（整理版）第六章数列第一部分三高考题荟萃

1、【3年高考2年模拟】第六章数列 第一局部 三年高考题荟萃高考 数列一、选择题1辽宁文在等差数列an中,a4+a8=16,那么a2+a10=a12b16c20d242 辽宁理在等差数列an中,a4+a8=16,那么该数列前11项和s11=a58b88c143d1763 四川文设函数,是公差不为0的等差数列,那么a0b7c14d214 四川理设函数,是公差为的等差数列,那么abc d5 上海文假设,那么在中,正数的个数是a16.b72.c86.d100.6 上海理设,. 在中,正数的个数是a25.b50.c75.d100.7 课标文数列满足,那么的前60项和为a3690b3660c1845d183

2、08江西文观察以下事实|x|+|y|=1的不同整数解(x,y)的个数为4 , |x|+|y|=2的不同整数解(x,y)的个数为8, |x|+|y|=3的不同整数解(x,y)的个数为12 .那么|x|+|y|=20的不同整数解(x,y)的个数为a76b80c86d929 湖北文定义在上的函数,如果对于任意给定的等比数列仍是等比数列,那么称为“保等比数列函数.现有定义在上的如下函数:;.那么其中是“保等比数列函数的的序号为abcd10 福建文数列的通项公式,其前项和为,那么等于a1006b2012 c503d011 大纲文数列的前项和为,那么abcd12 北京文理某棵果树前年得总产量与之间的关系如

3、下图,从目前记录的结果看,前年的年平均产量最高,的值为a5b7c9d11 13北京文ab c假设,那么d假设,那么14安徽文公比为2的等比数列 的各项都是正数,且 =16,那么abcd15 新课标理为等比数列,那么abcd16 浙江理设s n是公差为d(d0)的无穷等差数列a n的前n错误的选项是a假设d<0,那么数列s n有最大项 b假设数列s n有最大项,那么d<0 c假设数列s n是递增数列,那么对任意的nn*,均有s n>0 d假设对任意的nn*,均有s n>0,那么数列s n是递增数列17 重庆理在等差数列中,那么的前5项和=a7b15c20d25 18 江西

4、理²+b2=3,a3+b3=4 ,a4+b4=7,a5+b5=11,那么a10+b10=a28b76c123d19919 湖北理定义在上的函数,如果对于任意给定的等比数列, 仍是等比数列,那么称为“保等比数列函数. 现有定义在上的如下函数:; ; ; .那么其中是“保等比数列函数的的序号为a b c d 1 0福建理等差数列中,那么数列的公差为a1b2c3d421大纲理等差数列的前项和为,那么数列的前100项和为abcd22安徽理公比为等比数列的各项都是正数,且,那么abcd二、填空题1福建理得三边长成公比为的等比数列,那么其最大角的余弦值为_.2重庆文首项为1,公比为2的等比数列的

5、前4项和_3上海文.各项均为正数的数列满足,.假设,那么的值是_.4辽宁文等比数列an1>0,且2(a n+a n+2)=5a n+1 ,那么数列an的公比q = _.5课标文等比数列的前n项和为sn,假设s3+3s2=0,那么公比=_6江西文等比数列的前项和为,公比不为1。假设,且对任意的都有,那么_。7湖南文对于,将表示为,当时,当时为0或1,定义如下:在的上述表示中,当,中等于1的个数为奇数时,;否那么。(1)_ _;(2)记为数列中第个为0的项与第个为0的项之间的项数,那么的最大值是_.8湖北文传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数.他们研究过如下图的

6、三角形数:将三角形数1,3, 6,10,记为数列,将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列,可以推测:()是数列中的第_项; ()_.(用表示)9广东文(数列)假设等比数列满足,那么_.10北京文为等差数列,为其前,那么_;=_.11新课标理数列满足,那么的前项和为_12浙江理设公比为q(q>0)的等比数列a n的前n项和为s n.假设 ,那么q=_.13上海春等差数列的首项及公差均为正数,令当是数列的最大项时,_.14辽宁理等比数列为递增数列,且,那么数列的通项公式_.15江西理设数列都是等差数列,假设,那么_。16湖南理设n=2n(nn*,n2),将n个数x1,x2,xn

