§4.7由系统函数零、极点分布决定时域特性(精)

1、序言序言H(s)零、极点与零、极点与h(t)波形特征波形特征H(s) 、E(s)的极点分布与自由响的极点分布与自由响应、强迫响应特性的对应应、强迫响应特性的对应 一序言一序言 冲激响应冲激响应h(t)与系统函数与系统函数H(s) 从时域和变换域两方从时域和变换域两方面表征了同一系统的本性。面表征了同一系统的本性。 在在s域分析中，借助系统函数在域分析中，借助系统函数在s平面零点与极点平面零点与极点分布的研究，可以简明、直观地给出系统响应的许多分布的研究，可以简明、直观地给出系统响应的许多规律。系统的时域、频域特性集中地以其系统函数的规律。系统的时域、频域特性集中地以其系统函数的零、极点分布表现

2、出来。零、极点分布表现出来。 主要优点：主要优点：1可以预言系统的时域特性；可以预言系统的时域特性；2便于划分系统的各个分量便于划分系统的各个分量 （自由强迫，瞬态稳态）；（自由强迫，瞬态稳态）；3可以用来说明系统的正弦稳态特性。可以用来说明系统的正弦稳态特性。二二H(s)零、极点与零、极点与h(t)波形特征的对应波形特征的对应)()()()()()()()()(2121nkmjpspspspszszszszsKsBsAsH K 系系统统函函数数的的零零点点 ,21nzzz 系系统统函函数数的的极极点点 ,21nppp 在在s平面上，画出平面上，画出H(s)的零极点图：的零极点图： 极点：用极

3、点：用表示，零点：用表示，零点：用表示表示 mjjzs1)( nkkps1)(1系统函数的零、极点2H(s)极点分布与原函数的对应关系 jO 0j0j 几种典型情况几种典型情况一阶极点在原点，在原点，0,1)(1 pssH)()()(1tusHLth apassH 1,1)( , 0),(e)(, , 0),(e)(, , 0指数增加指数增加在右实轴上在右实轴上指数衰减指数衰减在左实轴上在左实轴上 atuthatuthaatat在虚轴上在虚轴上,j,)(122pssH )(sin)(，等幅振荡，等幅振荡ttuth ,)()(22ssH 共轭根共轭根,j,j21 pp当当 ，极点在左半平面，衰减

4、振荡，极点在左半平面，衰减振荡当当 ，极点在右半平面，增幅振荡，极点在右半平面，增幅振荡0 0 二阶极点,1)(2极点在原点极点在原点ssH )(,),()(thtttuth极点在实轴上，极点在实轴上，,)(1)(2assH 0)(, 0),(e)( thttuttht 在虚轴上，在虚轴上，,)(2)(222sssH 增幅振荡增幅振荡 )(,),(sin)(thtttutth , t)(sH 有实际物理意义的物理系统都是有实际物理意义的物理系统都是因果系统因果系统，即随，即随 ， 这表明的极点位于这表明的极点位于左左半平面，由此可知，半平面，由此可知，收敛域收敛域包括虚轴包括虚轴， 均存在，两

5、者可通用，只均存在，两者可通用，只需需 将即可。将即可。 )(j FsF和和 js 0th三H(s) 、E(s)的极点分布与自由响应、强迫响应特性的对应激励：激励：)()(sEte vkkullPszssE11)()()(系统函数：系统函数：)()(sHth niimjjPszssH11)()()(响应：响应：)()(sRtr niimjjpszs11)()( vkkkpsA1 )()(1sRLtr自由响应分量自由响应分量 强制响应分量强制响应分量 vkkullPszs11)()( )(sR niiipsA1 )(sR vktpktuAk1)(e nitpituAi1)(e讨论自由响应自由响应

6、的极点只由系统的极点只由系统本身的特性本身的特性所决定，与激励所决定，与激励函数的形式无关，然而系数函数的形式无关，然而系数 都有关。都有关。 sEsHAAki,与与响应函数响应函数r(t)由两部分组成：由两部分组成：系统函数系统函数的极点的极点自由自由响应分量；响应分量；激励函数激励函数的极点的极点强迫强迫响应分量。响应分量。定义定义系统行列式（特征方程）的根为系统的系统行列式（特征方程）的根为系统的固有频率固有频率（或称（或称“自然频率自然频率”、“自由频率自由频率”）。）。H(s)的极点都是系统的固有频率；的极点都是系统的固有频率；H(s)零、极点相消时，某些固有频率将丢失零、极点相消时

