（整理版）高考真题理科数学解析汇编导数与积分

1、高考真题理科数学解析汇编：导数与积分一、选择题 高考新课标理函数;那么的图像大致为 高考浙江理设a>0,b>0.a假设,那么a>bb假设,那么a<b c假设,那么a>bd假设,那么a<b 高考重庆理设函数在r上可导,其导函数为,且函数的图像如题(8)图所示,那么以下结论中一定成立的是a函数有极大值和极小值 b函数有极大值和极小值 c函数有极大值和极小值 d函数有极大值和极小值 高考陕西理设函数,那么a为的极大值点b为的极小值点 c为的极大值点d为的极小值点 高考山东理设且,那么“函数在上是减函数 ,是“函数在上是增函数的a充分不必要条件b必要不充分条件 c充

2、分必要条件d既不充分也不必要条件yxo第3题图 高考湖北理二次函数的图象如下图,那么它与轴所围图形的面积为abcd 高考福建理如下图,在边长为1的正方形oabc中任取一点p,那么点p恰好取自阴影局部的概率为abcd 高考大纲理函数的图像与轴恰有两个公共点,那么a或2b或3c或1d或1二、填空题 高考上海理函数的图像是折线段abc,假设中a(0,0),b(,5),c(1,0).函数的图像与x轴围成的图形的面积为_ .高考山东理设.假设曲线与直线所围成封闭图形的面积为,那么_.高考江西理计算定积分_.高考广东理曲线在点处的切线方程为_.三、解答题高考天津理函数的最小值为,其中.()求的值;()假设

3、对任意的,有成立,求实数的最小值;()证明.高考新课标理函数满足满足;(1)求的解析式及单调区间;(2)假设,求的最大值.高考浙江理a>0,br,函数.()证明:当0x1时,()函数的最大值为|2a-b|a;() +|2a-b|a0;() 假设11对x0,1恒成立,求a+b的取值范围.高考重庆理(本小题总分值13分,()小问6分,()小问7分.)设其中,曲线在点处的切线垂直于轴.() 求的值;() 求函数的极值.高考陕西理设函数(1)设,证明:在区间内存在唯一的零点;(2)设,假设对任意,有,求的取值范围;(3)在(1)的条件下,设是在内的零点,判断数列的增减性.高考山东理函数(为常数,

4、是自然对数的底数),曲线在点处的切线与轴平行.()求的值;()求的单调区间;()设,其中为的导函数.证明:对任意.高考辽宁理设,曲线与直线在(0,0)点相切.()求的值.()证明:当时,.高考江苏假设函数在处取得极大值或极小值,那么称为函数的极值点.是实数,1和是函数的两个极值点. (1)求和的值;(2)设函数的导函数,求的极值点;(3)设,其中,求函数的零点个数.高考湖南理函数=,其中a0.(1)假设对一切xr,1恒成立,求a的取值集合.(2)在函数的图像上取定两点,记直线ab的斜率为k,问:是否存在x0(x1,x2),使成立?假设存在,求的取值范围;假设不存在,请说明理由.高考湖北理()函

5、数,其中为有理数,且. 求的最小值;设,为正有理数. 假设,那么;数学归纳法证明你所.注:当为正有理数时,有求导公式.高考广东理(不等式、导数)设,集合,.()求集合(用区间表示);()求函数在内的极值点.高考福建理函数. ()假设曲线在点处的切线平行于轴,求函数的单调区间;()试确定的取值范围,使得曲线上存在唯一的点,曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点.高考大纲理(注意:在试题卷上作答无效)设函数.(1)讨论的单调性;(2)设,求的取值范围.高考北京理函数(),.(1)假设曲线与曲线在它们的交点(1,)处具有公共切线,求的值;(2)当时,求函数的单调区间,并求其在区间上的最大值.高考安徽

6、理(本小题总分值13分)设(i)求在上的最小值;(ii)设曲线在点的切线方程为;求的值.高考真题理科数学解析汇编：导数参考答案一、选择题 【解析】选 得:或均有 排除 【答案】a 【解析】假设,必有.构造函数:,那么恒成立,故有函数在x>0上单调递增,即a>b成立.其余选项用同样方法排除. 【答案】d 【解析】,由,函数为增; ,由,函数为减; ,由,函数为减; ,由,函数为增. 【考点定位】判断函数的单调性一般利用导函数的符号,当导函数大于0,那么函数为增,当导函数小于0那么函数递减. 解析:,令得,时,为减函数;时,为增函数,所以为的极小值点,选d. 【解析】假设函数在r上为减

