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1、3.8 3.8 切比雪夫不等式与大数定律切比雪夫不等式与大数定律重点：1） chebyshev 不等式2） 大数定律概率论中用来阐明大量随机现象平均结果的稳定性的一系列定理统称为大数定律.或或 由切比雪夫不等式可以看出，若由切比雪夫不等式可以看出，若 越小，则越小，则事件事件|X-E(X)| 0 ，有，有 定理定理3（贝努里大数定律）（贝努里大数定律） 伯努利伯努利lim |0AnnPpn=证明证明12( ,),AAnnb n pnXXX=因 为由 此 可 表 示 为0 1.()()(1),kkpE XpD Xpp=其中相互独立，且都服从以 以为参数的（）分布因而，由定理2即得121lim |

2、()|1nnPXXXpn=lim |AnnPpn 证毕证毕注注 贝努里大数定律表明，当重复试验次数贝努里大数定律表明，当重复试验次数n充分充分大时，事件大时，事件A发生的频率发生的频率nA/n与事件与事件A的概率的概率p有较有较大偏差的概率很小大偏差的概率很小.lim|0AnnPpn=或或.事件发生的频率可以代替事件的概率下面给出的独立同分布下的大数定律，下面给出的独立同分布下的大数定律，不要求随机变量的方差存在不要求随机变量的方差存在. 设随机变量序列设随机变量序列X1,X2, 相互独立，相互独立，服从同一分布，具有数学期服从同一分布，具有数学期E(Xi)=, i=1,2,， 则对于任意正数

3、则对于任意正数 ，有，有定理定理4（辛钦大数定律）（辛钦大数定律）11lim|1niniPXnm=辛钦辛钦 1、辛钦大数定律为寻找随机变量的期望、辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值提供了一条实际可行的途径值提供了一条实际可行的途径.注注2、伯努利大数定律是辛钦定理的特殊情况、伯努利大数定律是辛钦定理的特殊情况.3、辛钦定理具有广泛的适用性、辛钦定理具有广泛的适用性. 要估计某地区的平均亩产量要估计某地区的平均亩产量 ，要收割某些有代表性块，例如要收割某些有代表性块，例如n 块块地地. 计算其平均亩产量，则当计算其平均亩产量，则当n 较较大时，可用它作为整个地区平均亩大时，可用它作为整个地区平均

4、亩产量的一个估计产量的一个估计.三、小结三、小结大大数数定定律律 大数定律以严格的数学形式表达了随机现大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质之一：象最根本的性质之一：平均结果的稳定性平均结果的稳定性2()()kkE XD Xm=()kE Xm= ( , )Anb n plim |1AnnPpn=伯努利大数定律11lim |1niniPXnm=切比雪夫大数定律11lim | 1niniPXnm=辛钦大数定律 随机变量X的数学期望(),E Xm=方差2(),D X=则由切比雪夫不等式，有(3 )_.P Xm解：解：(3 )P Xm=()3 )P XE X2()(3 )D X思考题思考题3.8 切比雪夫不等式与大数定律221.99=122m m 解：解：)(2iXE 2)()(iiXEXD

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