（整理版）M　推理与证明

1、m推理与证明m1合情推理与演绎推理11m1·陕西卷 观察以下不等式1<，1<，1<，照此规律，第五个不等式为_111<解析 本小题主要考查了归纳与推理的能力，解题的关键是对给出的几个事例分析，找出规律，推出所要的结果从几个不等式左边分析，可得出第五个式子的左边为：1，对几个不等式右边分析，其分母依次为：2,3,4，所以第5个式子的分母应为6，而其分子依次为： 3,5,7，所以第5个式子的分子应为11，所以第5个式子应为：1<.13m1(1)4位回文数有_个；(2)2n1(nn*)位回文数有_个13(1)90(2)9×10n解析 由题意，1位回文

2、数有9个，2位回文数有9个，3位回文数有909×10个，4位回文数有1001,1111,1221，1991,，9999，共90个，故归纳猜测2n2位回文数与2n1位回文数个数相等，均为9×10n个16m1·湖南卷 设n2n(nn*，n2)，将n个数x1，x2，xn依次放入编号为1,2，n的n个位置，得到排列p0x1x2xn.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前和后个位置，得到排列p1x1x3xn1x2x4xn，将此操作称为c变换将p1分成两段，每段个数，并对每段作c变换，得到p2；当2in2时，将pi分成2i段，每段个数，并对每段作

3、c变换，得到pi1.例如，当n8时，p2x1x5x3x7x2x6x4x8，此时x7位于p2中的第4个位置(1)当n16时，x7位于p2中的第_个位置；(2)当n2n(n8)时，x173位于p4中的第_个位置16(1)6(2) 3×2n411解析 考查合情推理，以新定义题型为载体，依据排列，考查考生的逻辑推理能力，要求学生的想象能力相当出色(1)由可得p1x1x3x5x7x9x11x13x15，p2x1x5x9x13x3x7x11x15，故x7位于p2中的第6个位置；(2)当i1时，p1的排列中x173的位置是87位；当i2时，p2的排列中x173的位置是44位；当i3时，p3的排列中

4、x173的位置是2n322位；当i4时，p4的排列中x173的位置是2n32n32n4113×2n411位6m1·江西卷 观察以下各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，那么a10b10()a28 b76 c123 d1996c解析 考查归纳推理，以及观察能力；解题的突破口是通过观察得到后一项与前两项结果之间的关系由于ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，通过观察发现，从第三项起，等式右边的常数分别为其前两项等式右边的常数的和因此，a6b611718，a7b7181129，a8b8291847，a9b9472976，a10b107

5、647123，应选c.m2直接证明与间接证明23m2、d1·上海卷 对于数集x1，x1，x2，xn，其中0x1x2xn，n2，定义向量集ya|a(s，t)，sx，tx，假设对任意a1y，存在a2y，使得a1·a20，那么称x具有性质p，例如1,1,2具有性质p.(1)假设x2，且1,1,2，x具有性质p，求x的值；(2)假设x具有性质p，求证：1x，且当xn1时，x11；(3)假设x具有性质p，且x11、x2q(q为常数)，求有穷数列x1，x2，xn的通项公式23解：(1)选取a1(x,2)，y中与a1垂直的元素必有形式(1，b)，所以x2b，从而x4.(2)证明：取a1(

6、x1，x1)y，设a2(s，t)y，满足a1·a20.由(st)x10得st0，所以s，t异号因为1是x中唯一的负数，所以s，t之中一个为1，另一个为1，故1x.假设xk1，其中1kn，那么0x11xn.选取a1(x1，xn)y，并设a2(s，t)y满足a1·a20，即sx1txn0，那么s，t异号，从而s，t之中恰有一个为1.假设s1，那么x1txntx1，矛盾；假设t1，那么xnsx1sxn，矛盾所以x11.(3)设a1(s1，t1)，a2(s2，t2)，那么a1·a20等价于，记b，那么数集x具有性质p当且仅当数集b关于原点对称注意到1是x中的唯一负数，b(

