（5

26、60;分）一个三位自然数百位，十位，个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当 ab，bc 时称为“凹数”（如 213，312 等），若 a，b，c1，2，3，4且 a，b，c 互不相同，则这个三位数是“凹数”的概率是（）ABCD【分析】根据题意，分析“凹数”的定义，可得要得到一个满足 ac 的三位“凹数”，在1，2，3，4的 4 个整数中任取 3 个数字，组成三位数，再将最小的放在十位上，剩余的 2 个数字分别放在百、个位上即可，再利用古典概型概率

27、计算公式即可得到所求概率【解答】解：根据题意，要得到一个满足 ac 的三位“凹数”，在1，2，3，4的 4 个整数中任取 3 个不同的数组成三位数，有 C43×24 种取法，在1，2，3，4的 4 个整数中任取 3 个不同的数，将最小的放在十位上，剩余的 2 个数字分别放在百、个位上，有 C43×28 种情况，第 9 页（共 21 页）则这个三位数是“凹数”的概率是；故选：C【

28、点评】本题考查组合数公式的运用，关键在于根据题干中所给的“凹数”的定义，再利用古典概型概率计算公式即得答案11（5 分）在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，已知，E 为 CC1 的中点，则二面角 EBDC 的平面角的大小为（）ABCD【分析】由题意画出图形，找出二面角 EBDC 的平面角，求解三角形得答案【解答】解：如图，连接 AC，BD，相交于点 O，ABBC，OC，而BCEDCE，BEDE，则 OEBD，EOC 为二面角 EBDC

29、0;的平面角，设 ABBC2，则 OC  ，则 CEEOC即二面角 EBDC 的平面角的大小为故选：B【点评】本题考查二面角的平面角的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题12（5 分）ABC 中，ABC 所在平面内存在点 P 使得 PB2+PC23PA23，则ABC 面积最大值为（）第 10 页（共 21 页）ABCD【分析】以 BC 的中点为坐标原点，BC 所在直线为 

30、x 轴，建立直角坐标系，设 B（a，0），C（a，0），（a0），则 A（0，），设 P（x，y），运用两点距离公式可得 P在两圆上，由圆与圆的位置关系的等价条件，解不等式可得 a 的范围，再由三角形的面积公式，结合二次函数的最值求法，可得最大值【解答】解：以 BC 的中点为坐标原点，BC 所在直线为 x 轴，建立直角坐标系，设 B（a，0），C（a，0），（a0），则 A（0，），设 P（x，y），由 PB2+PC23PA23，可得（

31、x+a）2+y2+（xa）2+y23x2+（y）23，可得 x2+y2 a2，x2+（y）21，即有点 P 既在（0，0）为圆心，半径为的圆上，也在（0，）为圆心，1 为半径的圆上，可得|1|1+，由两边平方化简可得 a2，则ABC 的面积为 S 2aa               ，由 a2，可得 a2，S 取得最大值，且为故

32、选：B【点评】本题考查三角形的面积的最值的求法，注意运用坐标法和圆与圆有公共点的条第 11 页（共 21 页）件，考查化简整理的运算能力，属于难题二、填空题：本小题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13（5 分）若两个球的表面积之比是 4：9，则它们的体积之比是8：27【分析】设出两个球的半径分别不是球的表面积和体积，由题意求出半径的比，体积比是半径比的立方【解答】解：设两个球的半径分别为 R，r，则表面积之比是 4R2：4r24：9，所以

33、60;R：r2：3，球的体积之比为8：27；故答案为：8：27【点评】本题考查了球的表面积告诉和体积公式的运用，两个球的表面积之比等于半径的平方比，体积之比等于半径的立方比，属于基础题14（5 分）某公司有 A、B 两个部门，共有职工 300 人，其中 A 部门有职工 132 人，按部门职工数比例用分层抽样的方法，从该公司的职工中抽取一个容量为25 的样本，则从 B部门抽取的员工人数是14【分析】根据分层抽样方法的特点，求出 B 部门的员工以及应从 B&#

