5(2.1随机变量;2.2离散型随机变量及其分布律)模板

1、2021-12-201二、随机变量的概念二、随机变量的概念一、随机变量的引入一、随机变量的引入第一节第一节 随机变量随机变量第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布2021-12-202 概率论是从数量上来研究随机现象内在规律概率论是从数量上来研究随机现象内在规律性的性的，为了更方便有力的研究随机现象为了更方便有力的研究随机现象，就要用就要用数学分析的方法来研究数学分析的方法来研究， 因此为了便于数学上的因此为了便于数学上的推导和计算推导和计算，就需将任意的随机事件数量化就需将任意的随机事件数量化当当把一些非数量表示的随机事件用数字来表示时把一些非数量表示的随机事件用数字来表示时， 就建立

2、起了随机变量的概念就建立起了随机变量的概念1. 为什么引入随机变量为什么引入随机变量?一、随机变量的引入一、随机变量的引入2021-12-2032. 随机变量的引入随机变量的引入实例实例1 在一装有红球、白球的袋中任摸一个球在一装有红球、白球的袋中任摸一个球,观察摸出球的颜色观察摸出球的颜色.S=红色、白色红色、白色 非数量非数量将将 S 数量化数量化 ?可采用下列方法可采用下列方法 S红色红色 白色白色)(eXR102021-12-204即有即有 X (红色红色)=1 , ., 0, 1)(白色白色红色红色eeeXX (白色白色)=0.这样便将非数量的这样便将非数量的 S=红色，白色红色，白

3、色 数量化了数量化了.2021-12-205实例实例2 抛掷骰子抛掷骰子,观察出现的点数观察出现的点数., 3) 3(, 2) 2(, 1) 1 ( XXX, 6)6(, 5)5(, 4)4( XXX).6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1(,61 iiXPS=1，2，3，4，5，6样本点本身就是数量样本点本身就是数量恒等变换恒等变换且有且有eeX )(则有则有2021-12-206.)(),(,)(,. , 为为随随机机变变量量称称上上的的单单值值实实值值函函数数这这样样就就得得到到一一个个定定义义在在与与之之对对应应有有一一个个实实数数果果对对于于每每一一个个如如它它的的样样本本空空

4、间间是是是是随随机机试试验验设设eXeXSeXSeeSE 二、随机变量的概念二、随机变量的概念1.定义定义2021-12-207随机变量随着试验的结果不同而取不同的值随机变量随着试验的结果不同而取不同的值, 由于试验的各个结果的出现具有一定的概率由于试验的各个结果的出现具有一定的概率, 因因此随机变量的取值也有一定的概率规律此随机变量的取值也有一定的概率规律.(2)随机变量的取值具有一定的概率规律随机变量的取值具有一定的概率规律随机变量是一个函数随机变量是一个函数 , 但它与普通的函数有但它与普通的函数有着本质的差别着本质的差别 ,普通函数是定义在实数轴上的普通函数是定义在实数轴上的,而而随机

5、变量是定义在样本空间上的随机变量是定义在样本空间上的 (样本空间的元样本空间的元素不一定是实数素不一定是实数).2.说明说明(1)随机变量与普通的函数不同随机变量与普通的函数不同2021-12-208随机事件包容在随机变量这个范围更广的概随机事件包容在随机变量这个范围更广的概念之内念之内.或者说或者说 : 随机事件是从静态的观点来研究随机事件是从静态的观点来研究随机现象随机现象,而随机变量则是从动态的观点来研究随而随机变量则是从动态的观点来研究随机现象机现象.(3)随机变量与随机事件的关系随机变量与随机事件的关系2021-12-209实例实例3 掷一个硬币掷一个硬币, 观察出现的面观察出现的面