7、依次放入编号为1,2,n的n个位置,得到排列p0=x1x2xn.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出,并按原顺序依次放入对应的前和后个位置,得到排列p1=x1x3xn-1x2x4xn,将此操作称为c变换,将p1分成两段,每段个数,并对每段作c变换,得到;当2in-2时,将pi分成2i段,每段个数,并对每段c变换,得到pi+1,例如,当n=8时,p2=x1x5x3x7x2x6x4x8,此时x7位于p2中的第4个位置.(1)当n=16时,x7位于p2中的第_个位置;(2)当n=2n(n8)时,x173位于p4中的第_个位置.17湖北理()4位回文数有_个;()位回文数有_个.18广东理(数列)

8、递增的等差数列满足,那么_.19福建理数列的通项公式,前项和为,那么_.20北京理为等差数列,为其前,那么_.三、解答题1重庆文(本小题总分值13分,()小问6分,()小问7分)为等差数列,且()求数列的通项公式;()记的前项和为,假设成等比数列,求正整数的值.2浙江文数列an的前n项和为sn,且sn=,nn,数列bn满足an=4log2bn+3,nn.(1)求an,bn;(2)求数列an·bn的前n项和tn.3天津文(此题总分值13分)是等差数列,其前项和为,是等比数列,且.(i)求数列与的通项公式;(ii)记()证明:.4四川文为正实数,为自然数,抛物线与轴正半轴相交于点,设为该

9、抛物线在点处的切线在轴上的截距.()用和表示;()求对所有都有成立的的最小值;()当时,比拟与的大小,并说明理由.5四川文数列的前项和为,常数,且对一切正整数都成立.()求数列的通项公式;()设,当为何值时,数列的前项和最大?6上海文对于项数为m的有穷数列数集,记(k=1,2,m),即为中的最大值,并称数列是的控制数列.如1,3,2,5,5的控制数列是1，3,3,5,5.(1)假设各项均为正整数的数列的控制数列为2,3,4,5,5,写出所有的;(2)设是的控制数列,满足(c为常数,k=1,2,m).求证:(k=1,2,m);(3)设m=100,常数.假设,是的控制数列,求.7陕西文等比数列的公

10、比为q=-.(1)假设=,求数列的前n项和;()证明:对任意,成等差数列.8山东文等差数列的前5项和为105,且.()求数列的通项公式;()对任意,将数列中不大于的项的个数记为.求数列的前m项和.9江西文数列|an|的前n项和(其中c,k为常数),且a2=4,a6=8a3(1)求an;(2)求数列nan的前n项和tn.10湖南文某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金万元,将其投入生产,到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始,每年年底上缴资金dn年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元.()用d表示a1,a2,并写出

11、与an的关系式;()假设公司希望经过m(m3)年使企业的剩余资金为4000万元,试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示).11、湖北文等差数列前三项的和为,前三项的积为.(1)求等差数列的通项公式;(2)假设成等比数列,求数列的前项和.12广东文(数列)设数列的前项和为,数列的前项和为,满足,.()求的值;()求数列的通项公式.13福建文在等差数列和等比数列中,的前10项和.()求和;()现分别从和的前3项中各随机抽取一项,写出相应的根本领件,并求这两项的值相等的概率.14大纲文数列中,前项和.()求;()求的通项公式.15安徽文设函数的所有正的极小值点从小到大排成的数列为.()求数列;()设

12、的前项和为,求.16辽宁理在中,角a、b、c的对边分别为a,b,c.角a,b,c成等差数列.()求的值;()边a,b,c成等比数列,求的值.17山东文(本小题总分值12分)在abc中,内角所对的边分别为,.()求证:成等比数列;()假设,求的面积s.18辽宁文在中,角a、b、c的对边分别为a,b,c.角a,b,c成等差数列.()求的值;()边a,b,c成等比数列,求的值.19天津理是等差数列,其前项和为,是等比数列,且=,.()求数列与的通项公式;()记,证明.20新课标理分别为三个内角的对边,(1)求 (2)假设,的面积为;求.21重庆理(本小题总分值12分,(i)小问5分,(ii)小问7分

13、.)设数列的前项和满足,其中.(i)求证:是首项为1的等比数列;(ii)假设,求证:,并给出等号成立的充要条件.22四川理为正实数,为自然数,抛物线与轴正半轴相交于点,设为该抛物线在点处的切线在轴上的截距.()用和表示;()求对所有都有成立的的最小值;()当时,比拟与的大小,并说明理由.23四川理数列的前项和为,且对一切正整数都成立.()求,的值;()设,数列的前项和为,当为何值时,最大?并求出的最大值.24上海理对于数集,其中,定义向量集. 假设对于任意,存在,使得,那么称x具有性质p. 例如具有性质p.(1)假设x>2,且,求x的值;(2)假设x具有性质p,求证:1Îx,且