34、160;部门中应抽取的人数即可【解答】解：B 部门的员工有 300132168（人），从 B 部门中应抽取的人数为 25×14故答案为：14【点评】本题考查了分层抽样方法的应用问题，是基础题目（15 5 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若则角 C【分析】由余弦定理可得 c2a2+b22abcosC，再结合条件可得 tanC【解答】解：由余弦定理，有 c2a2+b22abcosC，然后求出 C，则，C

35、（0，），C第 12 页（共 21 页）故答案为：【点评】本题考查了余弦定理和同角三角函数的基本关系，属基础题16（5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 A（4，0），B（0，4），从直线 AB 上一点 P 向圆（x1）2+（y+1）24 引两条切线 PC，PD，切点分别为 C，D，则直线 CD 过定点，定点坐标为（0，2）【分析】由题意可得 AB 所在直线方程，设 P（x0，y0），则

36、60;y0x0+4，求出 CD 所在直线方程，可得 CD 所在直线方程方程含有 x0，且 x0 在直线 AB 上，可取特殊值算定点【解答】解：如图，直线 AB 的方程为 xy+40，设 P（x0，y0），则 y0x0+4，当 CD 的直线的斜率存在，（x1）2+（y+1）24，圆心为（1，1），则：圆心到 P 点的中点坐标为：（圆心到 P 点的距离为 d；所以以 d 

37、为直径的圆的方程为：（x）2+（y，     ），）2 将 d 代 入  ，由    可得 CD 的直 线 系方 程 ：（ x0  1 ） x+ （ y0+1 ） y  2 +0；因为 x0R ，可取两值 x0 代入得两直线；则两

38、直线的交点即为 CD 过的定点，定点坐标为：（ ， ）；故答案为：（ ， ）；第 13 页（共 21 页）17 12 分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1 中，ABAC，ACAA1，D 是棱 AB 的中点【点评】本题考查圆的切线方程，考查直线与圆位置关系的应用，体现了数学转化思想方法，属中档题三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（1）求证：BC1平面 A1CD；（2）求证：B

39、C1A1C（【分析】 1）连接 AC1，设 AC1A1CO，连接 OD，可求 O 为 AC1 的中点，D 是棱 AB的中点，利用中位线的性质可证 ODBC1，根据线面平行的判断定理即可证明 BC1平面 A1CD（2）由（1）可证平行四边形 ACC1A1 是棱形，由其性质可得 AC1A1C，利用线面垂直的性质可证 ABAA1，根据 ABAC，利用线面垂直的判断定理可证 AB平面 ACC1A1，利用线

40、面垂直的性质可证 ABA1C，又 AC1A1C，根据线面垂直的判断定理可证 A1C平面 ABC1，利用线面垂直的性质即可证明 BC1A1C第 14 页（共 21 页）【解答】证明：（1）连接 AC1，设 AC1A1CO，连接 OD，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，侧面 ACC1A1 是平行四边形，所以：O 为 AC1 的中点，又因为：D 是棱 AB 的中点，所以：ODBC1

41、，又因为：BC1平面 A1CD，OD平面 A1CD，所以：BC1平面 A1CD（2）由（1）可知：侧面 ACC1A1 是平行四边形，因为：ACAA1，所以：平行四边形 ACC1A1 是棱形，所以：AC1A1C，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，AA1平面 ABC，因为：AB平面 ABC，所以：ABAA1，又因为：ABAC，ACAA1A，AC平面 ACC1A1，AA1平面 ACC1A1，所以：AB平面 ACC1A1，因为：A1C平面 ACC1A1

42、，所以：ABA1C，又因为：AC1A1C，ABAC1A，AB平面 ABC1，AC1平面 ABC1，所以：A1C平面 ABC1，因为：BC1平面 ABC1，所以：BC1A1C【点评】本题主要考查了线面平行的判定，线面垂直的性质，线面垂直的判定，考查了第 15 页（共 21 页）空间想象能力和推理论证能力，属于中档题18（12 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a3，b5，c7（1）求角 C 的大小；（2）求

43、 sin（B+）的值（【分析】 ）在ABC 中，由余弦定理可得 cosC 的值，即可求得 C 的值（2）由条件利用正弦定理求得 sinB 的值，利用同角三角函数的基本关系可得 cosB 的值，再利用两角和差的正弦公式求得 sin（B+）的值（【解答】解： ）在ABC 中，由余弦定理可得 cosC         ，C，即（2）由正弦定理可得，sinB再由&#