6、 , 共有两个共有两个结果结果:),(1反面朝上反面朝上 e),(2正面朝上正面朝上 e若用若用 X 表示掷一个硬币出现正面的次数表示掷一个硬币出现正面的次数, 则有则有)(eX)(1反面朝上反面朝上 e)(2正面朝上正面朝上 e100)(1 eX1)(2 eX即即 X (e) 是一个随机变量是一个随机变量.2021-12-2010实例实例4 在有两个孩子的家庭中在有两个孩子的家庭中,考虑考虑其性别其性别 , 共有共有 4 个样本点个样本点:).,(),(, ),(),(4321女女女女男男女女女女男男男男男男 eeee若用若用 X 表示该家女孩子的个数时表示该家女孩子的个数时 , 则有则有,

7、 0)(1 eX, 1)(2 eX, 1)(3 eX, 2)(4 eX可得随机变量可得随机变量 X(e), ., 2, 1, 0)(4321eeeeeeeeeX2021-12-2011实例实例5 设盒中有设盒中有5个球个球 (2白白3黑黑), 从中任抽从中任抽3个个,则则,)(抽得的白球数抽得的白球数 eX是一个随机变量是一个随机变量.实例实例6 设某射手每次射击打中目标的概率是设某射手每次射击打中目标的概率是0.8,现该射手射了现该射手射了30次次, 则则,)(射中目标的次数射中目标的次数 eX是一个随机变量是一个随机变量.且且 X(e) 的所有可能取值为的所有可能取值为:, 0, 1. 2

8、且且 X(e) 的所有可能取值为的所有可能取值为:.30, , 3, 2, 1, 02021-12-2012实例实例7 设某射手每次射击打中目标的概率是设某射手每次射击打中目标的概率是0.8,现该射手不断向目标射击现该射手不断向目标射击 , 直到击中目标为止直到击中目标为止,则则,)(所需射击次数所需射击次数 eX是一个随机变量是一个随机变量.且且 X(e) 的所有可能取值为的所有可能取值为:., 3, 2, 12021-12-2013实例实例8 某公共汽车站每隔某公共汽车站每隔 5 分钟有一辆汽车通分钟有一辆汽车通过过, 如果某人到达该车站的时刻是随机的如果某人到达该车站的时刻是随机的, 则

9、则,)(此人的等车时间此人的等车时间 eX是一个随机变量是一个随机变量.且且 X(e) 的所有可的所有可能取值为能取值为:.5 , 02021-12-20143.随机变量的分类随机变量的分类离散型离散型(1)离散型离散型 随机变量所取的可能值是有限多个或随机变量所取的可能值是有限多个或无限可列个无限可列个, 叫做离散型随机变量叫做离散型随机变量. 观察掷一个骰子出现的点数观察掷一个骰子出现的点数.随机变量随机变量 X 的可能值是的可能值是 :随机变量随机变量连续型连续型实例实例11, 2, 3, 4, 5, 6.非离散型非离散型其它其它2021-12-2015实例实例2 若随机变量若随机变量

10、X 记为记为 “连续射击连续射击, 直至命直至命中时的射击次数中时的射击次数”, 则则 X 的可能值是的可能值是: ., 3, 2, 1实例实例3 设某射手每次射击打中目标的概率是设某射手每次射击打中目标的概率是0.8,现该射手射了现该射手射了30次次,则随机变量则随机变量 X 记为记为“击中目标击中目标的次数的次数”, 则则 X 的所有可能取值为的所有可能取值为:.30, 3, 2, 1, 02021-12-2016实例实例2 随机变量随机变量 X 为为“测量某零件尺寸时的测测量某零件尺寸时的测量量误差误差”.则则 X 的取值范围为的取值范围为 (a, b) .实例实例1 随机变量随机变量

11、X 为为“灯泡的寿命灯泡的寿命”.)., 0 (2)连续型连续型 随机变量所取的可能值可以连续地充随机变量所取的可能值可以连续地充满某个区间满某个区间,叫做连续型随机变量叫做连续型随机变量.则则 X 的取值范围为的取值范围为2021-12-2017一一、离散型随机变量的分布律离散型随机变量的分布律二二、常见离散型随机变量的概率分布常见离散型随机变量的概率分布第二节第二节 离散型随机变量离散型随机变量 及其分布律及其分布律2021-12-2018说明说明 ;, 2 , 1, 0)1( kpk. 1)2(1 kkp., 2, 1,), 2 , 1(的的分分布布律律称称此此为为离离散散型型随随机机变