14、当xn>1时,x1=1;(3)假设x具有性质p,且x1=1,x2=q(q为常数),求有穷数列的通项公式.25上海春此题共有3个小题,第1小题总分值4分,第2小题总分值6分,第3小题总分值6分.数列满足(1)设是公差为时,求的值;(2)设求正整数使得一切均有(3)设当时,求数列的通项公式.26陕西理设的公比不为1的等比数列,其前项和为,且成等差数列.(1)求数列的公比;(2)证明:对任意,成等差数列.27山东理在等差数列中,.()求数列的通项公式;()对任意,将数列中落入区间内的项的个数记为,求数列 的前项和.28江西理数列an的前n项和,且sn的最大值为8.(1)确定常数k,求an;(2

15、)求数列的前n项和tn.29江苏设集合,.记为同时满足以下条件的集合的个数:;假设,那么;假设,那么.(1)求;(2)求的解析式(用表示).30江苏各项均为正数的两个数列和满足:,(1)设,求证:数列是等差数列;(2)设,且是等比数列,求和的值.31湖南理数列an的各项均为正数,记a(n)=a1+a2+an,b(n)=a2+a3+an+1,c(n)=a3+a4+an+2,n=1,2。(1)假设a1=1,a2=5,且对任意nn,三个数a(n),b(n),c(n)组成等差数列,求数列 an 的通项公式.(2)证明:数列 an 是公比为q的等比数列的充分必要条件是:对任意,三个数a(n),b(n),

16、c(n)组成公比为q的等比数列.32湖北理等差数列前三项的和为,前三项的积为.()求等差数列的通项公式;()假设,成等比数列,求数列的前项和.23广东理设数列的前项和为,满足,且、成等差数列.()求的值;()求数列的通项公式;()证明:对一切正整数,有.34大纲理(注意:在试卷上作答无效)函数.定义数列如下:是过两点的直线与轴交点的横坐标.(1)证明:;(2)求数列的通项公式.35北京理设a是由个实数组成的行为所有这样的数表构成的集合.对于，记为a的第行各数之和，为a的第列各数之和；记为，中的最小值.1对如下数表a,求的值；11-12设数表a=形如111-1求的最大值；3给定正整数，对于所有的

17、as(2，),求的最大值。36安徽理数列满足:(i)证明:数列是单调递减数列的充分必要条件是(ii)求的取值范围,使数列是单调递增数列.参考答案一、选择题1. 【答案】b【解析】 ,应选b 【点评】此题主要考查等差数列的通项公式、同时考查运算求解能力,属于容易题. 2、 【答案】b 【解析】在等差数列中,答案为b 【点评】此题主要考查等差数列的通项公式、性质及其前n项和公式,同时考查运算求解能力,属于中档题.解答时利用等差数列的性质快速又准确. 3. 答案d 解析是公差不为0的等差数列,且 点评本小题考查的知识点较为综合,既考查了高次函数的性质又考查了等差数列性质的应用,解决此类问题必须要敢于

18、尝试,并需要认真观察其特点. 4、 答案d 解析数列an是公差为的等差数列,且 即 得 点评此题难度较大,综合性很强.突出考查了等差数列性质和三角函数性质的综合使用,需考生加强知识系统、网络化学习. 另外,隐蔽性较强,需要考生具备一定的观察能力. 5. xya2a3a4a6a5a8a9a13a12a11a10a7a14a解析 令,那么,当1n14时,画出角序列na终边如图, 其终边两两关于x轴对称,故有均为正数, 而,由周期性可知,当14k-13n14k时,sn>0, 而,其中k=1,2,7,所以在中有14个为0,其余 都是正数,即正数共有100-14=86个,选c. 6、 xya2a1

19、2a13a24a23a26a27a49a48a38a37a解析 对于1k25,ak0(唯a25=0),所以sk(1k25)都为正数. 当26k49时,令,那么,画出ka终边如右, 其终边两两关于x轴对称,即有, 所以+0 + =+ +,其中k=26,27,49,此时, 所以,又,所以, 从而当k=26,27,49时,sk都是正数,s50=s49+a50=s49+0=s49>0. 对于k从51到100的情况同上可知sk都是正数. 综上,可选d. 评注 此题中数列难于求和,可通过数列中项的正、负匹配来分析sk的符号,为此,需借助分类讨论、数形结合、先局部再整体等数学思想.而重中之重,是看清楚

