（整理版）　正态分布

1、69正态分布导学目标： 利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义自主梳理1正态分布密度曲线及性质(1)正态曲线的定义函数，(x)_(其中实数和 (>0)为参数)的图象为正态分布密度曲线(2)正态分布密度曲线的特点曲线位于x轴_，与x轴不相交；曲线是单峰的，它关于直线_对称；曲线在_处到达峰值_；曲线与x轴之间的面积为_；当一定时，曲线随着_的变化而沿x轴移动；当一定时，曲线的形状由确定_，曲线越“高瘦，表示总体的分布越集中；_，曲线越“矮胖，表示总体的分布越分散2正态分布(1)正态分布的定义及表示如果对于任何实数a，b (a<b)，随机变量x满足p(a<

2、xb)_，那么称随机变量x服从正态分布，记作_(2)正态分布的三个常用数据p(<x)_；p(2<x2)_；p(3<x3)_.自我检测1(·大连模拟)以下说法不正确的选项是()a假设xn(0,9)，那么其正态曲线的对称轴为y轴b正态分布n(，2)的图象位于x轴上方c所有的随机现象都服从或近似服从正态分布d函数(x) (xr)的图象是一条两头低、中间高、关于y轴对称的曲线2随机变量服从正态分布n(3，2)，那么p(<3)等于()a. b. c. d.3(·湖北)随机变量服从正态分布n(2，2)，且p(<4)0.8，那么p(0<<2)等于

3、()a0.6 b0.4 c0.3 4某随机变量服从正态分布，其正态分布密度函数为(x)，那么的期望和标准差分别是()a0和8 b0和4c0和 d0和25.(·辽宁十校联考)设两个正态分布n(1，) (1>0)和n(2，) (2>0)的密度函数图象如下图，那么有()a1<2，1<2b1<2，1>2c1>2，1<2d1>2，1>2探究点一正态曲线的性质例1如下图，是一个正态曲线，试根据图象写出其正态分布密度曲线的解析式，并求出正态总体随机变量的均值和方差变式迁移1假设一个正态分布的正态分布密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为

4、.(1)求该正态分布的概率密度函数的解析式；(2)求正态总体在(4,4的概率探究点二服从正态分布的概率计算例2设xn(5,1)，求p(6<x7)变式迁移2设xn(1,22)，试求：(1)p(1<x3)；(2)p(3<x5)；(3)p(x5)探究点三正态分布的应用例3(·青岛期末)在某次数学考试中，考生的成绩服从一个正态分布，即n(90,100)(1)试求考试成绩位于区间(70,110)上的概率是多少？(2)假设这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在(80,100)间的考生大约有多少人？变式迁移3在某次大型考试中，某班同学的成绩服从正态分布n(80,52)，现

5、该同学中成绩在80分85分的有17人试计算该班成绩在90分以上的同学有多少人？1正态分布密度曲线，简称正态曲线，其解析式为：，(x)，x(，)2正态曲线的特点：(1)曲线在x轴的上方，与x轴不相交(2)曲线是单峰的，它关于直线x对称(3)曲线在x时到达峰值.(4)曲线与x轴之间的面积为1.(5)当一定时，曲线随着的变化而沿x轴平移(6)当一定时，曲线的形状由确定越大，曲线越“矮胖，表示总体的分布越分散；越小，曲线越“高瘦，表示总体的分布越集中33原那么：从理论上讲，服从正态分布的随机变量的取值范围是r，但实际上取区间(3，3)外的数值的可能性微乎其微(只有0.26%)，在实际问题中常常认为它是

6、不会发生的因此，往往认为它的取值是个有限区间，即区间(3，3)，这就是实用中的三倍标准差规那么，也叫3原那么在企业管理中，经常应用这个原那么进行产品质量检查和工艺生产过程控制(总分值：75分)一、选择题(每题5分，共25分)1如图是正态分布n(，)，n(，)，n(，)相应的曲线，那么有()a1>1>2>3>0b0<1<2<1<3c1>2>1>3>0d0<1<21<32(·佛山月考)设随机变量服从正态分布n(2,9)，假设p(>c1)p(<c1)，那么c等于()a1 b2 c3 d43

7、某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为(x)· (xa该市这次考试的数学平均成绩为80分b分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同c分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同d该市这次考试的数学成绩标准差为104(·广东)随机变量x服从正态分布n(3,1)，且p(2x4)0.682 6，那么p(x>4)等于()a0.158 8 b0.158 7 c0.158 6 d0.158 55一次考试共有60名同学参加，考生的成绩xn(110，52)，据此估计，大约应有57人的分数在以下哪个区间内？()a(90,110 b(

8、95,125c(100,120 d(105,115二、填空题(每题4分，共12分)6.设三个正态分布n(1，) (1>0)，n(2，) (2>0)，n(3，) (3>0)的密度函数图象如下图，那么1、2、3按从小到大的顺序排列是_；1、2、3按从小到大的顺序排列是_7在某项测量中，测量结果服从正态分布n(1，2)(0)假设在(0,1)内取值的概率为0.4，那么在(0,2)内取值的概率为_8(·青岛模拟)随机变量服从正态分布n(2，2)，p(4)0.84，那么p(0)_.三、解答题(共38分)9(12分)设xn(10,1)(1)证明：p(1<x<2)p(1