7、，0)x2，x3，xn共有n1个数，所以b(0，)也只有n1个数由于，已有n1个数，对以下三角数阵，.注意到，所以，从而数列的通项为xkx1k1qk1，k1,2，n.19d2、d3、m2·湖南卷 数列an的各项均为正数，记a(n)a1a2an，b(n)a2a3an1，c(n)a3a4an2，n1,2，.(1)假设a11，a25，且对任意nn*，三个数a(n)，b(n)，c(n)组成等差数列，求数列an的通项公式；(2)证明：数列an是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意nn*，三个数a(n)，b(n)，c(n)组成公比为q的等比数列19解：(1)对任意nn*，三个数a(n)，b

8、(n)，c(n)是等差数列，所以b(n)a(n)c(n)b(n)，即an1a1an2a2，亦即an2an1a2a14.故数列an是首项为1，公差为4的等差数列于是an1(n1)×44n3.(2)必要性：假设数列an是公比为q的等比数列，那么对任意nn*，有an1anq.由an0知，a(n)，b(n)，c(n)均大于0，于是q，q，即q.所以三个数a(n)，b(n)，c(n)组成公比为q的等比数列充分性：假设对任意nn*，三个数a(n)，b(n)，c(n)组成公比为q的等比数列，那么b(n)qa(n)，c(n)qb(n)于是c(n)b(n)qb(n)a(n)，得an2a2q(an1a1

9、)，即an2qan1a2qa1.由n1有b(1)qa(1)，即a2qa1，从而an2qan10.因为an0，所以q.故数列an是首项为a1，公比为q的等比数列综上所述，数列an是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意nn*，三个数a(n)，b(n)，c(n)组成公比为q的等比数列22b12、m3、m2·湖北卷 (1)函数f(x)rxxr(1r)(x>0)，其中r为有理数，且0<rf(x)的最小值；设a10，a20，b1，b2为正有理数假设b1b21，那么ab11ab22a1b1a2b2；注：当为正有理数时，有求导公式(x)x1.22解：(1)f(x)rrxr1r(1x

10、r1)，令f(x)0，解得x1.当0x1时，f(x)0，所以f(x)在(0,1)内是减函数；当x1时，f(x)0，所以f(x)在(1，)内是增函数故函数f(x)在x1处取得最小值f(1)0.(2)由(1)知，当x(0，)时，有f(x)f(1)0，即xrrx(1r)假设a1，a2中有一个为0，那么ab11ab22a1b1a2b2成立；假设a1，a2均不为0，又b1b21，可得b21b1，于是在中令x，rb1，可得b1b1·(1b1)，即ab11a1b12a1b1a2(1b1)，亦即ab11ab22a1b1a2b2.综上，对a10，a20，b1，b2为正有理数且b1b21，总有ab11a

11、b22a1b1a2b2.假设a1，a2，an为非负实数，b1，b2，bn为正有理数假设b1b1bn1，那么ab11ab22abnna1b1a2b2anbn.用数学归纳法证明如下：当n1时，b11，有a1a1，成立假设当nk时，成立，即假设a1，a2，ak为非负实数，b1，b2，bk为正有理数，且b1b2bk1，那么ab11ab22abkka1b1a2b2akbk.当nk1时，a1，a2，ak，ak1为非负实数，b1，b2，bk，bk1为正有理数，且b1b2bkbk11，此时0bk11，即 1bk10，于是ab11ab22abkkabk1k1(ab11ab22abkk)abk1k1(a1a2ak

12、)1bk1abk1k1.因1，由归纳假设可得a1a2aka1·a2·ak·，从而ab11ab22abkkabk1k11bk1abk1k1.又因(1bk1)bk11，由得1bk1abk1k1·(1bk1)ak1bk1a1b1a2b2akbkak1bk1，从而ab11ab22abkkabk1k1a1b1a2b2akbkak1bk1.故当nk1时，成立由可知，对一切正整数n说明：(3)中如果推广形式中指出式对n2成立，那么后续证明中不需讨论n1的情况m3 数学归纳法21d1、d3、e1、m3·重庆卷 设数列an的前n项和sn满足sn1a2sna1，其