20、角序列的终边的对称性,此为攻题之关键. 7【解析】【法1】有题设知 =1, =3 =5 =7,=9, =11,=13,=15,=17,=19, -得=2,+得=8,同理可得=2,=24,=2,=40, ,是各项均为2的常数列,是首项为8,公差为16的等差数列, 的前60项和为=1830. 【法2】可证明: 8. 【答案】b 【解析】此题主要为数列的应用题,观察可得不同整数解的个数可以构成一个首先为4,公差为4的等差数列,那么所求为第20项,可计算得结果. 9. c 【解析】设数列的公比为.对于,是常数,故符合条件;对于,不是常数,故不符合条件;对于, ,是常数,故符合条件;对于, ,不是常数,

21、故不符合条件.由“保等比数列函数的定义知应选c. 【点评】此题考查等比数列的新应用,函数的概念.对于创新性问题,首先要读懂题意,然后再去利用定义求解,抓住实质是关键.来年需要注意数列的通项,等比中项的性质等. 10. 【答案】a 【解析】由,可得 【考点定位】此题主要考察数列的项、前n项和,考查数列求和能力,此类问题关键是并项求和. 11. 答案b 【解析】由可知,当时得 当时,有 -可得即,故该数列是从第二项起以为首项,以为公比的等比数列,故数列通项公式为, 故当时, 当时,应选答案b 12. 【答案】c 【解析】由图可知6,7,8,9这几年增长最快,超过平均值,所以应该参加,因此选c. 【

22、考点定位】 本小题知识点考查很灵活,要根据图像识别看出变化趋势,判断变化速度可以用导数来解,当然此题假设利用数学估计过于复杂,最好从感觉出发,由于目的是使平均产量最高,就需要随着的增大,变化超过平均值的参加,随着增大,变化缺乏平均值,故舍去. 13. 【答案】b 【解析】当时,可知,所以a选项错误;当时,c选项错误;当时,与d选项矛盾.因此根据均值定理可知b选项正确. 【考点定位】本小题主要考查的是等比数列的根本概念,其中还涉及了均值不等式的知识,如果对于等比数列的根本概念(公比的符号问题)理解不清,也容易错选,当然最好选择题用排除法来做. 14. 【解析】选 15、 【解析】选,或 16、

23、【答案】c 【解析】选项c显然是错的,举出反例:1,0,1,2,3,.满足数列s n是递增数列,但是s n>0不成立. 17、 【答案】b 【解析】,故. 【考点定位】此题考查等差数列的通项公式及前 18、 c【解析】此题考查归纳推理的思想方法. 观察各等式的右边,它们分别为1,3,4,7,11, 发现从第3项开始,每一项就是它的前两项之和,故等式的右边依次为1,3,4,7,11,18,29,47,76,123, 故 19、 考点分析:此题考察等比数列性质及函数计算. 解析:等比数列性质,; ;.选c 20、 【答案】b 【解析】,而,解得. 【考点定位】该题主要考查等差数列的通项公式,

24、考查计算求解能力. 21、答案a 项和的公式的运用,以及裂项求和的综合运用,通过中两项,得到公差与首项,得到数列的通项公式,并进一步裂项求和. 【解析】由可得 22、 【解析】选 二、填空题1. 【答案】 【解析】设最小边为,那么其他两边分别为,由余弦定理得,最大角的余弦值为 【考点定位】此题主要考查三角形中的三角函数,等比数列的概念、余弦定理,考查分析推理能力、运算求解能力. 2. 【答案】:15 【解析】: 【考点定位】此题考查等比数列的前n项和公式 3. 解析 (*),所以有:, ;又,得,令,那么, 由题设,所以,变形(*)为,那么,故 ,所以. 4. 【答案】2 【解析】 因为数列为

25、递增数列,且 【点评】此题主要考查等比数列的通项公式,转化思想和逻辑推理能力,属于中档题. 【解析】当=1时,=,=,由s3+3s2=0得,=0,=0与是等比数列矛盾,故1,由s3+3s2=0得,解得=-2. 6. 【答案】11 【解析】由可得公比,可得. 【考点定位】此题考查了等比数列的通项公式,以及求和公式,做题时要细心. 7. 【答案】(1)3;(2)2. 【解析】(1)观察知; 一次类推; ;, b2+b4+b6+b8=3;(2)由(1)知cm的最大值为2. 【点评】此题考查在新环境下的创新意识,考查运算能力,考查创造性解决问题的能力. 需要在学习中培养自己动脑的习惯,才可顺利解决此类

