（整理版）　平面向量的数量积及其应用

1、27平面向量的数量积及其应用导学目标： 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题自主梳理1向量数量积的定义(1)向量数量积的定义：_，其中|a|cosa，b叫做向量a在b方向上的投影(2)向量数量积的性质：如果e是向量，那么a·ee·a_；非零向量a，b，ab_；a·a_或|a|_；cosa，b_；

2、|a·b|_|a|b|.2向量数量积的运算律(1)交换律：a·b_；(2)分配律：(ab)·c_；(3)数乘向量结合律：(a)·b_.3向量数量积的坐标运算与度量公式(1)两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和，即假设a(a1，a2)，b(b1，b2)，那么a·b_；(2)设a(a1，a2)，b(b1，b2)，那么ab_；(3)设向量a(a1，a2)，b(b1，b2)，那么|a|_，cosa，b_.(4)假设ax1，y1，bx2，y2，那么|_，所以|_.自我检测1.·湖南在rtabc中，c=90°,ac=4,那么

3、3;等于 ()a16b8c8d162(·重庆)向量a，b满足a·b0，|a|1，|b|2，那么|2ab| ()a0b2c4d83(·福州月考)a(1,0)，b(1,1)，(ab)b，那么等于 ()a2b2c.d4.平面上有三个点a-2，y，b0，cx，y，假设，那么动点c的轨迹方程为_5.·天津假设等边abc的边长为2，平面内一点m满足，那么·_.探究点一向量的模及夹角问题例1(·马鞍山月考)|a|4，|b|3，(2a3b)·(2ab)61.(1)求a与b的夹角；(2)求|ab|；3假设a，b，求abc的面积变式迁移1(1)

4、a，b是平面内两个互相垂直的向量，假设向量c满足(ac)·(bc)0，那么|c|的最大值是 ()a1b2c.d.(2)i，j为互相垂直的向量，ai2j，bij，且a与b的夹角为锐角，实数的取值范围为_探究点二两向量的平行与垂直问题例2a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，且kab的长度是akb的长度的倍(k>0)(1)求证：ab与ab垂直；(2)用k表示a·b；(3)求a·b的最小值以及此时a与b的夹角.变式迁移2(·江苏)设向量a(4cos ，sin )，b(sin ，4cos )，c(cos ，4sin )(1)假设a与b2c垂直

5、，求tan()的值；(2)求|bc|的最大值；(3)假设tan tan 16，求证：ab.探究点三向量的数量积在三角函数中的应用例3向量a，b，且x.(1)求a·b及|ab|；(2)假设f(x)a·b|ab|，求f(x)的最大值和最小值变式迁移3 ·四川abc的面积s=··3，且cos b，求cos c.1一些常见的错误结论：(1)假设|a|b|，那么ab；(2)假设a2b2，那么ab；(3)假设ab，bc，那么ac；(4)假设a·b0，那么a0或b0；(5)|a·b|a|·|b|；(6)(a·b)ca(

6、b·c)；(7)假设a·ba·c，那么bc.以上结论都是错误的，应用时要注意2平面向量的坐标表示与向量表示的比拟：a(x1，y1)，b(x2，y2)，是向量a与b的夹角.向量表示坐标表示向量a的模|a|a|a与b的数量积a·b|a|b|cos a·bx1x2y1y2a与b共线的充要条件ab(b0)ababx1y2x2y10非零向量a，b垂直的充要条件aba·b0abx1x2y1y20向量a与b的夹角cos cos 3.证明直线平行、垂直、线段相等等问题的根本方法有：1要证ab=cd，可转化证明22或|.2要证两线段abcd，只要证存在

7、唯一实数0，使等式成立即可3要证两线段abcd，只需证·0.(总分值：75分)一、选择题(每题5分，共25分)1(·重庆)假设向量a(3，m)，b(2，1)，a·b0，那么实数m的值为 ()ab.c2d62非零向量a，b，假设|a|b|1，且ab，又知(2a3b)(ka4b)，那么实数k的值为 ()a6 b3c3d6abc中，a，b，a·b<0，sabc，|a|3，|b|5，那么bac等于 ()a30°b150°c150°d30°或150°4(·湖南)假设非零向量a，b满足|a|b|，(2

8、ab)·b0，那么a与b的夹角为 ()a30°b60°c120°d150°5a(2,3)，b(4,7)，那么a在b上的投影为 ()a.b.c.d.题号12345答案二、填空题(每题4分，共12分)6(·湖南长沙一中月考)设a(cos 2，sin )，b(1，2sin 1)，假设a·b，那么sin _.a|1，|b|2，cab，且ca，那么向量a与b的夹角为_8向量m(1,1)，向量n与向量m夹角为，且m·n1，那么向量n_.三、解答题(共38分)9.(12分)(2,5)，(3,1)，(6,3)，在线段oc上是否存在

