随机变量RandomVariables学习教案

1、会计学1随机变量随机变量(su j bin lin)RandomVariables第一页，共54页。E: 随机随机(su j)试验试验S: : 样本空间样本空间我们我们(w men)(w men)常常关心样本空间常常关心样本空间 S S 的某些子集，如从某型的某些子集，如从某型电子元件中任取一件电子元件中任取一件, , 观测其寿命观测其寿命(E)(E)， S= t : t S= t : t 0,0,我们关心诸如我们关心诸如(zhr)t:1500 (zhr)t:1500 t t 2000,t 2000,t 10001000等子集等子集 : : 我们把我们把这些子集这些子集和和S 的一些的一些其他

2、子集其他子集作为作为元素元素，组成一个大的集合，称其为组成一个大的集合，称其为事件域事件域，将事件域中每一，将事件域中每一个元素称为个元素称为E的的随机事件随机事件P: : R1 A P(A)满足三条公理满足三条公理第2页/共54页第二页，共54页。问题问题 第一章研究第一章研究(ynji)(ynji)的是对试验的是对试验E E求求P(A)P(A)，只是，只是孤立的研究孤立的研究(ynji)(ynji)一个个事件，对一个个事件，对E E的全貌不了解的全貌不了解。同时，。同时，A A是集合，是集合，P(A)P(A)是数，无法用图形和其他数是数，无法用图形和其他数学工具，对其研究学工具，对其研究(

3、ynji)(ynji)受到限制。因此为了深入受到限制。因此为了深入地研究地研究(ynji)(ynji)随机现象，认识随机现象的整体性质随机现象，认识随机现象的整体性质，需要全面地研究，需要全面地研究(ynji)(ynji)随机实验随机实验 E E 中事件的概中事件的概率率首先，如何能够系统而全面地描述首先，如何能够系统而全面地描述 E E 的随机的随机(su j)(su j)事件呢？事件呢？ 我们能否引入一个变量（即数），当它取不同我们能否引入一个变量（即数），当它取不同的值时，或许可以表达的值时，或许可以表达(biod)不同的随机事件？不同的随机事件？ S 的某些样本点组成的集合的某些样本点

4、组成的集合第3页/共54页第三页，共54页。即引入样本空间到实数即引入样本空间到实数(shsh)域上的一个映射域上的一个映射 .X( )sR因此，我们需要因此，我们需要(xyo)(xyo)根据问题的性质，通过根据问题的性质，通过引入一个变量，来描述随机试验的样本点。引入一个变量，来描述随机试验的样本点。 第4页/共54页第四页，共54页。例例1. 掷一枚硬币掷一枚硬币(yngb)，观察其面朝上的情况，观察其面朝上的情况 ( E )样本空间样本空间: S=正面正面(zhngmin)，反面反面 X(正面正面(zhngmin)）=1，X（反面）反面）=0定义映射定义映射X: SR1其中其中, 满足满

5、足: : X( )=1=出现正面出现正面， ：X( )=0=出现反面出现反面X 的取值是随机的，但是我们知道它所有的取值是随机的，但是我们知道它所有的可能的取值为的可能的取值为0，1X 为掷一枚为掷一枚硬币，出现硬币，出现正面的次数正面的次数第5页/共54页第五页，共54页。例例2. 对于对于(duy)某型电子元件，任抽一件，观测其寿命某型电子元件，任抽一件，观测其寿命( E) 样本空间，样本空间，S= t : t 0定义定义(dngy)映射映射X: SR tt X 在某一范围在某一范围(fnwi)内的取值可以表达内的取值可以表达E中中的事件，如的事件，如 : X()a, b=t : t a,

6、 b其可能取值的其可能取值的范围为范围为0，+ ）X为任抽为任抽一电子元一电子元件的寿命。件的寿命。第6页/共54页第六页，共54页。2-1 随机变量随机变量(su j bin lin) 定义定义(dngy)： 设设(S，P)是一概率是一概率(gil)空间，若空间，若X为样本空为样本空间间S 到实数域到实数域 R1 上的映射：上的映射： 满足：满足： x R1, 有有 : X( ) x则称则称X( )为为(S, , P)上的一个上的一个随机变量随机变量。常常将常常将 ：X( ) x 简记为（简记为（X x）。）。 X：S R1 X( ) 随机变量常用大写字母随机变量常用大写字母X,Y,Z表示，