26、问题. 8. ()5030;()【解析】由以上规律可知三角形数1,3,6,10,的一个通项公式为,写出其假设干项有:1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,110,发现其中能被5整除的为10,15,45,55,105,110,故. 从而由上述规律可猜测:(为正整数), , 故,即是数列中的第5030项. 【点评】此题考查归纳推理,猜测的能力.归纳推理题型重在猜测,不一定要证明,但猜测需要有一定的经验与能力,不能凭空猜测.来年需注意类比推理以及创新性问题的考查. 9.解析:.,所以. 10. 【答案】1, 【解析】,所以,. 【考点定位】 本小题主要考查等

27、差数列的根本运算,考查通项公式和前项和公式的计算. 11、 【解析】的前项和为 可证明: 12、 【答案】 【解析】将,两个式子全部转化成用,q表示的式子. 即,两式作差得:,即:,解之得:(舍去). 13、 14、 【答案】 【解析】 【点评】此题主要考查等比数列的通项公式,转化思想和逻辑推理能力,属于中档题. 15、 35【解析】此题考查等差中项的性质及整体代换的数学思想 (解法一)因为数列都是等差数列,所以数列也是等差数列. 故由等差中项的性质,得,即,解得. (解法二)设数列的公差分别为, 因为, 所以.所以. 【点评】对于等差数列的计算问题,要注意掌握根本量法这一通法,同时要注意合理

28、使用等差数列的性质进行巧解. 表达考纲中要求理解等差数列的概念.来年需要等差数列的通项公式,前项和,等差中项的性质等. 16、 【答案】(1)6;(2) 【解析】(1)当n=16时, ,可设为, ,即为, ,即, x7位于p2中的第6个位置,; (2)方法同(1),归纳推理知x173位于p4中的第个位置. 【点评】此题考查在新环境下的创新意识,考查运算能力,考查创造性解决问题的能力. 需要在学习中培养自己动脑的习惯,才可顺利解决此类问题. 17、考点分析:此题考查排列、组合的应用. 解析:()4位回文数只用排列前面两位数字,后面数字就可以确定,但是第一位不能为0,有9(19)种情况,第二位有1

29、0(09)种情况,所以4位回文数有种. 答案:90 ()法一、由上面多组数据研究发现,2n+1位回文数和2n+2位回文数的个数相同,所以可以算出2n+2位回文数的个数.2n+2位回文数只用看前n+1位的排列情况,第一位不能为0有9种情况,后面n项每项有10种情况,所以个数为. 法二、可以看出2位数有9个回文数,3位数90个回文数.计算四位数的回文数是可以看出在2位数的中间添加成对的“00,11,22,99”,因此四位数的回文数有90个按此规律推导,而当奇数位时,可以看成在偶数位的最中间添加09这十个数,因此,那么答案为. 18、解析:.设公差为(),那么有,解得,所以. 19、 【答案】 【解

30、析】由,可得 【考点定位】此题主要考察数列的项、前n项和,考查数列求和能力,此类问题关键是并项求和. 20、 【答案】1, 【解析】,所以,. 【考点定位】 本小题主要考查等差数列的根本运算,考查通项公式和前项和公式的计算. 三、解答题1. 【答案】:()() 【解析】()设数列 的公差为d,由题意知 解得 所以 ()由()可得 因 成等比数列,所以 从而 ,即 解得 或(舍去),因此 . 2. (1)由sn=,得 当n=1时,; 当n2时,nn. 由an=4log2bn+3,得,nn. (2)由(1)知,nn 所以, , ,nn. 3.解:(1)设等差数列的公差为,等比数列的公比为,由,得,

31、由条件得方程组,故 (2)证明;由(1)得 由-得, 即,而当时, 所以 4. 解析(1)由得,交点a的坐标为,对 那么抛物线在点a处的切线方程为: (2)由(1)知f(n)=,那么 即知,对于所有的n成立, 特别地,当n=1时,得到a3 当a=3,n1时, 当n=0时,=2n+1.故a=3时对所有自然数n均成立. 所以满足条件的a的最小值为3 (3)由(1)知f(k)= 下面证明: 首先证明0<x<1时, 设函数g(x)=6x(x2-x)+1,0<x<1, 那么. 当时,g'(x)<0; 当 故g(x)在区间(0,1)上的最小值 所以,当0<x&l

