8.6立体几何中的向量法(一)

1、 基础知识 1 知识梳理 _ 匿点讲解谏层突破 1. 直线的方向向量与平面的法向量的确定 (1) 直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量 (2) 平面的法向量：如果表示非零向量 n的有向线段所在直线垂直于平面 a，那么称向量 直于平面a,记作 n丄a,此时，我们把向量 n叫做平面a的法向量 2. 用向量证明空间中的平行关系 (1)设直线 11和 12的方向向量分别为 V1和 V2，则 11/ 12(或 11与 12重合)? V1 7 2. 设直线 1 的方向向量为 V,与平面a共面的两个不共线向量 V1和 V2,则 I / a或 1? 在两个实数 X, y, 使 V = XV

2、1+ yv2. 设直线 1 的方向向量为 V,平面a的法向量为 U，则 I / a或 1? a? VXu. 设平面a和B的法向量分别为 U1 , U2,则all 3? U1 / U2. 3. 用向量证明空间中的垂直关系 (1)设直线 11和 12的方向向量分别为 V1和 V2, U 11丄 12? V1丄 V2? V_1 V2= 0. 设直线 1 的方向向量为 V,平面a的法向量为 U，则 I 丄 o? V/U. 设平面 a和3的法向量分别为 U1和 U2,则a丄3? U1.X U2? U1 _U_2= 0. 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“V”或“X” ) (1) 直线的方

3、向向量是唯一确定的 .(X ) (2) 平面的单位法向量是唯一确定的 .(X ) (3) 若两平面的法向量平行，则两平面平行 .(V ) (4) 若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行 .(V ) (5) 若 a/ b,则 a 所在直线与 b 所在直线平行.(X )笫八草立休儿何与空间向吐 8. 6立体几何中的向量方法(一) 证明平行与垂直 (6) 若空间向量 a 平行于平面 a则 a 所在直线与平面 a平行.(x ) 快連解答自查自纠 2 I考点自 1平面a的法向量为(1,2 , - 2)，平面B的法向量为(一 2, 4, k),若a/ 3,贝卩 k= _ 答案 4 解析/ all 3 两

4、平面法向量平行， k= 4. 2. _ 已知 A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1)，则下列向量是平面 ABC 法向量的是 _ (1,1,1)(1, 1,1) (-于-于，-巧(中鳥，- 答案 解析 设 n = (x, y, z)为平面 ABC 的法向量， x+ y= 0, 化简得 x+ z= 0, x = y=乙正确. 3. 已知直线 I的方向向量为 v= (1,2,3)，平面a的法向量为 U = (5,2, 3),则 I与a的位置关 玄阜 系是_ - 答案 I / a或 l? a 解析 T v U = 0, V 丄 U , - l / a或 l? a 4. (教材改编)设

5、 u, v 分别是平面 a 3的法向量，u= ( 2,2,5)，当 v = (3, 2,2)时，a与3 的位置关系为 _ ；当 v = (4 , 4 , 10)时，a与3的位置关系为 _ . 答案 a丄3 al 3 解析 当 v = (3, 2,2)时，uv = ( 2,2,5) (3- 2,2) = 0? a丄 3 当 v = (4, 4, 10)时，v = 2u? all 3 2 T AB= 0, AC= 0, 5. (教材改编)如图所示，在正方体 ABCD A1B1C1D1中，0 是底面正方形 ABCD 的中心，M 是 D1D 的中点，N 是 A1B1的中点，则直线 ON, AM 的位置

6、关系是 _ . 答案垂直 解析 以 A 为原点，分别以 AB , AD , AA1所在直线为 x , y , z 轴，建立空间直角坐标系，设 1, 1) = 0, ON 与 AM 垂直. 题型一利用空间向量证明平行问题 例 1 如图所示，平面 PAD 丄平面 ABCD , ABCD 为正方形， FAD 是直角三角形，且 PA= AB , AP , AD 两两垂直，以 A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz,则 A(0,0,0), B(2, 0,0), C(2,2,0) , D(0,2,0) , P(0, 0,2), E(0,0,1), F(0,1,1), G(1 , 2,0).