7、表示，小写字母小写字母x,y,z表示实数表示实数第7页/共54页第七页，共54页。引入随机变量引入随机变量 X 以后以后(yhu)，就可以用，就可以用 X 来描述事件。一般地，设来描述事件。一般地，设 L 是实数域上一集是实数域上一集合，将合，将X在在 L 上的取值写成上的取值写成XL,它表示事它表示事件件X L = : X( ) L : X( ) L即即第8页/共54页第八页，共54页。随机变量与一般随机变量与一般(ybn)实函数的差别：实函数的差别： 1. X 随试验结果的不同而取不同的值，因而在试验之前随试验结果的不同而取不同的值，因而在试验之前只知道只知道(zh do)它可能取值的范围

8、，而不能预先肯定它它可能取值的范围，而不能预先肯定它将取哪个值。将取哪个值。2. 定义域不同定义域不同(b tn)其定义域为样本空间其定义域为样本空间S，是一个集合，自变量是样，是一个集合，自变量是样样本点，与数学上的定义方式有所区别样本点，与数学上的定义方式有所区别第9页/共54页第九页，共54页。 随机变量的引入，使我们能用随机变量来描述随机变量的引入，使我们能用随机变量来描述各种随机现象，并且有可能利用数学分析的方法各种随机现象，并且有可能利用数学分析的方法来对随机试验的结果进行深入广泛的研究来对随机试验的结果进行深入广泛的研究(ynji)和讨论。和讨论。第10页/共54页第十页，共54

9、页。引入随机变量后，对随机现象统计规律的研引入随机变量后，对随机现象统计规律的研究究(ynji)(ynji)，就由对事件及事件概率的研究，就由对事件及事件概率的研究(ynji)(ynji)扩大为对随机变量及其取值规律的扩大为对随机变量及其取值规律的研究研究(ynji).(ynji).事件事件(shjin)及及事件事件(shjin)概率概率随机变量随机变量(su j bin lin)及其及其取值规律取值规律第11页/共54页第十一页，共54页。2-2 离散离散(lsn)型随机变型随机变量量 1 定定义义(dngy) 若随机变量若随机变量 X 所有可能的取值为有限个或所有可能的取值为有限个或可列个

10、，则称可列个，则称X为离散型随机变量。否则为离散型随机变量。否则(fuz)称为非离散型随机变量。称为非离散型随机变量。 第12页/共54页第十二页，共54页。2. 离散离散(lsn)型随机变量的分型随机变量的分布布 定义：若随机变量定义：若随机变量X所有可能的取值为所有可能的取值为x1，x2，xn，且，且X 取这些值的概率为取这些值的概率为 P(X=xi)= pi , i=1, 2, . （2.1）则称（则称（2.1）式为离散）式为离散(lsn)型随机变量型随机变量X 的分布律。的分布律。Discrete Random Variables第13页/共54页第十三页，共54页。(2.1)式也可以

11、用表格式也可以用表格(biog)的形式表示如下的形式表示如下:上述表格称为离散型随机变量上述表格称为离散型随机变量(su j (su j bin lin) X bin lin) X 的分布列，分布列也可以的分布列，分布列也可以表示成下列矩阵的形式表示成下列矩阵的形式Xx1x2xiPp1p2pi第14页/共54页第十四页，共54页。性质性质(xngzh) (1) pi 0, i=1，2，.(2)第15页/共54页第十五页，共54页。例例3. 3. 一汽车沿一街道行驶，需要通过四个均设有信号灯的路一汽车沿一街道行驶，需要通过四个均设有信号灯的路口，每个信号灯以概率口，每个信号灯以概率p p允许允许

12、(ynx)(ynx)通过，设各信号灯的工通过，设各信号灯的工作是相互独立的。以作是相互独立的。以X X表示该汽车首次停下时，它已通过的路表示该汽车首次停下时，它已通过的路口的个数，求口的个数，求X X的分布律的分布律. .解：解：X X所有所有(suyu)(suyu)可能的取值为：可能的取值为：0 0，1 1，2 2，3 3，4 4X=0表示经过的路口为表示经过的路口为0，即第一个信号灯就不，即第一个信号灯就不允许通过允许通过(tnggu)，其概率为，其概率为1-p 即：即：P(X=0)=1-pX=1表示通过的路口为表示通过的路口为1个个，即第一个信号灯允即第一个信号灯允许通过许通过，第二个不

13、允许通过，且信号定独立工第二个不允许通过，且信号定独立工作，故其概作，故其概率为率为p(1-p) 即：即：P(X=0)=p(1-p)第16页/共54页第十六页，共54页。同样的方法可求同样的方法可求)1 ()2(2ppXP)1 ()3(3ppXP4)4(pXP故故X X的分布的分布(fnb)(fnb)律为律为432)1 ()1 ()1 (143210pppppppp第17页/共54页第十七页，共54页。例例4 4 设随机变量设随机变量(su j bin lin)X所有可能取的值为所有可能取的值为1,2,.,n，且已知，且已知P(X=k)与与k成正比，求成正比，求 X 的分布的分布; 解：由题意