44、160;B 为锐角，可得 cosB  ，sin（B+  ）sinBcos  +cosBsin+【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式，同角三角函数的基本关系，正弦定理以及余弦定理的应用，属于中档题19（12 分）已知函数 f（x）|2x1|+|2x+1|，g（x）|a1|a|x|（1）当 x0 时，求不等式 f（x）4 的解集；（2）设函数 f（x）的值域为 M，函数 g（x）的值域为 N，若满足 MN，求

45、 a 的取值范围（【分析】 1）利用零点分段法，分两种情况解不等式，然后求这两个不等式解集的交集；（2）利用绝对值不等式求出 f（x）的值域，利用函数的单调性求出g（x）的值域，根据MN建立不等式求解，然后分两种情况讨论【解答】解：（1）f（x）|2x1|+|2x+1|，x0，f（x）4，当当时，有 12x2x14，时，12x+2x+14，         ，；当 x0 时不等式的解集为x|1x0；（2）f（x）|2x1|+|2x+1|

46、（2x1）（2x+1）|2，f（x）的值域为 M2，+第 16 页（共 21 页）；当 a0 时，|x|0，g（x）的值域（，|a1|，若 MN则|a1|2，1a3，又 a0，0a3；当 a0 时，|x|0，g（x）的值域为|a1|，+），此时一定满足 MN，a0 不符合条件，综上，a 的取值范围为0，3）【点评】本题考查了绝对值不等式的解法和函数的值域，考查了转化思想和分类讨论思想，属中档题20（12 分）如图，矩形 ABCD

47、0;是一个历史文物展览厅的俯视图，点 E 在 AB 上，在梯形BCDE 区域内部展示文物，DE 是玻璃幕墙，游客只能在ADE 区域内参观在 AE 上的点P 处安装一可旋转的监控摄像头，MPN 为监控角，其中 M，N 在线段 D，E（含端点）上，且点 M 在点 N 的右下方，经测量得知：AD8 米，AE8 米，AP2 米，EPM，监控摄像头的可视区域PMN 的面积为 S

48、 平方米（1）求 S 关于  的函数关系式，并写出 cos 的取值范围；（）求可视区域PMN 的面积的最小值记（【分析】 1）利用正弦定理，求出 PM，PN，即可求 S 关于  的函数关系式，当 M 与 E重合时，0，N 与 D 重合时，cosAPD，求出 ，即可写出 cos 的取值范围；（2）当 2+，即 时，求出 S 取得最

49、小值【解答】解：（）在PME 中，EPM，PE826（米），PEM，由正弦定理可得 PM，PME第 17 页（共 21 页）同理，在PNE 中，PNPMN 的面积为S PMPNsinMPN      ，当 M 与 E 重合时，0，N 与 D 重合时，cosAPD    ，即 arccos，0arccos，cos1；综上所述，S（

50、2）当 2+S 取得最小值为  ，即 18（，cos    ，1；时，1）平方米【点评】本题考查正弦定理的应用问题，也考查了三角形面积的计算问题，考查了三角函数知识的运用问题，是中档题21（12 分）已知点 A（2，2），B（2，6）C（6，6），其外接圆为圆 H（1）求圆 H 的方程；（2）若直线 l 过点 P（0，5），且被圆截得的弦长为，求直线 l 的方程；（3）对于线段 OA 上

51、任意一点 P，若在以 B 为圆心的圆上都存在不同的两点 M，N，使得点 M 是线段 PN 的中点，求圆 B 的半径 r 的取值范围（【分析】 1）设出圆的一般方程，代入 A，B，C 的坐标解方程组可得圆的一般方程；（2）按照直线 l 的斜率是否存在分两种情况讨论，利用点到直线的距离和勾股定理可得；（3）设出 P（m，n），N（x，y），根据中点公式求得 M 的坐标，将 M，N 的坐标代入圆第 18 页（共 21 页）B 的方程，得到两个圆的方程，根据两