7、 1 1 正方体棱长为 1,则 A(0,0,0) , M(0,1, 2), O(2 , 1 , 0) , N(2 , 0,1) , AM ON = (0,1,(0 题型分类 深度剖析 0 A R 证明 FB /平面 EFG. AD = 2, = (2,0 , - 2), FE = (0, - 1,0), FG = (1,1 , - 1), 设 PB = sFE+ tFG, 即(2,0, - 2) = s(0, - 1,0) + t(1,1 , - 1), t= 2, t- s= 0, 解得 s= t= 2.：. PB= 2FE + 2FG , -t = 2, 又 FE与 FG 不共线，:.PB

8、 , FE 与 FG 共面. / PB?平面 EFG , : PB /平面 EFG. 引申探究 本例中条件不变，证明平面 EFG /平面 PBC. 证明 / EF = (0,1,0), BC = (0,2,0), :.BC =2EF , : BC / EF. 又 EF?平面 PBC, BC?平面 PBC , : EF / 平面 PBC, 同理可证 GF / PC,从而得出 GF /平面 PBC. 又 EF n GF = F, EF?平面 EFG , FG?平面 EFG , :平面 EFG /平面 PBC. 思维升华 (1)恰当建立空间直角坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证 明

9、平行和垂直的关键 (2)证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线 的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向 向量平行，然后说明直线在平面外即可 这样就把几何的证明问题转化为向量运算 跟踪训练1 如图，在四面体 A BCD 中，AD 丄平面 BCD , BC 丄 CD , AD = 2, BD =吋 2, M 是 AD 的中点，P 是 BM 的中点，点 Q 在线段 AC 上，且 AQ= 3QC. 证明：PQ /平面 BCD. 证明 方法一 如图，取 BD 的中点 0,以 0 为原点，0D、OP 所在射线分别为 y、z

10、轴的正 半轴，建立空间直角坐标系 0 xyz. : .h M b y 由题意知，A(0, 2，2)， B(0，- 2, 0), D(0, 2, 0). 设点 C 的坐标为(xo, yo,O). 因为 AQ = 3(00, 3 .2 3 1 所以 Q 4x0，才 + 4丫, 2 . 因为 M 为 AD 的中点，故 M(0, 2, 1). 1 又 P 为 BM 的中点，故 P 0, 0, , 才T 3 返 3 所以 PQ = 4x0, 一 4+ 4丫, 0 . 又平面 BCD 的一个法向量为 a= (0,0,1)，故 PQ a= 0. 又 PQ?平面 BCD，所以 PQ /平面 BCD. 方法二

11、在线段 CD 上取点 F，使得 DF = 3FC，连结 OF，同方法 写出点 A、B、C 的坐标，设点 C 坐标为(xo, yo,0). CF = 4CD ，设点 F 坐标为(x, y,0)，贝 U (x XO, y-y0,0) = 4( xo, 2 y0,0), 3 x= 4x0 4 & (3 业丄 3 2 3 -0F = (4x0, 4 + 4y0,0) y=f + 4y0 又由方法一知 PQ= (：X0, + 4y0,0),建立空间直角坐标系, OF = PQ , PQ/ OF. 又 PQ?平面 BCD , OF?平面 BCD, PQ / 平面 BCD. 题型二利用空间向量证明垂

12、直问题 命题点 1 证线面垂直 例 2 如图所示，正三棱柱 ABC A1B1C1的所有棱长都为 2，D 为 CCi的中点.求证：ABi丄 平面 A1BD. 证明 方法一 设平面 A1BD 内的任意一条直线 m 的方向向量为 m.由共面向量定理，则存在 实数 入，使 m =入0BA_ JBD 令 BB1= a, BC= b, BA = c,显然它们不共面，并且 |a|= |b|= |c|= 2, a b= a =e 0, b =e 2,以 它们为空间的一个基底, O O 1 则 BA1 = a + c, BD =尹+ b, - - 1 m =入 BM 卩 B= H 2 卩 a+ pb+ ?c,