14、解：由题意(t y)知：知：P(X=k)=b.k，现在要求，现在要求b由离散性随机变量由离散性随机变量(su j bin lin)的性质知：的性质知：b+2b+3b+ +nb=1解得：解得：) 1(2nnb故故X的分布律为的分布律为nknnkkXP2 , 1 , 0,) 1(2)(第18页/共54页第十八页，共54页。 例例5设随机变量设随机变量(su j bin (su j bin lin) X lin) X 的分布律为的分布律为X-123P1/41/21/4求求 P(X 1/2), P(3/2 X 5/2), P(2 X 3) 解：解：P(X 1/2)=P(X=-1)=1/4P(3/2 X

15、 5/2)=P(X=2)=1/2P(2 X 3)=P(X=2)+P(X=3)=1/2+1/4=3/4第19页/共54页第十九页，共54页。一般一般(ybn)(ybn)地，地，设设 L 是实数是实数(shsh)域上一集合，则有域上一集合，则有LxLxiiiipxXPLXP)()(第20页/共54页第二十页，共54页。3 几种常见的离散几种常见的离散(lsn)型随机变量型随机变量(1) 单点分布单点分布(fnb)例例 6 若 随 机 变 量若 随 机 变 量 X 只 取 一 个 常 数 值只 取 一 个 常 数 值(shz)C，即，即P( X=C )=1，则称，则称 X 服从服从单点分布。单点分布

16、。第21页/共54页第二十一页，共54页。例例7 若随机变量若随机变量 X 只取两个只取两个(lin )值值0或或1，其分布，其分布为为X01Pqp( 2 ) 0 - 1 分 布分 布(fnb)0p1, q=1-p，或记为，或记为 P(X=k)=pkq1-k , k =0,1则称则称X 服从服从(fcng)参数为参数为p 的两点分布或参数为的两点分布或参数为 p 的的0-1分布。分布。第22页/共54页第二十二页，共54页。 设在一次伯努利试验中有两个可能的结果，设在一次伯努利试验中有两个可能的结果，A与与SA ，且有，且有P (A)=p。则在。则在 n 重伯努利试验中事重伯努利试验中事件件A

17、发生的次数发生的次数(csh) X 是一个离散型随机变量，是一个离散型随机变量，其分布为其分布为(3) 二项分布二项分布)(kXP0, 1, 2 , n, 称称X 服从服从(fcng)参数为参数为n，p的二项分布，记的二项分布，记为为 knkknqpCk =第23页/共54页第二十三页，共54页。例例8 已知某批产品的一级品率为已知某批产品的一级品率为0.2，现从中有放回地抽取，现从中有放回地抽取20只，问只，问20只元件中恰有只元件中恰有k (k =0，1, 2 , 20)只一级品的只一级品的概率概率(gil)是多少？是多少？解：解：易知这是易知这是n=20n=20的的2020重贝努利实验重

18、贝努利实验(shyn)(shyn)，且事件，且事件A A为为任取一件元件为一级品，任取一件元件为一级品，P(A)=0.2P(A)=0.2设设2020只元件只元件(yunjin)(yunjin)中一级品的个数用中一级品的个数用X X表示，则易知表示，则易知)2 . 0 ,20( BX20, 2 , 1 , 0,8 . 02 . 0()20(20 kCkXPkkk）故故第24页/共54页第二十四页，共54页。第25页/共54页第二十五页，共54页。(c) b(6，0.3)的线条图的线条图第26页/共54页第二十六页，共54页。当当 k 取什么取什么(shn me)值时，值时，P (X=k) 达到最

19、大？达到最大？ 设设 X 服从参数为服从参数为n，p的二项分布的二项分布)(kXPk =0, 1, 2 , n, knkknqpCnkppCkXPpknkknk, 1 , 0,)1 ()(记1) 1()1 (1knpkpppkk1)() 1)(1 (1knpkpppkkpnkpn) 1(1) 1(第27页/共54页第二十七页，共54页。 当当( n + 1)p = 整数时整数时，在在 k = ( n + 1)p 与与 ( n + 1)p 1 处的概率取得最大值处的概率取得最大值 当( n + 1)p 整数时，在 k = ( n + 1)p 处的概率(gil)取得最大值 对固定的对固定的 n、p