12、变量量为为的的概概率率即即事事件件取取各各个个可可能能值值的的概概率率所所有有可可能能取取的的值值为为设设离离散散型型随随机机变变量量XkpxXPxXXkxXkkkk 一、离散型随机变量的分布律一、离散型随机变量的分布律定义定义2021-12-2019离散型随机变量的分布律也可表示为离散型随机变量的分布律也可表示为 nnpppxxxX2121Xkpnxxx21nppp212021-12-2020.),(,.21,的的分分布布律律求求相相互互独独立立的的设设各各组组信信号号灯灯的的工工作作是是号号灯灯的的组组数数它它已已通通过过的的信信表表示示汽汽车车首首次次停停下下时时以以车车通通过过的的概概

13、率率允允许许或或禁禁止止汽汽每每组组信信号号灯灯以以组组信信号号灯灯的的道道路路上上需需经经过过四四设设一一汽汽车车在在开开往往目目的的地地XX解解,通过的概率通过的概率为每组信号灯禁止汽车为每组信号灯禁止汽车设设 p则有则有kpX43210ppp)1( pp2)1 ( pp3)1 ( 4)1(p 例例12021-12-2021代入得代入得将将21 pXkp432105 . 025. 0 125. 0 0625. 0 0625. 02021-12-2022二、常见离散型随机变量的概率分布二、常见离散型随机变量的概率分布 设随机变量设随机变量 X 只可能取只可能取0与与1两个值两个值 , 它的分

14、它的分布律为布律为Xkp0p 11p则称则称 X 服从服从 (01) 分布分布或或两点分布两点分布.1.两点分布两点分布 2021-12-2023实例实例1 “抛硬币抛硬币”试验试验,观察正、反两面情况观察正、反两面情况. 随机变量随机变量 X 服从服从 (01) 分布分布., 1)(eXX , 0,正面正面当当 e.反面反面当当 eXkp012121其分布律为其分布律为2021-12-2024实例实例2 200件产品中件产品中,有有190件合格品件合格品,10件不合格件不合格品品,现从中随机抽取一件现从中随机抽取一件, 那么那么, 若规定若规定 , 0, 1X取得不合格品取得不合格品,取得合

15、格品取得合格品.则随机变量则随机变量 X 服从服从(0 1)分布分布.Xkp01200190200102021-12-2025 两点分布是最简单的一种分布两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有任何一个只有两种可能结果的随机现象两种可能结果的随机现象, 比如新生婴儿是男还是比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等女、明天是否下雨、种籽是否发芽等, 都属于两点都属于两点分布分布.说明说明2021-12-20262.等可能等可能分布分布如果随机变量如果随机变量 X 的分布律为的分布律为实例实例 抛掷骰子并记出现的点数为随机变量抛掷骰子并记出现的点数为随机变量 X,Xkp16123456

16、6161616161则有则有 .,)(),(服服从从等等可可能能分分布布则则称称其其中中Xjiaaji Xkpnaaa21nnn1112021-12-2027将试验将试验 E 重复进行重复进行 n 次次, 若各次试验的结果互若各次试验的结果互不影响不影响 , 即每次试验结果出现的概率都不依赖于其即每次试验结果出现的概率都不依赖于其它各次试验的结果它各次试验的结果, 则称这则称这 n 次试验是次试验是相互独立相互独立的的, 或称为或称为 n 次次重复独立重复独立试验试验.(1) 重复独立试验重复独立试验3.二项分布二项分布2021-12-2028(2) n 重重伯努利试验伯努利试验.1)(),1

17、0()( .,:pAPppAPEAAE 此时此时设设为伯努利试验为伯努利试验则称则称及及只有两个可能结果只有两个可能结果设试验设试验. , 重重伯伯努努利利试试验验 nnE复复的的独独立立试试验验为为则则称称这这一一串串重重次次独独立立地地重重复复地地进进行行将将实例实例1 抛一枚硬币观察得到正面或反面抛一枚硬币观察得到正面或反面. 若将硬若将硬币抛币抛 n 次次,就是就是n重伯努利试验重伯努利试验.实例实例2 抛一颗骰子抛一颗骰子n次次,观察是否观察是否 “出现出现 1 点点”, 就是就是 n重伯努利试验重伯努利试验.2021-12-2029Jacob BernoulliBorn: 27 D

