第10讲 开集的可测性

1、目的：熟悉一些常见的可测集，了解Borel 集类与Lebesgue集类的差别。重点与难点：基本内容：一Borel集问题问题1：按按Lebesgue可测集的定义，我们所可测集的定义，我们所 熟悉的哪些集合是可测的？熟悉的哪些集合是可测的？问题问题2 2：由：由LebesgueLebesgue测度的性质以及上面测度的性质以及上面所熟悉的可测集，还能构造出哪些可测所熟悉的可测集，还能构造出哪些可测集？所有这些可测集构成什么样的集类？集？所有这些可测集构成什么样的集类？（1）开集与闭集的可测性命题1 Rn中任意开长方体都是可测的，且 。证明：我们在前一节已经证明对任意开长方体I，有 ，所以只需证明I是

2、可测的就行了，又由关于可测集定义的讨论，我们只要证明对任意开长方体J，有 | ImI |*IIm )(*)(*cIJmIJmJm 注意到 仍是个长方体， 故不难得知 （这与证明 类似）因此 从而I可测。证毕。IJ )(IJJIJc |,|)(*IJIJm |)(*IJJIJmc |*IIm |*IJJIJJJm )(*)(|*cIJmIJm 定义1 Rn中的集合 称为左开右闭长方体。 与直线上开集的构造有所不同，Rn中的开集未必可以表示成互不相交的开长方体的并，但可以表示成互不相交的左开右闭长方体之并，即, 1|),(1nidxcRXxGiiinn 引理1 Rn中的非空开集G都可表示成最多可数

3、个互不相交的左开右闭的长方体之并，即 是左开右闭长方体。证明：对每一正整数K,Rn可以分解成可数个形如 mi是正整数）的互不相交的左开右闭长方体之并。假设K=1时上述长方体中完全包含在G内的那些为 iiiJJG, ,2/ )(2/| )(1kiikinkkmxmxxB , 1ni , 2 , 1)1( iIi（有限或可数个）。对于k1，用 表示上述那些完全被G包含但与任何 不相交的长方体。这样就得到可数多个左开右闭的长方体 且它们互不相交，并满足 。如果 ，则存在 ，使 注意到 故当k充分大时，含x的形如Bk的长方体一定完全包含在 中，从而也包含在G ，所以 一定在某个 中，即 )(kiI)

4、1()( klIki iIki1)(GIukiki )(,G 0 GO ),(02/1| knkB),(O)(kiI)(,kikiI 于是，（2）G型集、F型集、Borel集定理1 Rn中的任意开集、闭集、F型集、 G型集均为可测集。证明：由命题1知任一左开右闭长方体J 可测且mJ=|J|，从而由引理1知任意开集可测，进一步闭集、F 型集、G 型集均可测。证毕。,)(kikiIG 注：从定理1可知，可数个F6型集或G8型集的并或交仍是可测的。事实上，由开集经过可数次的交、并、差运算后，所得的集合仍然是可测集。于是，由Rn中所有开集经过上述运算而得的域就是一个可测集类。我们将这个集类记作B（Rn

5、）或B，称为Rn中的Borel集类。B中元称为Rn中的Borel集。因此我们又可以将刚才的结论叙述为：Rn中任一Borel集合是Lebesgue可测集。 二Borel集类与Lebesgue集类的比较问题问题3 3：根据：根据LebesgueLebesgue外测度及可测集的外测度及可测集的定义，你认为定义，你认为LebesgueLebesgue可测集与可测集与BorelBorel集差别有多大？集差别有多大？问题问题4 4：对任意集合：对任意集合E E，能否找到包含，能否找到包含E E的的BorelBorel集集GG，使得它们有相同的外测度？，使得它们有相同的外测度？问题问题5 5：对上述：对上述

6、E E，能否找到包含在，能否找到包含在E E中的中的BorelBorel集集F F，使得它们具有相同的外测度？，使得它们具有相同的外测度？如果如果E E是可测集，情形又如何？是可测集，情形又如何？ Lebesgue可测集的结构 Borel集类已包含了我们经常见到的Rn中的大多数集合，然而，的确仍有不少集合不是Borel集，如本章第一节中构造的不可测集显然不可能是Borel集。那么，是否存在Lebesgue可测但却不是Borel集的集合呢？有的，而且很多，我们已经看到，如果一个集合的外测度为0，则它一定可测，但是外测度为0的集合却未 必是Borel集，要证明这件事并不困难，比如，可以证明直线上B

7、orel集全体的势为2c。事实上，Lebesgue可测集的全体显然有不大于2c的势，只需证明其势不小于2c就可以了，我们已经知道Cantor集是一个零测集，且有势c，因而它的一切子集也是零测集，且其子集全体有势2c。由此立知，Lebesgue可测集全体 远比Borel集全体的势力，上面的证明同时告诉我们，Cantor的一切子集中，确有很多不是Borel集，但它们都是Lebesgue可测集。 现在我们来看看，Lebesgue可测集与Borel集差别有多少，假设E是一个可测集，且不妨设 ，则对任意，存在可数个开长方体 ，使 mE), 2 , 1( ,)( iIni,)(1EInii 且由此易知事实