13、AB1 m= (a c) 1 o =4 C+ 2 a 2 p 4 C= 0.故 AB1 丄 m，结论得证. 方法二 如图所示，取 BC 的中点 O,连结 AO. 因为 ABC 为正三角形, 所以 AO 丄 BC. AB1= a c, 因为在正三棱柱 ABC A1B1C1中，平面 ABC 丄平面 BCC1B1,所以 AO 丄平面 BCCiBi. 取 BiCi的中点 Oi，以 O 为原点，分别以 OB, OOi, OA 所在直线为 x轴，y 轴，z 轴建立空 间直角坐标系， 则 B(1,0,0)，D( 1,1,0), Ai(0,2, .3), A(0,0, 3), Bi(1,2,0). 设平面 A

14、iBD 的法向量为 n= (x, y, z), BAi = ( 1,2, .3), BD = ( 2,1,0). 因为 n丄 BA1, n丄 BD , x+ 2y+ 3z= 0, 2x+ y= 0, 令 x= 1,则 y= 2, z= ,3, 故 n = (1,2 , .3)为平面 A1BD 的一个法向量， 而 AB1= (1,2， 3)，所以 AB1 = n,所以 AB, n , 故 AB1丄平面 A1BD. 命题点 2 证面面垂直 例 3 如图，在三棱锥 FABC 中，AB= AC, D 为 BC 的中点，PO 丄平面 ABC，垂足 O 落在 线段 AD 上已知 BC = 8, FO= 4

15、, AO = 3, OD = 2. (1)证明：AF BC; 若点 M 是线段 AF 上一点，且 AM = 3.试证明平面 AMC 丄平面 BMC. 证明(1)如图所示，以 O 为坐标原点，以射线 OF 为 z 轴的正半轴建立空间直角坐标系 Oxyz. 则 O(0,0,0), A(0, 3,0),n BA1 = 0, n BD = 0, A B(4,2,0), C(-4,2,0), P(0,0,4). 于是 AP = (0,3,4), BC= (-8,0,0), AP BC= (0,3,4) - 8,0,0) = 0, AP 丄 BC,g卩 AP 丄 BC. 由(1)知|AP|= 5, 又|A

16、M|= 3，且点 M 在线段 AP 上, 又 BC = (-8,0,0), AC = (-4,5,0), BA = (-4, - 5,0), AP 丄 BMl,即卩 API BM , 又根据(1)的结论知 AP 丄 BC,且 BM A BC = C, AP 丄平面 BMC，于是 AM 丄平面 BMC. 又 AM?平面 AMC，故平面 AMC 丄平面 BMC. 思维升华证明垂直问题的方法 (1) 利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明 转化为向量运算其中灵活建系是解题的关键 (2) 其一证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直；其二证明线面垂直

17、，只 需证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可， 当然，也可证直线的方向向量的判定定理， 只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可 跟鶴训练 2 (1) - AM = ：12 5， BM = BA+ AM = 则 AP BM = (0,3,4) - 4, 16 5， 12 5 = 0, 与平面法向量平行；其三证明面面垂直： 证明两平面的法向量互相垂直； 利用面面垂直 如图所示，已知直三棱柱 ABC A1B1C1中， ABC 为等腰直角三角形, =90 且 AB = AA1, D、E、F 分别为 B1A、C1C、BC 的中点求证： DE /平面 ABC ; B

18、1F 丄平面 AEF. 证明如图建立空间直角坐标系 A xyz. 令 AB = AA1 = 4, 则 A(0,0,0), E(0,4,2), F(2,2,0), B(4,0,0), B1(4,0,4). 取 AB 中点为 N，连结 CN , 则 N(2,0,0), C(0,4,0), D(2,0,2), 二 DE = (-2,4,0), NC = (-2,4,0), DE = NC, DE / NC, 又 NC?平面 ABC, DE?平面 ABC. 故 DE /平面 ABC. B1F = (-2,2, 4), EF = (2, - 2, - 2), AF = (2,2,0). BTF EF =