7、，某些固有频率将丢失。暂态响应和稳态响应瞬态响应瞬态响应是指激励信号接入以后，完全响应中瞬时出现是指激励信号接入以后，完全响应中瞬时出现的有关成分，随着的有关成分，随着t增大，将消失。增大，将消失。稳态响应稳态响应完全响应瞬态响应完全响应瞬态响应左半平面的极点产生的函数项和瞬态响应对应左半平面的极点产生的函数项和瞬态响应对应。例4-7-1)2j)(2j()1()1j1)(1j1()(2 sssssssH极点：极点：, 121 pp零点：零点： 4z j0j 1j 12j 2j1 画出零极点图：画出零极点图：, 2j3 p2j4 p, 01 z, 1j12 z, 1j13 z例4-7-2，教材习

8、题2-6(1)给定系统微分方程给定系统微分方程 tettetrttrttr3dd2dd3dd22 20,10/ rrtute，起起始始状状态态为为激激励励试分别求它们的完全响应，并指出其零输入响应，零状态试分别求它们的完全响应，并指出其零输入响应，零状态响应，自由响应，强迫响应各分量，暂态响应分量和稳态响应，自由响应，强迫响应各分量，暂态响应分量和稳态响应分量。响应分量。 sEessEsRrssRrsrsRs30203002 解：解：方程两端取拉氏变换方程两端取拉氏变换零输入响应零状态响应 03003232rrsrsEssRss则则 2303002zi ssrrsrsR 2332zs sssE

9、ssR 0 e3e4)(2zi ttrtt:即零状态响应为即零状态响应为 )0( 5 . 1e2e5 . 0)(2zs ttrtt:零输入响应为零输入响应为稳态响应暂态响应，自由响应强迫响应 ssR15 . 1 215 . 2112 ss)0( e5 . 2 e2 2 ttt极点位于极点位于s s左半平面左半平面 5 . 1)( tr极点位于虚轴极点位于虚轴暂态响应暂态响应稳态响应稳态响应 ssR15 . 1 215 . 2112 ss)0( e5 . 2 e2 2 tttH(s)的极点的极点 5 . 1)( trE(s)的极点的极点自由响应自由响应强迫响应强迫响应 定义定义几种常见的滤波器几

10、种常见的滤波器根据根据H(s)零极图绘制系统的频响特性曲线零极图绘制系统的频响特性曲线一定义 所谓所谓“频响特性频响特性”是指系统在正弦信号激励下稳态响是指系统在正弦信号激励下稳态响应随频率的变化情况。应随频率的变化情况。 H j前提：稳定的因果系统。前提：稳定的因果系统。 有实际意义的物理系统都是稳定的因果系统。有实际意义的物理系统都是稳定的因果系统。 0lim tht时域：时域：频域：频域：H(s)的全部极点落在的全部极点落在s左半平面。左半平面。 其收敛域包括虚轴：其收敛域包括虚轴：拉氏变换拉氏变换 存在存在傅里叶变换傅里叶变换 存在存在 tEtesH0msin ，激励源，激励源设系统函

11、数为设系统函数为 000mmmsin tHEtr 0j000ejj HHssH 其中其中 HHssH jejjj H j H(s)和频响特性的关系频响特性频响特性系统的稳态响应系统的稳态响应幅频特性幅频特性相相频特性（相移特性）频特性（相移特性）二几种常见的滤波器O jH c O jH c O jH 1c 2c O jH 1c 低低通通滤滤波波器器高高通通滤滤波波器器带带通通滤滤波波器器带带阻阻滤滤波波器器通通带带阻阻带带截截止止频频率率2c 三根据H(s)零极图绘制系统的频响特性曲线 niimjjsniimjjspzKPszsKsHH11j11jjjjjjjNzjej iiiMPjej 平面

12、内。平面内。矢量图画于复矢量图画于复都看作两矢量之差，将都看作两矢量之差，将、将将 -j jijp z 有有关关。的的特特性性与与零零极极点点的的位位置置可可见见H j令分子中每一项令分子中每一项分母中每一项分母中每一项画零极点图OjzjjNj jiMipjzjNjiO发发生生变变化化。都都、和和、则则矢矢量量变变是是滑滑动动矢矢量量，iijjMN , jjiipMi jej ：极极点点jjzNj jej ：零零点点 nmnmMMMNNNKHjj2j1jj2j1eeeeeej2121 nmnmMMMNNNK 2121j21j21ee nmMMMNNNKH2121j nm 2121 当当 沿虚轴