13、中a20.(1)求证：an是首项为1的等比数列；(2)假设a21，求证：sn(a1an)，并给出等号成立的充要条件21解：(1)证法一：由s2a2s1a1得a1a2a2a1a1，即a2a2a1.因a20，故a11，得a2.又由题设条件知sn2a2sn1a1，sn1a2sna1，两式相减得sn2sn1a2(sn1sn)，即an2a2an1，由a20，知an10，因此a2.综上，a2对所有nn*成立，从而an是首项为1，公比为a2的等比数列证法二：用数学归纳法证明ana，nn*.当n1时，由s2a2s1a1，得a1a2a2a1a1，即a2a2a1，再由a20，得a11，所以结论成立假设nk时，结论

14、成立，即aka，那么当nk1时，ak1sk1sk(a2ska1)(a2sk1a1)a2(sksk1)a2aka，这就是说，当nk1时，结论也成立综上可得，对任意nn*，ana.因此an是首项为1，公比为a2的等比数列(2)当n1或2时，显然sn(a1an)，等号成立设n3，a21且a20，由(1)知a11，ana，所以要证的不等式化为1a2aa(1a)(n3)，即证：1a2aa(1a)(n2)当a21时，上面不等式的等号成立当1a21时，a1与a1(r1,2，n1)同为负；当a21时，a1与a1(r1,2，n1)同为正因此当a21且a21时，总有(a1)(a1)0，即aa1a(r1,2，n1)

15、上面不等式对r从1到n1求和得2(a2aa)(n1)(1a)，由此可得1a2aa(1a)综上，当a21且a20时，有sn(a1an)，当且仅当n1,2或a21时等号成立证法二：当n1或2时，显然sn(a1an)，等号成立当a21时，snn(a1an)，等号也成立当a21时，由(1)知sn，ana，下证：(1a)(n3，a21且a21)当1a21时，上面不等式化为(n2)ana2nan2(n3)令f(a2)(n2)ana2na.当1a20时，1a0，故f(a2)(n2)ana2(1a)(n2)|a2|nn2，即所要证的不等式成立当0a21时，对a2求导得f(a2)n(n2)a(n1)a1ng(a

16、2)其中g(a2)(n2)a(n1)a1，那么g(a2)(n2)(n1)(a21)a0，即g(a2)是(0,1)上的减函数，故g(a2)>g(1)0，从而f(a2)ng(a2)>0，进而f(a2)是(0,1)上的增函数，因此f(a2)f(1)n2，所要证的不等式成立当a21时，令b，那么0b1，由的结论知，两边同时乘以a得所要证的不等式综上，当a21且a20时，有sn(a1an)，当且仅当n1,2或a21时等号成立22b12、m3、m2·湖北卷 (1)函数f(x)rxxr(1r)(x>0)，其中r为有理数，且0<rf(x)的最小值；设a10，a20，b1，b2

17、为正有理数假设b1b21，那么ab11ab22a1b1a2b2；注：当为正有理数时，有求导公式(x)x1.22解：(1)f(x)rrxr1r(1xr1)，令f(x)0，解得x1.当0x1时，f(x)0，所以f(x)在(0,1)内是减函数；当x1时，f(x)0，所以f(x)在(1，)内是增函数故函数f(x)在x1处取得最小值f(1)0.(2)由(1)知，当x(0，)时，有f(x)f(1)0，即xrrx(1r)假设a1，a2中有一个为0，那么ab11ab22a1b1a2b2成立；假设a1，a2均不为0，又b1b21，可得b21b1，于是在中令x，rb1，可得b1b1·(1b1)，即ab1

18、1a1b12a1b1a2(1b1)，亦即ab11ab22a1b1a2b2.综上，对a10，a20，b1，b2为正有理数且b1b21，总有ab11ab22a1b1a2b2.假设a1，a2，an为非负实数，b1，b2，bn为正有理数假设b1b1bn1，那么ab11ab22abnna1b1a2b2anbn.用数学归纳法证明如下：当n1时，b11，有a1a1，成立假设当nk时，成立，即假设a1，a2，ak为非负实数，b1，b2，bk为正有理数，且b1b2bk1，那么ab11ab22abkka1b1a2b2akbk.当nk1时，a1，a2，ak，ak1为非负实数，b1，b2，bk，bk1为正有理数，且b