19、 ( 2) X 2 + 2 X ( 2)+ ( 4)X ( 2)= 0, EhF AF = ( 2) X 2 + 2 X 2+ ( 4) X 0 = 0. BTF 丄 EF,詠丄 AF，即 B1F 丄 EF , B1F 丄 AF , 又 AF A EF = F , BiF 丄平面 AEF. P ABCD 中，PC 丄平面 ABCD , PC = 2,在四边形 ABCD 中，/ B =Z C = 90, AB= 4, CD = 1，点 M 在 PB 上, PB= 4PM , PB 与平面 ABCD 成 30角. 求证：CM /平面 FAD; 求证：平面 PAB 丄平面 PAD. CB 所在直线为

20、 x轴，CD 所在直线为 y 轴，CP 所在直线 / PBC 为 PB 与平面 ABCD 所成的角, / PBC = 30 / PC = 2, BC= 2 ,3, PB = 4. D(0,1,0), B(2 _3, 0,0), A(2 _ 3, 4,0), P(0,0,2), 3 3 MCf, 0,刁, DP = (0, 1,2) , DA = (2.3 , 3,0) , CM =(于,0 , |), 令 n = (x , y , z)为平面 PAD 的一个法向量， y+ 2z= 0 , 即 2 3x+ 3y= 0 , 1 z=y , 込 x= 2 y , n CM = 3X 23+ 2X 0

21、+ 1 X I = 0, n 丄 CM，又 CM?平面 PAD, CM / 平面 PAD. (2)如图所示，在四棱锥 DP n = 0 , 则T DA n = 0 , 令 y= 2，得 n= ( .3 , 2,1). 证明以 C 为坐标原点，分别以 / PC 丄平面 ABCD , 取 AP 的中点 E,则 E( 3, 2,1), BE = ( I, 2,1). / PB = AB, BE 丄 PA. 又 BE DA = ( ,3, 2,1) 3, 3,0)= 0, BE 丄 DA, BE 丄 DA , 又 FA A DA = A, BE 丄平面 PAD , 又 BE?平面 PAB, 平面 PA

22、B 丄平面 PAD. 题型三 利用空间向量解决探索性问题 例 4 如图，棱柱 ABCD A1B1C1D1的所有棱长都等于 2,Z ABC 和/ A1AC 均为 60 平面 AA1C1C 丄平面 ABCD. (1)求证：BD 丄 AA1； 求二面角 D A1A C 的余弦值； 在直线 CC1上是否存在点 P,使 BP/平面 DA1C1,若存在，求出点 P 的位置，若不存在, 请说明理由. (1)证明 设 BD 与 AC 交于点 O,贝 U BD 丄 AC,连结 A10,在 AA1O 中，AA1 = 2, AO= 1, / A1AO = 60 - AiO2= AA2 + AO2 2AAi AOco

23、s 60 =3, AO2+ AIO2= AA1, 二 AiO 丄 AO. 由于平面 AAiCiC 丄平面 ABCD , AiO?平面 AAiCiC, 平面 AAiCiCn 平面 ABCD = AO , AiO 丄平面 ABCD. 以 OB, OC, OAi所在直线分别为 x轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系, 1,0），B（ 3，0,0），C（0,1,0），D（ 3，0,0），Ai（0,0，,3），Ci（0,2，. 3）. 由于 BD = （ 2 .3，0,0），AA1= （0,1， .3）， AA1 BD = 0X （ 2,3）+ 1X 0 + .3X 0= 0， BD 丄 A

24、A1，即卩 BD 丄 AA1. 解 由于 OB 丄平面 AAQQ， 平面 AA1C1C 的一个法向量为 n1= （1,0,0）. 设 n2= （x，y，z）为平面 DAA1D1的一个法向量， y+ . 3z= 0， 即 3x+ y = 0， 取 n2= （1， , 3， 1），贝 U 51，n2即为二面角 D A1A C 的平面角， cos 51，n2 =5， 所以，二面角 D A1A C 的余弦值为 亏. 解 假设在直线 CC1上存在点 P，使 BP /平面 DA1C1， 设 CP =入 CC P（x，y，z），则（x，y 1，z） = 0,1，V3）.n2 AA1= 0， 则 T n2 A