7、函数,那么有.函数为增函数,那么有,所以,所以“函数在r上为减函数是“函数为增函数的充分不必要条件,选a. 考点分析:此题考察利用定积分求面积. 解析:根据图像可得: ,再由定积分的几何意义,可求得面积为. 【答案】c 【解析】,故,答案c 【考点定位】此题主要考查几何概型的概率和定积分,考查推理能力、计算求解能力. 答案a 轴有两个不同的交点,那么需要满足极佳中一个为零即可. 【解析】因为三次函数的图像与,当时取得极值 由或可得或,即. 二、填空题 nxyodm15p图2xyabc15图1解析如图1, 所以, 易知,y=xf(x)的分段解析式中的两局部抛物线形状完全相同,只是开口方向及顶点位

8、置不同,如图2,封闭图形mno与omp全等,面积相等,故所求面积即为矩形odmp的面积s=. 评注对于曲边图形,上海现行教材中不出微积分,能用微积分求此面积的考生恐是极少的,而对于极大局部考生,等积变换是唯一的出路. 【解析】由得,所以,所以. 【解析】此题考查有关多项式函数,三角函数定积分的应用. . 【点评】这里,许多学生容易把原函数写成,主要是把三角函数的导数公式记混而引起的.表达考纲中要求了解定积分的概念.来年需要注意定积分的几何意义求曲面面积等. 解析:.,所以切线方程为,即. 三、解答题 (1)的定义域为得：时，2设那么在上恒成立*当时，与*矛盾当时，符合*得：实数的最小值为(lf

9、xlby)3由2得：对任意的值恒成立取：当时， 得：lb ylfx当时，得：【点评】试题分为三问,题面比拟简单,给出的函数比拟常规,因此入手对于同学们来说没有难度,第二问中,解含参数的不等式时,要注意题中参数的讨论所有的限制条件,从而做到不重不漏;第三问中,证明不等式,应借助于导数证不等式的方法进行. 【解析】(1) 令得: 得: 在上单调递增 得:的解析式为 且单调递增区间为,单调递减区间为 (2)得 当时,在上单调递增 时,与矛盾 当时, 得:当时, 令;那么 当时, 当时,的最大值为 【解析】此题主要考察不等式,导数,单调性,线性规划等知识点及综合运用能力. () (). 当b0时,&g

10、t;0在0x1上恒成立, 此时的最大值为:=|2a-b|a; 当b>0时,在0x1上的正负性不能判断, 此时的最大值为: =|2a-b|a; 综上所述:函数在0x1上的最大值为|2a-b|a; () 要证+|2a-b|a0,即证=|2a-b|a. 亦即证在0x1上的最大值小于(或等于)|2a-b|a, ,令. 当b0时,<0在0x1上恒成立, 此时的最大值为:=|2a-b|a; 当b<0时,在0x1上的正负性不能判断, |2a-b|a; 综上所述:函数在0x1上的最大值小于(或等于)|2a-b|a. 即+|2a-b|a0在0x1上恒成立. ()由()知:函数在0x1上的最大值

11、为|2a-b|a, 且函数在0x1上的最小值比(|2a-b|a)要大. 11对x0,1恒成立, |2a-b|a1. 取b为纵轴,a为横轴. 那么可行域为:和,目标函数为z=a+b. 作图如下: 由图易得:当目标函数为z=a+b过p(1,2)时,有,. 所求a+b的取值范围为:. 【答案】() 见解析;() . 【考点定位】本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、函数的最值及其几何意义,两条直线平行的判定等根底知识,考查运算求解能力. 解:(1)因,故 由于曲线在点处的切线垂直于轴,故该切线斜率为0,即, 从而,解得 (2)由(1)知, 令,解得(因不在定义域内,舍去), 当时,故在上为减

12、函数; 当时,故在上为增函数; 故在处取得极小值. 解析:(1),时, ,在内存在零点. 又当时, 在上是单调递增的,所以在内存在唯一零点. (2)当时, 对任意都有等价于在上最大值与最小值之差,据此分类讨论如下:()当,即时, ,与题设矛盾 ()当,即时, 恒成立 ()当,即时, 恒成立. 综上可知, 注:()()也可合并证明如下: 用表示,即时, 恒成立 (3)证法一 设是在内的唯一零点 , 于是有 又由(1)知在上是递增的,故, 所以,数列是递增数列. 证法二 设是在内的唯一零点 那么的零点在内,故, 所以,数列是递增数列. 解析:由f(x) = 可得,而,即,解得; (),令可得, 当

13、时,;当时,. 于是在区间内为增函数;在内为减函数. (), (1)当时, ,. (2)当时,要证. 只需证即可 设函数. 那么, 那么当时, 令解得, 当时;当时, 那么当时,且, 那么,于是可知当时成立 综合(1)(2)可知对任意x>0,恒成立. 另证1:设函数,那么, 那么当时, 于是当时,要证, 只需证即可, 设, 令解得, 当时;当时, 那么当时, 于是可知当时成立 综合(1)(2)可知对任意x>0,恒成立. 另证2:根据重要不等式当时,即, 于是不等式, 设, 令解得, 当时;当时, 那么当时, 于是可知当时成立. 【答案及解析】 的定义域,根据条件曲线与直线在(0,0