20、, P ( X = k) 的取值的取值 呈不对称分布；呈不对称分布； 固定固定 p, , 随着随着 n 的增大，其取值的增大，其取值 的分布趋于对称的分布趋于对称第28页/共54页第二十八页，共54页。(4) 几何几何(j h)分布分布 例例9 一射手每次打靶射击一发子弹，打中的概率为一射手每次打靶射击一发子弹，打中的概率为p(0p 0， 则则称称 X 服从参数为服从参数为的泊松分布的泊松分布, 记为记为X ( )。第32页/共54页第三十二页，共54页。第33页/共54页第三十三页，共54页。在一定时间(shjin)间隔内：一匹(y p)布上的疵点个数；大卖场(mi chn)的顾客数；电话总

21、机接到的电话次数；应用场合一个容器中的细菌数；放射性物质发出的粒子数；一本书中每页印刷错误的个数；某一地区发生的交通事故的次数市级医院急诊病人数；等等第34页/共54页第三十四页，共54页。 假设电话交换台每小时接到的呼叫次数假设电话交换台每小时接到的呼叫次数X服从参服从参数数=3的泊松分布，求的泊松分布，求 (1) 每小时恰有每小时恰有4次呼叫的概率次呼叫的概率(gil) (2) 一小时内呼叫不超过一小时内呼叫不超过5次的概率次的概率(gil)例例12解：由泊松分布解：由泊松分布(fnb)的定义知：的定义知：168. 0! 43! 4)4() 1 (344eeXP50350!3)()5()2

22、(kkkekkXPXP第35页/共54页第三十五页，共54页。4 二项分布与超几何二项分布与超几何(j h)分布的关系，二项分布分布的关系，二项分布与泊松分布的关系与泊松分布的关系定理定理(dngl)1 设设pNMNlim0 p T)=?,测量误差测量误差X，关心，关心 而而 为了为了表示的方便，我们引入了随机变量的分布函表示的方便，我们引入了随机变量的分布函数的概念，是描述随机变量分布的又一方法数的概念，是描述随机变量分布的又一方法?)(21 xXxP)()()(1221xXPxXPxXxP 第41页/共54页第四十一页，共54页。 2-3 随机变量随机变量(su j bin lin)的分的

23、分布函数布函数 1. 概念概念(ginin)()(xXPxF则称则称F(x)为为X 的分布的分布(fnb)函数。函数。定义定义2.1 设设 X 是一随机变量，对任意的实数是一随机变量，对任意的实数x，令，令 第42页/共54页第四十二页，共54页。2. 离散型随机变量离散型随机变量(su j bin lin)X 的分布函数的分布函数 若若X 的分布的分布(fnb)律为律为iipxXP)(i=1, 2, . ,则则X的分布的分布(fnb)函数为函数为 B R1, P(X B)BxiixXP)()()(xXPxFxxiipxxiixXP)(第43页/共54页第四十三页，共54页。3xx2x1xOO

24、)(xF0O1离散型随机变量离散型随机变量X的分布函数是单调的分布函数是单调(dndio)增加的增加的，右连续的，具有跳跃型间断点，右连续的，具有跳跃型间断点xi: i=1,2,的阶梯的阶梯函数，在间断点处的跳跃度为函数，在间断点处的跳跃度为)0()()(iiiiixFxFxXPp第44页/共54页第四十四页，共54页。当当 1 x 2 时，时， F(x) = P(X x)= P(X=0) + P(X=1) =1/3 +1/6=1/2当当 x 2 时，时， F(x) = P(X x)= P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 1例例5 212613110X，求，求 F(x).解解

25、:当当 x 0 时，时， F(x) =P(X x)=0当当 0 x 1 时，时， F(x) = P(X x)= P(X=0) =1/3第45页/共54页第四十五页，共54页。故故下面我们从图形下面我们从图形(txng)上来看一下上来看一下.2, 121,2110,310, 0)(xxxxxF第46页/共54页第四十六页，共54页。212121103100 xxxxxF,/,/,)(31120 x6121121120 x61OOO1)(xF第47页/共54页第四十七页，共54页。3. 随机变量分布随机变量分布(fnb)函数函数F(x)的性质的性质 (1) 单调单调(dndio)性：若性：若x1x2, 则则F(x1) F(x2) 特别地特别地 P(axb)=F(b)-F(a) (2) 非负性，规一性：对任意非负性，规一性：对任意(rny)的实数的实数x，均有，均有 0 F(x)1 ，且，且0)(lim)(xFFx1)(lim)(xFFx第48页/共54页第四十八页，共54页。