高中物理奥林匹克竞赛专题--振动(共98张)ppt课件

1、 第四章第四章 振动与动摇振动与动摇中国国家管弦乐团在结合国总部的上演中国国家管弦乐团在结合国总部的上演 振动与动摇是亲密联络的物理景象。振动是振动与动摇是亲密联络的物理景象。振动是产生动摇的根源，动摇是振动在空间的传播。过产生动摇的根源，动摇是振动在空间的传播。过去，人们习惯于将振动与动摇纳入力学的范畴，去，人们习惯于将振动与动摇纳入力学的范畴，实践上振动与动摇的内容贯穿在力学、电磁学、实践上振动与动摇的内容贯穿在力学、电磁学、光学乃至量子力学之中。机械振动在介质中的传光学乃至量子力学之中。机械振动在介质中的传播构成机械波，电磁振动在空间的传播构成电磁播构成机械波，电磁振动在空间的传播构成电

2、磁波。虽然机械振动和机械波与电磁振动和电磁波波。虽然机械振动和机械波与电磁振动和电磁波在本质上有所不同，但它们的变化规律是类似的。在本质上有所不同，但它们的变化规律是类似的。因此，本章讨论机械振动和机械波的根本规律，因此，本章讨论机械振动和机械波的根本规律，但这些规律的意义绝不局限于力学，它是研讨光但这些规律的意义绝不局限于力学，它是研讨光学、量子力学乃至整个物理学的根底。学、量子力学乃至整个物理学的根底。引 言我国前往式卫星运用的搭载桶正在进展振动实验。我国前往式卫星运用的搭载桶正在进展振动实验。 一、简谐振动1. 简谐振动的定义 无阻尼的等幅振动称简谐振动。典型的简谐振动是弹簧振子spri

3、ng oscillator的运动。在弹簧振子中，振动的物体遭到弹性力的作用，弹性力服从胡克定律。kxF mFX0 xkmFx0 xkkxF 简谐振动并不局限简谐振动并不局限于弹簧振子。对于于弹簧振子。对于摆的运动、木块在摆的运动、木块在水面上的浮动等类水面上的浮动等类似的运动，运动物似的运动，运动物体所受的力与弹性体所受的力与弹性力类似，称为准弹力类似，称为准弹性力。这种在准弹性力。这种在准弹性力作用下的运动性力作用下的运动也是简谐振动。也是简谐振动。例题例题1.直径直径d的的U形管，装有质量为形管，装有质量为m的的液体液体,假设给液体一个小的初始位移，假设给液体一个小的初始位移，液体将在管中

4、作微振动，这种振动能液体将在管中作微振动，这种振动能否是简谐振动否是简谐振动 ？ vgmgF 是简谐振动kxxgd221gdx222解：选坐标系；分析受力；列方程，例题2。一立方体木块浮于静止的水面上，其浸在水中部分的高度为h。现用手指将其稍稍压下，使浸在水中部分的高度变为b.放手后木块将在水面上下作振动，此振动能否为简谐振动？解：木块静止时有，重力浮力，选水面为坐标原点，指向水的一侧为正方向。恣意时辰木块质心坐标为x: hgLgL23水木kxgxLgxhLgLF223)(水水木是简谐振动0dd222xtxmk 2.简谐振动的数学模型maF 22ddtxa kxF角频率角频率angular f

5、requency 2 频率频率)cos( tAx 这个结果阐明，振动物体的位移和振动时间的关系满足余弦函数的关系，这个结果可作为简谐振动的定义。1模型的解位移与时间的关系A， 是积分常数0dd222xtx微分方程 称为简谐振动方程,其数学解描画了弹簧振子的位移与时间之间的关系,称为简谐运动方程. 许多物体的运动类似弹簧振子的运动,凡是可以用简谐振动方程描画的运动其位移与时间的关系均可以用运动方程来描画.如单摆、复摆在理想条件下的运动都可以用简谐运动方程描画. 它们也统称谐振子. 简谐运动方程中A、分别被称为振幅、圆频率和初相位.它们描画了振动的最大位移、单位时间内的往返次数和振动点的初始位置.

