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文档简介
1、导 数 知识要点1. 导数导函数的简称的定义:设是函数定义域的一点,如果自变量在处有增量,那么函数值也引起相应的增量;比值称为函数在点到之间的平均变化率;如果极限存在,那么称函数在点处可导,并把这个极限叫做在处的导数,记作或,即=.注:是增量,我们也称为“改变量,因为可正,可负,但不为零.以知函数定义域为,的定义域为,那么与关系为.2. 函数在点处连续与点处可导的关系:函数在点处连续是在点处可导的必要不充分条件.可以证明,如果在点处可导,那么点处连续.事实上,令,那么相当于.于是如果点处连续,那么在点处可导,是不成立的.例:在点处连续,但在点处不可导,因为,当0时,;当0时,故不存在.注:可导
2、的奇函数函数其导函数为偶函数.可导的偶函数函数其导函数为奇函数.3. 导数的几何意义:函数在点处的导数的几何意义就是曲线在点处的切线的斜率,也就是说,曲线在点p处的切线的斜率是,切线方程为4. 求导数的四那么运算法那么:为常数注:必须是可导函数.假设两个函数可导,那么它们和、差、积、商必可导;假设两个函数均不可导,那么它们的和、差、积、商不一定不可导.例如:设,那么在处均不可导,但它们和在处均可导.5. 复合函数的求导法那么:或复合函数的求导法那么可推广到多个中间变量的情形.6. 函数单调性:函数单调性的判定方法:设函数在某个区间内可导,如果0,那么为增函数;如果0,那么为减函数.常数的判定方
3、法;如果函数在区间内恒有=0,那么为常数.注:是fx递增的充分条件,但不是必要条件,如在上并不是都有,有一个点例外即x=0时fx = 0,同样是fx递减的充分非必要条件.一般地,如果fx在某区间内有限个点处为零,在其余各点均为正或负,那么fx在该区间上仍旧是单调增加或单调减少的.7. 极值的判别方法:极值是在附近所有的点,都有,那么是函数的极大值,极小值同理当函数在点处连续时,如果在附近的左侧0,右侧0,那么是极大值;如果在附近的左侧0,右侧0,那么是极小值.也就是说是极值点的充分条件是点两侧导数异号,而不是=0. 此外,函数不可导的点也可能是函数的极值点. 当然,极值是一个局部概念,极值点的大小关系是不确定的,即有可能极大值比极小值小函数在某一点附近的点不同.注: 假设点是可导函数的极值点,那么=0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数,其一点是极值点的必要条件是假设函数在该点可导,那么导数值为零.例如:函数,使=0,但不是极值点.例如:函数,在点处不可导,但点是函数的极小值点.8. 极值与最值的区别:极值是在局部对函数值进行比拟,最值是在整体区间上对函数值进行比拟.注:函数的极值点一定有意义.9. 几种常见的函数导数:i.为常数 ii. iii. 求导的常见方法:常
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