32、t;1时,g(x)>0,即得 由0<a<1知 点评本小题属于高档题,难度较大,需要考生具备扎实的数学根底和解决数学问题的能力.主要考查了导数的应用、不等式、数列等根底知识;考查了思维能力、运算能力、分析问题与解决问题的能力和创新意识能力;且又深层次的考查了函数、转换与化归、特殊与一般等数学思维方法.5. 解析取n=1,得 假设a1=0,那么s1=0, 当n 假设a1, 当n 上述两个式子相减得:an=2an-1,所以数列an是等比数列 综上,假设a1 = 0, 假设a1 (2)当a1>0,且 所以,bn单调递减的等差数列(公差为-lg2) 那么 b1>b2>

33、b3>>b6= 当n7时,bnb7= 故数列lg的前6项的和最大 点评本小题主要从三个层面对考生进行了考查. 第一,知识层面:考查等差数列、等比数列、对数等根底知识;第二,能力层面:考查思维、运算、分析问题和解决问题的能力;第三,数学思想:考查方程、分类与整合、化归与转化等数学思想. 6. 解(1)数列为:2, 3, 4, 5, 1;2, 3, 4, 5, 2;2, 3, 4, 5, 3; 2, 3, 4, 5, 4;2, 3, 4, 5, 5 (2)因为, 所以 因为, 所以,即 因此, (3)对,; ;. 比拟大小,可得 因为,所以,即; ,即. 又, 从而, 因此 = = =

34、 7. 解：1由通项公式可得（2） 证明：8.解:(i)由得: 解得, 所以通项公式为. (ii)由,得,即. ,是公比为49的等比数列, . 9. 【解析】 (1)当时, 那么 , ,c=2.a2=4,即,解得k=2,(n)1) 当n=1时, 综上所述 (2) ,那么 (1)-(2)得 10. 【解析】()由题意得, , . ()由()得 . 整理得 . 由题意, 解得. 故该企业每年上缴资金的值为缴时,经过年企业的剩余资金为4000元. 【点评】此题考查递推数列问题在实际问题中的应用,考查运算能力和使用数列知识分析解决实际问题的能力.第一问建立数学模型,得出与an的关系式,第二问,只要把第

35、一问中的迭代,即可以解决. 11.考点分析:考察等差等比数列的通项公式,和前n项和公式及根本运算. 解析:()设等差数列的公差为,那么, 由题意得 解得或 所以由等差数列通项公式可得 ,或. 故,或. ()当时,分别为,不成等比数列; 当时,分别为,成等比数列,满足条件. 故 记数列的前项和为. 当时,;当时,; 当时, . 当时,满足此式. 综上, 【点评】求解;有时需要利用等差数列的定义:(为常数)或等比数列的定义:(为常数,)来判断该数列是等差数列或等比数列,然后再求解通项;有些数列本身不是等差数列或等比数列,但它含有无数项却是等差数列或等比数列,这时求通项或求和都需要分段讨论.来年需注

36、意等差数列或等比数列的简单递推或等差中项、等比中项的性质. 12.解析:()当时,而,所以,解得. ()在中用取代的位置,有,两式相减,可得(),所以,两式相减,可得,即(),即,所以数列是一个首项为,公比为2的等比数列. 在式子中,令,有,即,所以,于是,所以().当时,也满足该式子,所以数列的通项公式是. 13. 【答案】(1), (2) 【考点定位】此题主要考查等差、等比数列、古典概型的根本知识,考查运算求解能力,考查转化与划归思想、必然与或然思想,注意留心学习. 解:(1)设是数列的公差,是的公比,由题意得: . (2)分别从,中的前三项中各随机抽取一项,得到根本领件有9个,.符合条件

37、的有2个,故所求概率为. 14. 解:(1)由与可得 , 故所求的值分别为. (2)当时, -可得即 故有 而,所以的通项公式为 【点评】试题出题比拟直接,没有什么隐含的条件,只要充分发挥利用通项公式和前项和的关系式变形就可以得到结论. 15. 【解析】(i) 得:当时,取极小值得: (ii)由(i)得: 当时, 当时, 当时, 得: 当时, 当时, 当时, 16. 【答案及解析】 (1)由 (2)解法一:,由正弦定理得 解法二:,由此得得 所以, 【点评】此题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理及等差、等比数列的定义,考查转化思想和运算求解能力,属于容易题.第二小题既可以利用