19、1b2bkbk11，此时0bk11，即 1bk10，于是ab11ab22abkkabk1k1(ab11ab22abkk)abk1k1(a1a2ak)1bk1abk1k1.因1，由归纳假设可得a1a2aka1·a2·ak·，从而ab11ab22abkkabk1k11bk1abk1k1.又因(1bk1)bk11，由得1bk1abk1k1·(1bk1)ak1bk1a1b1a2b2akbkak1bk1，从而ab11ab22abkkabk1k1a1b1a2b2akbkak1bk1.故当nk1时，成立由可知，对一切正整数n说明：(3)中如果推广形式中指出式对n2成立

20、，那么后续证明中不需讨论n1的情况22 d3、m3·全国卷 函数f(x)x22x3.定义数列xn如下：x12，xn1是过两点p(4,5)、qn(xn，f(xn)的直线pqn与x轴交点的横坐标(1)证明：2xn<xn1<3；(2)求数列xn的通项公式22解：(1)用数学归纳法证明：2xn<xn1<3.当n1时，x12，直线pq1的方程为y5(x4)，令y0，解得x2，所以2x1<x2<3.假设当nk时，结论成立，即2xk<xk1<3.直线pqk1的方程为y5(x4)，令y0，解得xk2.由归纳假设知xk24<43，xk2xk1>

21、;0，即xk1<xk2.所以2xk1<xk2<3，即当nk1时，结论成立由、知对任意的正整数n,2xn<xn1<3.(2)由(1)及题意得xn1.设bnxn3，那么1，5，数列是首项为，公比为5的等比数列，因此·5n1，即bn，所以数列xn的通项公式为xn3.m4 单元综合23m4·江苏卷 设集合pn1,2，n，nn*.记f(n)为同时满足以下条件的集合a的个数：apn；假设xa，那么2xa；假设xpna，那么2xpna.(1)求f(4)；(2)求f(n)的解析式(用n表示)23解：(1)当n4时，符合条件的集合a为：2，1,4，2,3，1,3

22、,4，故f(4)4.(2)任取偶数xpn，将x除以2，假设商仍为偶数，再除以2，经过k次以后，商必为奇数，此时记商为m，于是xm·2k，其中m为奇数，kn*.由条件知，假设ma，那么xak为偶数；假设ma，那么xak为奇数于是x是由m是否属于a确定的设qn是pn中所有奇数的集合，因此f(n)等于qn的子集个数当n为偶数(或奇数)时，pn中奇数的个数是，所以f(n)20b3、d4、m4·北京卷 设a是由m×n个实数组成的m行n列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零，记s(m，n)为所有这样的数表构成的集合对于as(m，n)，记ri(a)为a的第i行

23、各数之和(1im)，cj(a)为a的第j列各数之和(1jn)；记k(a)为|r1(a)|，|r2(a)|，|rm(a)|，|c1(a)|，|c2(a)|，|cn(a)|中的最小值(1)对如下数表a，求k(a)的值；111(2)设数表as(2,3)形如11cab1求k(a)的最大值；(3)给定正整数t，对于所有的as(2,2t1)，求k(a)的最大值20解：(1)因为r1(a)1.2，r2(a)1.2，c1(a)1.1，c2(a)0.7，c3(a)1.8，所以k(a)0.7.(2)不妨设ab.由题意得c1ab.又因c1，所以ab0，于是a0.r1(a)2c1，r2(a)r1(a)1，c1(a)1

24、a，c2(a)1b，c3(a)(1a)(1b)(1a)所以k(a)1a1.当ab0且c1时，k(a)取得最大值1.(3)对于给定的正整数t，任给数表as(2,2t1)如下：a1a2a2t1b1b2b2t1任意改变a的行次序或列次序，或把a中的每个数换成它的相反数，所得数表a*s(2,2t1)，并且k(a)k(a*)因此，不妨设r1(a)0，且cj(a)0(j1,2，t1)由k(a)的定义知，k(a)r1(a)，k(a)cj(a)(j1,2，t1)又因为c1(a)c2(a)c2t1(a)0，所以(t2)k(a)r1(a)c1(a)c2(a)ct1(a)r1(a)ct2(a)c2t1(a)jj(t1)t×(1)2t1.所以k(a).对数表a0：第1列第2列第t1列第t2列第2t1列1111111 那么a0s(2,2t1)，且k(a0).综上，对于所有