8、上,由于故由及, |1|1)(1)( iniiniImEnInEImnii1)()(1 mEImmEImniinii )()()(1)(1 1)()(1|)(ininiiIIm nImEImininii1|)(1)()(1 易得记 则Gn是开集，从而是G型集，而且 ，由立知 是Borel集与一个Lebesgue零测集之差。类似的办法可以证明，能找到Borel集 ，使 ，即E也 nEImmii/1)()(1 )(1miinIG niGG 1EG nEGEGmn/1)()( )(EGm EF 0)( FEm 是Borel集与一个Lebesgue零测集之并。换言之，对任一Lebesgue可测集E，都

9、可以找到包含于其中的Borel集，使它们有相同的测度，也可以找到包含E的Borel集，使它们也有相同的测度。因此，Borel集与Lebesgue可测集的差别在于零测集上。问题问题6：问题：问题4中能否使中能否使G-E的外测度为零？的外测度为零？为什么？举例说明。为什么？举例说明。 即使 不是可测集，我们也可以找到Borel集，使它们有相同的外测度。这就是下面的 定理2 设 ，则存在Rn中的G8型集G，使 且 。证明：若 ，则显然可找到这样的G，（比如Rn本身就是其中一个）。故不妨设 ，此时 类假刚才的讨论， 可nRE nRE ,EG EmmG* Em* Em*以找到开集Gn，使且令，令G即为所

10、求。证毕。 应该指出的是，如果E是不可测集，虽然可以找到Borel集 ，使 ，但的外测度不可能等于0，否则E=G-（G-E）将是可测集。EGn nEmmGn/10* nnGG 1EG EmmG* EG 定理3 若 是可测集，则有Rn中的 Borel集F，使 且证明：若E无界，则可作一列长方体 ，使 且 ，于是 是一列有界可测集列，且 ，从而 nRE EF 0)(, FEmmEmFnI1 nnIIEInn 1EIEnn 1 nnEE)()(1EImEmnn 若对每一En，可找到Borel集 ，使且则令，则，于是)(1EImnn )(limEImnn nnEF ,nnmEmF , 0)( nnFE

11、mnnnnmFmEmE limlimnnFF 1EF nnnnmFmFmFmE limlim进而 ；另一方面，由于故 。因此，我们只需就E是有界可测集情形证明就可以了。若E是有界的，则存在长方体 ，记 ，则S也是可测集，且由定理2知存在Borel集G，使 ，且 mEmF nnnnnFEFE 11)( 110)()(nnnnnFEmFEmEI EIS ,|mEImS SG ，令，则F仍是Borel集，且 ，显然注意故。证毕。0)(, SGmmSmGIGFc EF 。mEmF mSmImGmIGImmF )(mEmEmImI )(0)(, FEmmFmE习题二1、证明有理数全体是R1中可测集，且测

12、 度为0。2、证明若E是Rn中有界集，则3、至少含有一个内点的集合之外测度能否 为零？4、在a,b上能否作一个测度为ba但又 异开a,b的闭集？。 Em*5、若将1定理6中条件 去掉，等式是否仍成立？6、设E1、E2、是0，1中具有下述性 质的可测集列：对任意 ，从这个 序列中可找到这样的集Ek，使 证明，这些集合之并的测度等于1。7、证明对任意可测集A，B，下式恒成立。 ”“ )(0nknEm nnnnmEEm lim)lim(0 。 1kmE8、设A1、A2是0，1中两个可测集且满足， 证明：9、设A1、A2、A3 是0，1中三个可测集 且满足 ,证明： 。mBmABAmBAm )()(1

13、21 mAmA。0)(21 AAm2321 mAmAmA。0)(321 AAAm10、证明存在开集G，使11、设E是R1中的不可测集，A是R1中的 零测集，证明： 不可测。12、若E是0，1中的零测集，其闭包 是否也为零测集？13、证明：若E是可测集，则对任意 存在 型集 ，使 。mGGm CAE E0 G6,FEG 14、证明：位于0 x轴上的任何集E（甚至 它在直线上为不可测集）在0 xy平面 上可测且其测度为零。15、证明有界集E可测当且仅当对任意 ， 存在开集 ，闭集 ，使。 )(,)(FGmFEm0 EG EF 。 )(FGm16、证明；若 是单调递增集列（不 一定可测），则17、证

14、明Rn中的Borel集类B有连续势。18、证明对任意闭集F，都可找到完备集 ，使19、证明只要 ，就一定可以找到 使对任意 都有nmRE 。mmmmEmEm*1lim)(* FF 1。mFmF 10 mE，E 0 。0),(0( Em （提示：利于闭集套定理）20、如果 可测， ，记 证明 也可测，且21、设 是零测集，证明 是零测集。nRE 0 a),( | ),(11ExxaxaxaEnn aE.)(mEaaEmn 12,)(RExxf | )()(ExxfEf 22、设 可测， 是含x0的任 一开区间，若下列极限存在 ，则称d是E 在点x0的密度，显然 ，如果 称x0 是E的全密点。 （i）点a是否是 的有密度的点？ （即d0）1RE ),( ,baExo )/(),(lim0),(abEbamdxba 10 d1 d,baE (ii)作一集合E，使它在给定点x0具有 密度，且密度等于事先给定