38、正弦定理把边的关系转化为角的关系,也可以利用余弦定理得到边之间的关系,再来求最后的结果. 17.解:(i)由得:, ,那么, 再由正弦定理可得:,所以成等比数列. (ii)假设,那么, , 的面积. 15. 【答案与解析】 (1)由 (2)解法一:,由正弦定理得 解法二:,由此得得 所以, 【点评】此题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理及等差、等比数列的定义,考查转化思想和运算求解能力,属于容易题.第二小题既可以利用正弦定理把边的关系转化为角的关系,也可以利用余弦定理得到边之间的关系,再来求最后的结果. 19、项和公式、数列求和等根底知识,考查化归与转化的思想方法,考查运算能

39、力、推理论证的能力. (1)设等差数列的公差为,等比数列的公比为,由,得,由条件得方程组,故 2 20、 【解析】(1)由正弦定理得: (2) 解得: 21、 (1)证明:由,得,即. 因,故,得, 又由题设条件知, 两式相减得,即, 由,知,因此 综上,对所有成立,从而是首项为1,公比为的等比数列. (2)当或时,显然,等号成立. 设,且,由(1)知,所以要证的不等式化为: 即证: 当时,上面不等式的等号成立. 当时,与,()同为负; 当时, 与,()同为正; 因此当且时,总有 ()()>0,即 ,(). 上面不等式对从1到求和得, 由此得 综上,当且时,有,当且仅当或时等号成立. 2

40、2、 解析(1)由得,交点a的坐标为,对那么抛物线在点a处的切线方程为 (2)由(1)知f(n)=,那么 即知,对于所有的n成立,特别地,取n=2时,得到a 当, >2n3+1 当n=0,1,2时,显然 故当a=时,对所有自然数都成立 所以满足条件的a的最小值是. (3)由(1)知,那么, 下面证明: 首先证明:当0<x<1时, 设函数 当 故g(x)在区间(0,1)上的最小值g(x)min=g 所以,当0<x<1时,g(x)0,即得 由0<a<1知0<ak<1(),因此,从而 点评本小题属于高档题,难度较大,需要考生具备扎实的数学根底和解

41、决数学问题的能力.主要考查了导数的应用、不等式、数列等根底知识;考查了思维能力、运算能力、分析问题与解决问题的能力和创新意识能力;且又深层次的考查了函数、转换与化归、特殊与一般等数学思维方法. 23、 解析取n=1,得 取n=2,得 又-,得 (1)假设a2=0, 由知a1=0, (2)假设a2, 由得: (2)当a1>0时,由(i)知, 当 , (2+)an-1=s2+sn-1 所以,an= 所以 令 所以,数列bn是以为公差,且单调递减的等差数列. 那么 b1>b2>b3>>b7= 当n8时,bnb8=所以,n=7时,tn取得最大值,且tn的最大值为 t7=

42、点评本小题主要从三个层面对考生进行了考查. 第一,知识层面:考查等差数列、等比数列、对数等根底知识;第二,能力层面:考查思维、运算、分析问题和解决问题的能力;第三,数学思想:考查方程、分类与整合、化归与转化等数学思想. 24、 解(1)选取,y中与垂直的元素必有形式 所以x=2b,从而x=4 (2)证明:取.设满足. 由得,所以、异号. 因为-1是x中唯一的负数,所以、中之一为-1,另一为1, 故1Îx 假设,其中,那么. 选取,并设满足,即, 那么、异号,从而、之中恰有一个为-1. 假设=-1,那么,矛盾; 假设=-1,那么,矛盾. 所以x1=1 (3)解法一猜测,i=1, 2,

43、, n 记,k=2, 3, , n. 先证明:假设具有性质p,那么也具有性质p. 任取,、Î.当、中出现-1时,显然有满足; 当且时,、1. 因为具有性质p,所以有,、Î,使得, 从而和中有一个是-1,不妨设=-1. 假设Î且Ï,那么.由,得,与 ÎÎ.从而也具有性质p 现用数学归纳法证明:,i=1, 2, , n. 当n=2时,结论显然成立; 假设n=k时,有性质p,那么,i=1, 2, , k; 当n=k+1时,假设有性质p,那么 也有性质p,所以. 取,并设满足,即.由此可得s与t中有且只有一个为-1. 假设,那么,所以,这不可