9、8<x<19)；(2)设p(x2)a，求p(10<x<18)10(12分)某种零件的尺寸x(：mm)服从正态分布，其正态曲线在(0,80)上是增函数，在(80，)上是减函数，且(80).(1)求正态分布密度函数；(2)估计尺寸在72 mm88 mm间的零件大约占总数的百分之几？11(14分)在某市组织的一次数学竞赛中全体参赛学生的成绩近似服从正态分布n(60,100)，成绩在90分以上(含90分)的学生有13人(1)求此次参加竞赛的学生总数共有多少人？(2)假设方案奖励竞赛成绩排在前228名的学生，问受奖学生的分数线是多少？69正态分布自主梳理1(1)，x(，)(2)上

10、方xx1越小越大2(1)，(x)dxxn(，2)(2)0.682 60.954 40.997 4自我检测1c2d由正态分布图象知，3为该图象的对称轴，p(<3)p(>3).3cp(<4)0.8，p(>4)0.2，由题意知图象的对称轴为直线x2，p(<0)p(>4)0.2，p(0<<4)1p(<0)p(>4)0.6.p(0<<2)p(0<<4)0.3.4d由(x)对照得2，0，e()0，2.5a由正态分布n(，2)性质知，x为正态分布密度函数图象的对称轴，故1<2；又越小，图象越高瘦，故1<2.课堂活

11、动区例1解题导引要确定一个正态分布的正态分布密度函数的解析式，关键是求解析式中的两个参数，的值，其中决定曲线的对称轴的位置，那么与曲线的形状和最大值有关解从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x20对称，最大值为，所以20.由，解得.于是正态分布密度曲线的解析式是，(x)，x(，)均值和方差分别是20和2.变式迁移1解(1)由于该正态分布的正态分布密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对称，即，得4，故该正态分布的正态分布密度函数的解析式是，(x)，x(，)(2)p(4<x4)p(04<x04)p(<x)0.682 6.例2解题导引求服从正态分布的随机变量在某个区间取值的

12、概率，只需借助于正态曲线的性质，把所求问题转化为概率的三个区间上解由5，1.p(4<x6)0.682 6，p(3<x7)0.954 4，p(3<x4)p(6<x7)0.954 40.682 60.271 8.如图，由正态曲线的对称性可得p(3<x4)p(6<x7)p(6<x7)0.135 9.变式迁移2解xn(1,22)，1，2.(1)p(1<x3)p(12<x12)p(<x)0.682 6.(2)p(3<x5)p(3<x1)，p(3<x5)p(3<x5)p(1<x3)p(14<x14)p(12&l

13、t;x12)p(2<x2)p(<x)×(0.954 40.682 6)0.135 9.(3)p(x5)p(x3)，p(x5)1p(3<x5)1p(14<x14)1p(2<x2)(10.954 4)0.022 8.例3解题导引正态分布已经确定，那么总体的期望和标准差就可以求出，这样就可以根据正态分布在三个常见的区间上取值的概率进行求解解n(90,100)，90，10.(1)由于正态变量在区间(2，2)内取值的概率是0.954 4，而该正态分布中，2902×1070，2902×10110，于是考试成绩位于区间(70,110)内的概率就是0

14、.954 4.(2)由90，10，得80，100.由于正态变量在区间(，)内取值的概率是0.682 6，所以考试成绩位于区间(80,100)内的概率是0.682 6.一共有2 000名考生，所以考试成绩在(80,100)间的考生大约有2 000×0.682 61 365(人)变式迁移3解成绩服从正态分布n(80,52)，80，5，75，85.于是成绩在(75,85内的同学占全班同学的68.26%.这样成绩在(80,85内的同学占全班同学的34.13%.设该班有x名同学，那么x×34.13%17，解得x50.又2801070，2801090，成绩在(70,90内的同学占全班同

15、学的95.44%.成绩在90分以上的同学占全班同学的2.28%.即有50×2.28%1(人)即成绩在90分以上的仅有1人课后练习区1d0，且21，1<1，3>1.2bn(2,9)，p(>c1)p(<3c)又p(>c1)p(<c1)，3cc1，c2.3b80，故a正确；10，故d正确；p(x>110)p(x>3)，p(x<50)p(x<3)，p(x>110)p(x<50)，故c正确. 4b由于x服从正态分布n(3,1)，故正态分布曲线的对称轴为x3.所以p(x>4)p(x<2)，故p(x>4)0.

16、158 7.5c由于xn(110,52)，110，5.因此考试成绩在区间(105,115，(100,120，(95,125上的概率分别应是0.682 6,0.954 4,0.997 4.由于一共有60人参加考试，成绩位于上述三个区间的人数分别是：60×0.682 641(人)，60×0.954 457(人)，60×0.997 460(人)，故大约应有57人的分数在(100,120区间内62<1<31<3<2解析服从正态分布(1，2)，在(0,1)与(1,2)内取值的概率相同均为0.4.在(0,2)内取值概率为0.40.40.8.解析2，p(

17、0)p(4)1p(4)10.840.16.9(1)证明因为xn(10,1)，所以，正态曲线，(x)关于直线x10对称，而区间1,2和18,19关于直线x10对称，所以，(x)dx，(x)dx，即p(1<x<2)p(18<x<19)(6分)(2)解p(10<x<18)p(2<x<10)p(x<10)p(x2)a.(12分)10解(1)由于正态曲线在(0,80)上是增函数，在(80，)上是减函数，所以正态曲线关于直线x80对称，且在x80处取得最大值因此80，所以8.故正态分布密度函数解析式是，(x).(6分)(2)由80，8，得80872，80888，所以零件尺寸x位于区间(72,88)内的概率是0.682 6.因此尺寸在72 m