9、点m，使，假设存在，求出点m的坐标；假设不存在，请说明理由10(12分)(·杭州调研)向量a(cos()，sin()，b(cos，sin)(1)求证：ab；(2)假设存在不等于0的实数k和t，使xa(t23)b，ykatb，满足xy，试求此时的最小值11(14分)(·济南模拟)a(1,2sin x)，b，函数f(x)a·b (xr)(1)求函数f(x)的单调递减区间；(2)假设f(x)，求cos的值答案 自主梳理1(1)a·b|a|b|cosa，b(2)|a|cosa，ea·b0|a|22.(1)b·a(2)a·cb

10、3;c(3)(a·b)3.(1)a1b1a2b2(2)a1b1a2b20(3)(4)(x2x1，y2y1)自我检测2b|2ab|2.3d由(ab)·b0得a·b|b|20，120，.4y28x(x0)解析由题意得，又，·0，即·0，化简得y28x(x0)52解析合理建立直角坐标系，因为三角形是正三角形，故设c(0,0)，a(2，0)，b(，3)，这样利用向量关系式，求得，所以·2.课堂活动区例1解(1)(2a3b)·(2ab)61，4|a|24a·b3|b|261.又|a|4，|b|3，644a·b276

11、1，a·b6.cos .又0，.(2)|ab|.(3)与的夹角，abc.又|a|4，|b|3，sabc|sinabc×4×3×3.变式迁移1(1)c|a|b|1，a·b0，展开(ac)·(bc)0|c|2c·(ab)|c|·|ab|cos ，|c|ab|cos cos ，|c|的最大值是.(2)<且2解析a，b(0，)，a·b>0且a·b不同向即|i|22|j|2>0，<.当a·b同向时，由akb(k>0)得2.<且2.aba·b0x1x2

12、y1y20.2当向量a与b是非坐标形式时，要把a、b用的不共线的向量表示但要注意运算技巧，有时把向量都用坐标表示，并不一定都能够简化运算，要因题而异解(1)由题意得，|a|b|1，(ab)·(ab)a2b20，ab与ab垂直(2)|kab|2k2a22ka·bb2k22ka·b1，(|akb|)23(1k2)6ka·b.由条件知，k22ka·b13(1k2)6ka·b，从而有，a·b(k>0)(3)由(2)知a·b(k)，当k时，等号成立，即k±1.k>0，k1.此时cos ，而0，.故a&#

13、183;b的最小值为，此时.变式迁移2(1)解因为a与b2c垂直，所以a·(b2c)4cos sin 8cos cos 4sin cos 8sin sin 4sin()8cos()0.因此tan()2.(2)解由bc(sin cos ，4cos 4sin )，得|bc|4.又当时，等号成立，所以|bc|的最大值为4.(3)证明由tan tan 16得，所以ab.例3解题导引与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型解答此类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式，向量模、夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角恒等变换的相关知识解(1)a·bcos xc

14、os sin xsin cos 2x，|ab|2|cos x|，x，cos x>0，|ab|2cos x.(2)f(x)cos 2x2cos x2cos2x2cos x122.x，cos x1，当cos x时，f(x)取得最小值；当cos x1时，f(x)取得最大值1.变式迁移3解由题意，设abc的角b、c的对边分别为b、c，那么sbcsin a.·bccos a3>0，a，cos a3sin a.又sin2acos2a1，sin a，cos a.由题意cos b，得sin b.cos(ab)cos acos bsin asin b.cos ccos(ab).课后练习区1

15、d因为a·b6m0，所以m6.2d由(2a3b)·(ka4b)0得2k120，k6.3csabc|a|b|sinbac，sinbac.又a·b<0，bac为钝角bac150°.4c由(2ab)·b0，得2a·b|b|2.cosa，b.a，b0°，180°，a，b120°.5b因为a·b|a|·|b|·cosa，b，所以，a在b上的投影为|a|·cosa，b.6.解析a·bcos 22sin2sin ，12sin22sin2sin ，sin .7120

16、°解析设a与b的夹角为，cab，ca，c·a0，即(ab)·a0.a2a·b0.又|a|1，|b|2，12cos 0.cos ，0°，180°即120°.8(1,0)或(0，1)解析设n(x，y)，由m·n1，有xy1.由m与n夹角为，有m·n|m|·|n|cos ，|n|1，那么x2y21.由解得或，n(1,0)或n(0，1)9解 设存在点m，且(6，3) (01)，(26，53)，(36，13)(4分)，(26)(36)(53)(13)0，(8分)即45248110，解得或.m点坐标为(2,1)或.故在线段oc上存在点m，使，且点m的坐标为(2,1)或(，)(12分)10(1)证明a·bcos()·cossin·sinsin cos sin cos 0.ab.(4分)(2)解由xy得，x·y0，即a(t23)b·(katb)0，ka2(t33t)b2tk(t23)a·