25、D = 0, 则 An1 n2 |n 1|n2| 从而有 P(0,1 +人儿BP = ( EF = 2， 0, 2 , DC = (0, a,0). T EF DC = 0, EF 丄 DC ,即卩 EF 丄 CD. - a a a 解 设 G(x,0, z)，则 FG = x ，一 2，z 2 , 若使 GF 丄平面 PCB，则 a a a 由FG CB = x2， 2，z2 a,0,0) a a =a x 2 = 0，得 x= 2; 由 FG CP = x 2， 2， z2 ， a， a) af a =2 + a z 2 = 0，得 z= 0. a G 点坐标为 2，0，0，即 G 点为

26、AD 的中点. 17.利用向量法解决立体几何问题 典例 （14 分）（2014 湖北）如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1中，E，F，M，N 分 别是棱 AB,AD ,A1B1,A1D1的中点，点 P,Q 分别在棱 DD1,BB1上移动，且 DP = BQ= ? 1 - - E(2, 1, 2), F(0,1 , 2), EF = (-2 , 0,0) , PB = (1,0 , - 1) , PD = (0,2 , - 1), AD = (0,2,0), DC = (1,0,0), AB= (1,0,0). - 1 - - - (1) / EF = - AB , EF /

27、 AB ,即 EF / AB , 又 AB?平面 FAB , EF?平面 PAB , EF / 平面 PAB. 9.如图，在底面是矩形的四棱锥 P-ABCD 中，PA 丄底面 ABCD，E，F 分别是 PC , PD 的中 证明 以 A 为x 轴，AD 所在直线为 y 轴，AP 所在直线为 z 轴，建立如 AP = (0,0,1), 轴、z 轴的正半轴建立空间直角坐标系 D xyz. (2) / APDC = (0,0,1) (4,0 ,0)解析 建立如图的空间直角坐标系，设正方体的边长为 2, AP 丄 DC, AD 丄 DC,即卩 AP 丄 DC, AD 丄 DC. 又 AP A AD =

28、 A, DC 丄平面 FAD. / DC?平面 PDC , 平面 FAD 丄平面 PDC. B 组专项能力提升 （时间：30 分钟） 10.如图，正方体 ABCDAiBiCiDi的棱长为 1 , E, F 分别是棱 BC, DDi上的点，如果 BiE 丄 答案 i 解析 以 DiAi, DiCi, DiD 分别为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系，设 CE = x, DF = y，则 易知 E(x,i,i), Bi(i,i,0), F(0,0,i y), B(i,i,i), - BiE= (x i,0,i), FB = (i,i, y),由于 BiE 丄平面 ABF，所以 FB BiE=

29、(i,i , y) i, 0,i) =0? x+ y= i. 形 ABCD 的中心，M , N 分别为 AB , BC 的中点，点 OP 互相平分，则满足 MQ =入鼻血勺实数 入有 _ 个. 答案 2AD DC =(020) (4,0,0) 平面 ii.如图，在正方体 ABCD AiBiCiDi中, P 为正方形 AiBiCiDi四边上的动点, O 为底面正方 Q 为平面 ABCD 内一点，线段 DiQ与 ABF , 则 P(x, y,2), 0(1 , 1,0), OP 的中点坐标为 又知 D1(0,0,2), Q(x+ 1, y+ 1,0)，而 Q 在 MN 上, XQ+ yQ= 3,

30、x+ y = 1,即点 P 坐标满足 x+ y= 1. .有 2 个符合题意的点 P,即对应有 2 个入 12.如图，在长方体 ABCD A1B1C1D1中，AA1 = AD = 1, E 为 CD 的中点. (1)求证：B1E 丄 AD1； (2)在棱 AA1上是否存在一点 P,使得 DP /平面 B1AE ?若存在，求 AP 的长；若不存在，说 明理由 以A为原点，AB, AD, AA1的方向分别为 x轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角 坐标系(如图). 设 AB = a，贝 U A(0,0,0), D(0,1,0), D1(0,1,1), a E 2, 1, 0 , B1(a,0,1), a - - a 2, 1, 1 , AB1 = (a,0,1), AE= 2 , 1 , 0 . /