13、移动时，各复数因子沿虚轴移动时，各复数因子( (矢量矢量) )的模和辐角都的模和辐角都随之改变，于是得出幅频特性曲线和相频特性曲线。随之改变，于是得出幅频特性曲线和相频特性曲线。 由矢量图确定频率响应特性例4-8-1确定图示系统的频响特性。确定图示系统的频响特性。sC1R sV1 sV2 sCRRsVsVsH1)()(12 RCsssH1)( 11j1j1ee1jjjMNRCH O RC1 j1M1N1 1 01 z零点：零点：RCp11 极点：极点：频响特性分析频响特性分析 H j221 RC 1j21j10j0HHRCH CRarctan2 04120RC O RC1 j1M1N1 1 0

14、24681000.51024681000.511.52例4-8-2ORC1 j1M1CR tv1 tv2研究下图所示研究下图所示RCRC低通滤波网络低通滤波网络的频响特性的频响特性。 VVHjjj12 写出网络转移函数表达式写出网络转移函数表达式 RCsRCsVsVsH11112解解: : VVMRC j12j1ee111 频响特性 VVMRCH j12j1ee11j1 ORC1 j1M1ORC112VV121ORC1 45 90 112,11MRCVV式中：式中： 处处于于低低通通网网络络，截截止止频频率率位位RC1 例4-8-3 。源，且源，且是受控电压是受控电压注意，图中注意，图中的频响

15、特性的频响特性系统系统研究右图所示二阶研究右图所示二阶2211312,jjjCRCRkvVVHRC 其转移函数为其转移函数为 221111121111CRsskCRsCRsVsVsH 相当于低通与高通级联构成的带通系统。相当于低通与高通级联构成的带通系统。 解：解：低通滤波器低通滤波器高通滤波器高通滤波器 1R1C2C2R3kv tv2 tv1 tv3频响特性频响特性Oj1M1 111CR 2M221CR 2 1N1 01 11222111 zCRpCRp零点：零点：，极点：极点：2211CRCRk2k12VV221CR 111CR O O 9090 4545 全通网络全通网络最小相移网络最小

16、相移网络级联级联一全通网络 所谓全通是指它的幅频特性为常数，对于全部频率的所谓全通是指它的幅频特性为常数，对于全部频率的正弦信号都能按同样的幅度传输系数通过。正弦信号都能按同样的幅度传输系数通过。 零、极点分布零、极点分布 2211331M1N2N3N2M3M3p2p1p1z3z2zj极点位于左半平面，极点位于左半平面，零点位于右半平面，零点位于右半平面，零点与极点对于虚轴零点与极点对于虚轴互为镜像互为镜像 频率特性频率特性幅频特性幅频特性常数常数相频特性相频特性不受约束不受约束全通网络可以保证不影响待传送信号的幅度频谱特性，全通网络可以保证不影响待传送信号的幅度频谱特性，只改变信号的相位频谱

17、特性，在传输系统中常用来进行只改变信号的相位频谱特性，在传输系统中常用来进行相位校正，例如，作相位均衡器或移相器。相位校正，例如，作相位均衡器或移相器。 321321321321jj321321eejKMMMNNNKH 由于由于N1N2N3与与M1M2M3相消，幅频特性等于常数相消，幅频特性等于常数K，即，即 KH j二最小相移网络 j12122j2j 1j1j 1p2p1z2zO1 1 j12122j2j 1 j1j 3p4p3z4z移移网网络络”。轴轴的的网网络络称称为为“最最小小相相零零点点仅仅位位于于左左半半平平面面或或 j 若网络函数在右半平面有一个或多个零点，就称为若网络函数在右半

18、平面有一个或多个零点，就称为“非非最小相移函数最小相移函数”，这类网络称为，这类网络称为“非最小相移网络非最小相移网络”。 3 3 33113131 O三级联1z2zjjjj Ojj1z2zjjOjjj j 非最小相移网络可代之以最小相移网络与全通网络的非最小相移网络可代之以最小相移网络与全通网络的级联。级联。 jjjj Ojjj 非最小相移网络非最小相移网络最小相移网络最小相移网络全通网络全通网络 全通函数全通函数最小相移函数最小相移函数移函数移函数非最小相非最小相222222minjjjjjjssssHsH 引言引言定义（定义（BIBO）证明证明由由H(s)的极点位置判断系统稳定性的极点位

19、置判断系统稳定性一引言一引言某连续时间系统的系统函数某连续时间系统的系统函数 2001. 011 sssH当输入为当输入为u(t)时，系统的零状态响应的象函数为时，系统的零状态响应的象函数为 2005. 011005. 01zs ssssR tutrtt2zse005. 0e1 1005. 0但但t很大时，这个正指数项超很大时，这个正指数项超过其他项并随着过其他项并随着t 的增大而不的增大而不断增大断增大 续 实际的系统实际的系统不会是完全线性不会是完全线性的，这样，很大的信号的，这样，很大的信号将使设备工作在将使设备工作在非线性非线性部分，放大器的晶体管会饱和或部分，放大器的晶体管会饱和或截