14、)点相切,求出的值,然后,利用函数的单调性或者均值不等式证明 【答案】解:(1)由,得. 1和是函数的两个极值点, ,解得. (2) 由(1)得, , ,解得. 当时,;当时, 是的极值点. 当或时, 不是的极值点. 的极值点是-2. (3)令,那么. 先讨论关于 的方程 根的情况: 当时,由(2 )可知,的两个不同的根为i 和一2 ,注意到是奇函数,的两个不同的根为一和2. 当时, , 一2 , -1,1 ,2 都不是的根. 由(1)知. 当时, ,于是是单调增函数,从而. 此时在无实根. 当时.,于是是单调增函数. 又,的图象不间断, 在(1 , 2 )内有唯一实根. 同理,在(一2 ,一

15、i )内有唯一实根. 当时,于是是单调减两数. 又, ,的图象不间断, 在(一1,1 )内有唯一实根. 因此,当时,有两个不同的根满足;当 时 有三个不同的根,满足. 现考虑函数的零点: ( i )当时,有两个根,满足. 而有三个不同的根,有两个不同的根,故有5 个零点. ( 11 )当时,有三个不同的根,满足. 而有三个不同的根,故有9 个零点. 综上所述,当时,函数有5 个零点;当时,函数有9 个零点. 【考点】函数的概念和性质,导数的应用. 【解析】(1)求出的导数,根据1和是函数的两个极值点代入列方程组求解即可. (2)由(1)得,求出,令,求解讨论即可. (3)比拟复杂,先分和讨论关

16、于 的方程 根的情况;再考虑函数的零点. 【解析】()假设,那么对一切,这与题设矛盾,又, 故. 而令 当时,单调递减;当时,单调递增,故当时,取最小值 于是对一切恒成立,当且仅当 . 令那么 当时,单调递增;当时,单调递减. 故当时,取最大值.因此,当且仅当即时,式成立. 综上所述,的取值集合为. ()由题意知, 令那么 令,那么. 当时,单调递减;当时,单调递增. 故当,即 从而,又 所以 因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线,所以存在使单调递增,故这样的是唯一的,且.故当且仅当时, . 综上所述,存在使的取值范围为 . 取最小值对一切xr,f(x) 1恒成立转化为,从而得出a的取值

17、集合;第二问在假设存在的情况下进行推理,通过构造函数,研究这个函数的单调性及最值来进行分析判断. 考点分析:此题主要考察利用导数求函数的最值,并结合推理,考察数学归纳法,对考生的归纳推理能力有较高要求. 解析:(),令,解得. 当时,所以在内是减函数; 当 时,所以在内是增函数. 故函数在处取得最小值. ()由()知,当时,有,即 假设,中有一个为0,那么成立; 假设,均不为0,又,可得,于是 在中令,可得, 即,亦即. 综上,对,为正有理数且,总有. 设为非负实数,为正有理数. 假设,那么. 用数学归纳法证明如下: (1)当时,有,成立. (2)假设当时,成立,即假设为非负实数,为正有理数,

18、 且,那么. 当时,为非负实数,为正有理数, 且,此时,即,于是 =. 因,由归纳假设可得 , 从而. 又因,由得 , 从而. 故当时,成立. 由(1)(2)可知,对一切正整数 说明:()中如果推广形式中指出式对成立,那么后续证明中不需讨论的情况. 解析:()考虑不等式的解. 因为,且,所以可分以下三种情况: 当时,此时,. 当时,此时,. 当时,此时有两根,设为、,且,那么,于是 . 当时,所以,此时;当时,所以,此时. 综上所述,当时,;当时,;当时,;当时,.其中,. (),令可得.因为,所以有两根和,且. 当时,此时在内有两根和,列表可得1+0-0+递增极小值递减极大值递增所以在内有极

19、大值点1,极小值点. 当时,此时在内只有一根,列表可得 +0-+递增极小值递减递增所以在内只有极小值点,没有极大值点. 当时,此时(可用分析法证明),于是在内只有一根,列表可得+0-+递增极小值递减递增所以在内只有极小值点,没有极大值点. 当时,此时,于是在内恒大于0,在内没有极值点. 综上所述,当时,在内有极大值点1,极小值点;当时,在内只有极小值点时,在内没有极值点. 【考点定位】此题主要考查函数的导数、导数的应用、二次函数的性质、函数的零点等根底知识,考查运算求解能力、抽象与概括的能力、推理与论证的能力,考查数形结合的思想、转化与化归的思想、分类讨论的思想、有限与无限的思想. 解:(1),故 时,时,所以函数的增区间为,减区间为 (2)设切点,那么切线 令,因为只有一个切点,所以函数就只有一个零点,因为 ,假设 ,因此有唯一零点,由的任意性知不合题意 假设,令,那么 ,存在一个零点的取值范围为. 解:. ()因为,所以. 当时,在上为单调递增函数