18、ec 1654 in Basel, SwitzerlandDied: 16 Aug 1705 in Basel, Switzerland伯努利资料伯努利资料2021-12-2030,)0 (时时当当nkkX .次次次次试试验验中中发发生生了了在在即即knA 次次kAAA, 次次knAAA 次次1 kAAAA A 次次1 knAAA次的方式共有次的方式共有次试验中发生次试验中发生在在得得knA,种种 kn且两两互不相容且两两互不相容.(3) 二项概率公式二项概率公式,发生的次数发生的次数重伯努利试验中事件重伯努利试验中事件表示表示若若AnX所有可能取的值为所有可能取的值为则则 X., 2, 1,

19、 0n2021-12-2031nknknnkpqpknpqnqpnkX 1110称这样的分布为称这样的分布为二项分布二项分布.记为记为).,(pnbX次次的的概概率率为为次次试试验验中中发发生生在在因因此此knAknkppkn )1(pq 1记记knkqpkn 的的分分布布律律为为得得 X二项分布二项分布1 n两点分布两点分布2021-12-2032二项分布的图形二项分布的图形2021-12-2033例如例如 在相同条件下相互独立地进行在相同条件下相互独立地进行 5 次射击次射击,每每次射击时击中目标的概率为次射击时击中目标的概率为 0.6 ,则击中目标的次则击中目标的次数数 X 服从服从 b

20、 (5,0.6) 的二项分布的二项分布.5) 4 . 0(44 . 06 . 015 324 . 06 . 025 234 . 06 . 035 4 . 06 . 0454 56 . 0Xkp0123452021-12-2034?)20, 1 , 0(20.20, 2 . 0.1500,一一级级品品的的概概率率是是多多少少只只中中恰恰有有只只元元件件问问只只现现在在从从中中随随机机地地抽抽查查品品率率为为级级已已知知某某一一大大批批产产品品的的一一小小时时的的为为一一级级品品用用寿寿命命超超过过某某种种型型号号电电子子元元件件的的使使按按规规定定 kk分析分析 这是不放回抽样这是不放回抽样.但

21、由于这批元件的总数很但由于这批元件的总数很大大, 且抽查元件的数量相对于元件的总数来说又很且抽查元件的数量相对于元件的总数来说又很小小,因而此抽样可近似当作放回抽样来处理因而此抽样可近似当作放回抽样来处理.2020,重重伯伯努努利利试试验验只只元元件件相相当当于于做做检检查查验验一一级级品品看看成成是是一一次次试试把把检检查查一一只只元元件件是是否否为为例例22021-12-2035解解,20 只只元元件件中中一一级级品品的的只只数数记记以以 X),2 . 0,20( bX则则因此所求概率为因此所求概率为.20, 1 , 0,)8 . 0()2 . 0(2020 kkkXPkk012. 00

22、XP058. 01 XP137. 02 XP205. 03 XP218. 04 XP175. 05 XP109. 06 XP055. 07 XP022. 08 XP007. 09 XP002. 010 XP时时当当11,001. 0 kkXP2021-12-2036图示概率分布图示概率分布2021-12-2037.,400,02. 0,率率试试求求至至少少击击中中两两次次的的概概次次独独立立射射击击设设每每次次射射击击的的命命中中率率为为某某人人进进行行射射击击解解,X设击中的次数为设击中的次数为).02. 0 ,400( bX则则的分布律为的分布律为X,)98. 0()02. 0(40040

23、0 kkkkXP .400, 1 , 0 k因此因此1012 XPXPXP399400)98. 0)(02. 0(400)98. 0(1 .9972. 0 例例32021-12-2038 有一繁忙的汽车站有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过每天有大量汽车通过,设设每辆汽车在一天的某段时间内每辆汽车在一天的某段时间内,出事故的概率为出事故的概率为0.0001,在每天的该段时间内有在每天的该段时间内有1000 辆汽车通过辆汽车通过, 问问出事故的次数不小于出事故的次数不小于2的概率是多少的概率是多少?),0001.0,1000( bX99910009999. 00001. 0110009999.