20、止，一个机械系统可能停车或发生故障等。这不仅使截止，一个机械系统可能停车或发生故障等。这不仅使系统不能正常工作，有时还会发生损坏危险，如烧毁设系统不能正常工作，有时还会发生损坏危险，如烧毁设备等。备等。 稳定性是系统稳定性是系统自身的性质自身的性质之一，系统是否稳定之一，系统是否稳定与激与激励信号的情况无关励信号的情况无关。冲激响应和。冲激响应和h(t)、H(s)系统函数系统函数 从两方面表征了同一系统的本性，所以能从两个方面确从两方面表征了同一系统的本性，所以能从两个方面确定系统的稳定性。定系统的稳定性。二定义（BIBO） 一个系统，如果对任意的有界输入，其零状态响应一个系统，如果对任意的有

21、界输入，其零状态响应也是也是有界有界的，则称该系统有界输入有界输出的，则称该系统有界输入有界输出（BIBO）稳定的系统，简称稳定的系统，简称稳定系统稳定系统。对所有的激励信号对所有的激励信号e(t) eMte rMtr 其响应其响应r(t)满足满足 则称该系统是稳定的。式中，则称该系统是稳定的。式中，稳定系统的充分必要条件是稳定系统的充分必要条件是（绝对可积条件）（绝对可积条件）：为为有有界界正正值值。re,MM Mtth d为为有有界界正正值值。M三证明对任意有界输入对任意有界输入e(t)，系统的零状态响应为：，系统的零状态响应为： d tehtr d tehtr 的双边拉式变换为的双边拉式

22、变换为tvc 01 11 RCsCRsCsEsHsEsVc 01 11 RCsCRsCsE求得求得 01 e1RCtuEtEutvRCc每一步都应写明变换式的收敛域。每一步都应写明变换式的收敛域。 Ot teEOt tvCE 演演变变为为拉拉氏氏变变换换作作傅傅氏氏变变换换对对其其乘乘以以一一个个衰衰减减因因子子可可积积条条件件不不满满足足绝绝对对是是针针对对时时我我们们在在引引出出拉拉氏氏变变换换 , e , , ttf )(e)()(jstsFtutfFtfL 由此可以得到傅氏变换与拉氏变换的关系由此可以得到傅氏变换与拉氏变换的关系右右半半平平面面收收敛敛边边界界落落于于时时当当 , 00

23、s 左左半半平平面面收收敛敛边边界界落落于于时时当当s,00 收收敛敛边边界界位位于于虚虚轴轴时时当当,00 引言傅氏变换与拉氏变换的关系 tsj双双边边拉拉氏氏变变换换 tsj傅傅氏氏变变换换 ts0j单边拉氏变换单边拉氏变换0)(0 tft当当0 )j(estutfFtfLt 一Oj平平面面右右半半边边收收敛敛边边界界落落于于时时当当 , 00s )0()(e)( tutft ssF 1 : 其其拉拉氏氏变变换换。求求不不存存在在，不不能能由由)()()(FsFF : 收敛域收敛域Ot tute二Oj Ot tut e平平面面左左半半边边收收敛敛边边界界落落于于时时当当s,00 )0()(

24、e tutft衰减函数，傅氏变换是存在衰减函数，傅氏变换是存在: : 1ssF j1)(jF :收收敛敛域域 ssFFj)(j 三收收敛敛边边界界位位于于虚虚轴轴时时当当,00 异异函函数数项项。因因为为傅傅氏氏变变换换中中包包括括奇奇关关系系之之间间不不再再是是简简单单的的置置换换与与是是存存在在的的，,sFFsF tutf ， 1ssF j1)()(j F例如：例如： 当初求阶跃函数的傅氏变换，不是用当初求阶跃函数的傅氏变换，不是用经典法经典法( (定义式定义式) )，而是用，而是用取极限取极限的方法（矩形脉冲的周期的方法（矩形脉冲的周期为无穷大）引入了为无穷大）引入了冲激函数冲激函数而得到的。而得到的。 ?jFsF求求那那么么如如何何由由)(j,j)()(为为极极点点nnnnsksFtfL )(| )()(j nnsksFtfF ：，将将其其展展开开成成部部分分分分式式出出发发由由 sF对于只有对于只有一阶一阶极点的情况，极点位于极点的情况，极点位于虚轴虚轴 ?FsF求求那么如何由那么如何由 ssF j 代代中以中以 . , j ksn而冲激函数之强度为而冲激函数之强度为点相对应点相对应每个冲激