44、能; 所以,又,所以. 综上所述,i=1, 2, , n 解法二设,那么等价于. 记,那么数集x具有性质p当且仅当数集b关于 原点对称 注意到-1是x中的唯一负数,共有n-1个数, 所以也只有n-1个数. 由于,已有n-1个数,对以下三角数阵 注意到,所以,从而数列的通项公式为,k=1, 2, , n 25、解:(1), (2)由, 由,即;由,即 . (3)由,故, 当时,以上各式相加得 当时, , 26、解析:(1)设数列的公比为() 由成等差数列,得,即 由得,解得(舍去) (2)证法一:对任意 所以,对任意,成等差数列 证法二 对任意, 因此,对任意,成等差数列. 27、解析:()由a

45、3+a4+a5=84,a5=73可得而a9=73,那么,于是,即. ()对任意mn,那么, 即,而,由题意可知, 于是 , 即. 28、 【解析】 解: (1)当时,取最大值,即,故,从而,又,所以 (2)因为, 所以 来实现与的相互转化是数列问题比拟常见的技巧之一,要注意不能用来求解首项,首项一般通过n项和适用的情况:当数列通项由两项的乘积组成,其中一项为哪项等差数列、另一项为哪项等比数列. 29、 【答案】解:(1)当时,符合条件的集合为:, =4. ( 2 )任取偶数,将除以2 ,假设商仍为偶数.再除以2 ,··· 经过.于是,其中为奇数. 那么为偶数;假设

46、,那么为奇数. 于是是否属于,由是否属于确定. 设是等于的子集个数. 当为偶数 或奇数)时,中奇数的个数是(). . 【考点】集合的概念和运算,计数原理. 【解析】(1)找出时,符合条件的集合个数即可. (2)由题设,根据计数原理进行求解. 30、 【答案】解:(1),. . . 数列是以1 为公差的等差数列. (2),. .() 设等比数列的公比为,由知,下面用反证法证明 假设那么,当时,与()矛盾. 假设那么,当时,与()矛盾. 综上所述,.,. 又,是公比是的等比数列. 假设,那么,于是. 又由即,得. 中至少有两项相同,与矛盾. . . 【考点】等差数列和等比数列的根本性质,根本不等式

47、,反证法. 【解析】(1)根据题设和,求出,从而证明而得证. (2)根据根本不等式得到,用反证法证明等比数列的公比. 从而得到的结论,再由知是公比是的. 31、 【解析】 解(1)对任意,三个数是等差数列,所以 即亦即 故数列 ()(1)必要性:假设数列是公比为q的等比数列,那么对任意,有 由知,均大于0,于是 即=,所以三个数组成公比为的等比数列. (2)充分性:假设对于任意,三个数组成公比为的等比数列, 那么 , 于是得即 由有即,从而. 因为,所以,故数列是首项为,公比为的等比数列, 综上所述,数列是公比为的等比数列的充分必要条件是:对任意nn,三个数组成公比为的等比数列. 【点评】此题

48、考查等差数列、等比数列的定义、性质及充要条件的证明.第一问由等差数列定义可得;第二问要从充分性、必要性两方面来证明,利用等比数列的定义及性质易得证. 32、考点分析:考察等差等比数列的通项公式,和前n项和公式及根本运算. 解析:()设等差数列的公差为,那么, 由题意得 解得或 所以由等差数列通项公式可得 ,或. 故,或. ()当时,分别为,不成等比数列; 当时,分别为,成等比数列,满足条件. 故 记数列的前项和为. 当时,;当时,; 当时, . 当时,满足此式. 综上, 33、解析:()由,解得. ()由可得(),两式相减,可得,即,即,所以数列()是一个以可得,所以,即(),当时,也满足该式子,所以数列的通项公式是. ()因为,所以,所以,于是.考虑构造一个公比为的等比数列,其前项和为,希望能得到,考虑到,所以令的通项公式的形式可大胆尝试令,那么,于是,此时只需证明就可以了. 当然,的选取并不唯一,也可令,此时,与选取不同的地方在于,当时,当时,所以此时我们不能从第一项就开始放缩,应该保存前几项,之后的再放缩,下面给出其证法. 当时,;当时,;