24、01 设设 1000 辆车通过辆车通过,出事故的次数为出事故的次数为 X , 则则解解例例4故所求概率为故所求概率为1012 XPXPXP二项分布二项分布 泊松分布泊松分布)(nnp 2021-12-20394. 泊松分布泊松分布 ).(,.0, 2 , 1 , 0,!e, 2, 1, 0 XXkkkXPk记为记为布布的泊松分的泊松分服从参数为服从参数为则称则称是常数是常数其中其中值的概率为值的概率为而取各个而取各个的值为的值为设随机变量所有可能取设随机变量所有可能取 2021-12-2040泊松资料泊松资料Born: 21 June 1781 in Pithiviers, FranceDie

25、d: 25 April 1840 in Sceaux (near Paris), FranceSimon Poisson2021-12-2041泊松分布的图形泊松分布的图形2021-12-2042泊松分布的背景及应用泊松分布的背景及应用二十世纪初卢瑟福和盖克两位科学家在观察二十世纪初卢瑟福和盖克两位科学家在观察与分析放射性物质放出的与分析放射性物质放出的 粒子个数的情况时粒子个数的情况时, ,他他们做了们做了2608次观察次观察( (每次时间为每次时间为7.5秒秒) )发现放射发现放射性物质在规定的一段时间内性物质在规定的一段时间内, , 其放射的粒子数其放射的粒子数X 服从泊松分布服从泊松分

26、布. . 2021-12-2043 在生物学在生物学、医学医学、工业统计、保险科学及工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中公用事业的排队等问题中 , 泊松分布是常见的泊松分布是常见的.例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数等话呼唤次数等, 都服从泊松分布都服从泊松分布.2021-12-2044电话呼唤次数电话呼唤次数交通事故次数交通事故次数商场接待的顾客数商场接待的顾客数地震地震火山爆发火山爆发特大洪水特大洪水2021-12-2045上面我们提到上面我们提到二项分布二项分布 泊松分布泊松分布)(nnp 分布分布演示演示2021-12-20

27、46 设设1000 辆车通过辆车通过,出事故的次数为出事故的次数为 X , 则则可利用泊松定理计算可利用泊松定理计算, 1 . 00001. 01000 所求概率为所求概率为99910009999.00001.0110009999.01 .0047. 0! 1e1 . 0!0e11 . 01 . 0 解解2 XP1012 XPXPXP),0001.0,1000( bX例例4 有一繁忙的汽车站有一繁忙的汽车站, 每天有大量汽车通过每天有大量汽车通过,设每辆汽车设每辆汽车,在一天的某段时间内出事故的概率在一天的某段时间内出事故的概率为为0.0001,在每天的该段时间内有在每天的该段时间内有1000

28、 辆汽车通辆汽车通过过,问出事故的次数不小于问出事故的次数不小于2的概率是多少的概率是多少?2021-12-2047例例5 设有设有80台同类型设备台同类型设备,各台工作是相互独立的各台工作是相互独立的发生故障的概率都是发生故障的概率都是 0.01,且一台设备的故障能由且一台设备的故障能由一个人处理一个人处理. 考虑两种配备维修工人的方法考虑两种配备维修工人的方法 , 其一其一是由四人维护是由四人维护,每人负责每人负责20台台; 其二是由其二是由3人共同维人共同维护台护台80.试比较这两种方法在设备发生故障时不能试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小及时维修的概率的大小.解解 按第一种方法按第一种方法台中台中人维护的人维护的表示事件“第表示事件“第20i,201数”数”的台的台台中同一时刻发生故障台中同一时刻发生故障人维护的人维护的记“第记“第以以X)4 , 3 , 2 , 1( iAi以以发生故障时不能及时维修发生故障时不能及时维修”,而不能及时维修的概率