6、 从简谐运动方程中可以看到：简谐振动的振幅为一与时间和频率无关的常数;而位移是按周期在有限区域内的往复变化,并且和初始位置有关. 振幅、圆频率和初相位是决议振动详细位移大小和速度大小的决议性参数,所以称为振动三要素. 21T)(cos)cos(TtAtA2T振幅amplitude) A: 振动物体分开平衡位置的最大位移或角位移的绝对值。周期 (period) T: 物体完成一次全振动所需时间。频率frequency) :单位时间内振动的次数。22T角频率(angular frequency):相位 (phase) 决议谐振动物体的运动形状t : 初相位initial phase (2)各参量的

7、物理意义)cos( tAxdsin()cos()d2mxvAtvtt )cos()cos(2 tatAdtdvam)cos( tAxAvmAam23振动物体的速度和加速度 1A 的物理意义: maxxA 0000sincosAvAx2020)(vxA A 是物体分开平衡位置的最大幅度-振幅，A 的大小由弹簧振子的初始形状决议。单位 m。描画简谐振动的特征量记住：静止松手的位置就是振幅！2T 的物理意义00cos0Axt000cos)2cos(2xAAxTt后经过 T 表示完成一次完好振动所需求的时间-周期，T 的大小由弹簧振子的固有性质决议。单位sT1221T3 的引入表示在单位时间内完成整振

8、动的次数-频率， 的大小由弹簧振子的固有性质决议。单位Hz4的引入 表示在2 秒内完成整振动的次数-角频率，的大小由弹簧振子的固有性质决议。单位弧度/秒mkmk2mk212kmTT21固有角频率固有频率固有周期0t相位：0初相位的取值范围：0 (5) 的物理意义： 0表示初始时辰的相位-初相位,大小由弹簧振子的初始形状决议。单位rad.sincos00AvAx00tanxv计算初相位的两种方法：,00vx方法1：知方法2：知0,A x 初速度的符号00cosxA00arccosxA 重要结论sin0Av0000000sin000sin00vv则则记住：初相位与速度的符号总是相反的！问题：如何从

9、振动曲线上看出简谐振子在某时辰的速度符号？记住：上坡点的速度为正下坡点的速度为负 例题 知某简谐振动的振动曲线如下图，试写出该振动的简谐振动方程。00114,2,00,0Acm xcm vxv04cos() xtcm解 ： 从图中可以看出知条件：00arccos1arccos2xA 33000v)3cos(4tx23)3cos(40652301v)365cos(4tx110,0 xv还有已知条件： 例题如图，一长为例题如图，一长为L的弹簧上端固定，下端的弹簧上端固定，下端挂一重物后长度变为挂一重物后长度变为(L+S)，并仍在弹性限制，并仍在弹性限制之内。假设将重物向上托起，使弹簧缩回原之内。假

10、设将重物向上托起，使弹簧缩回原来的长度，然后静止放手，重物将作上下运来的长度，然后静止放手，重物将作上下运动。动。)(sxkmgFkskxmgkxmgkxmg 是简谐振动。 1证明重物的运动是简谐振动。解:2求 ,AAs按题意：kgmsm gk s122gsx 解： 3假设以放手时开场计时，求简谐振动方程假设以放手时开场计时，求简谐振动方程 0cos()xAtcos()gxsts0cos()gsts000,0txs v 将初始条件代入上式：x00arcco sarcco sxAss 例题.一单摆，把它从平衡位置拉开，使摆线与竖直方向成一微小角度 ，然后由静止放手任其摆动，假设自放手时开场计时，

11、如用余弦函数表示其运动方程，那么该单摆振动的初位相为： B,C A；B；C0；D20()arccosarccos 1AA 要看坐标如何取 ,0例题.一质点作简谐振动，振动方程x =Acos(wt+)，当时间 t =T/4 (T 为周期)时，质点的速度为： C ;sin)B(A;sin)A(A;cos)C(A.cos)D(A000sin()2sin()4cosvAtTATA ) cos()(tAtx)cos(2tAa)sin(tAv txOA-A = 2 是振动物体 t 时辰的相位)(t相位的意义相位的意义: 相位确定了振动的形状相位确定了振动的形状.相位每改动相位每改动 2 2 振动反复一次振

12、动反复一次4相位)cos( tAx两个频率一样的简谐振动：两个频率一样的简谐振动：111costAx222costAx相位差为相位差为 1212)()(tt称振动称振动2 2的相位超前振动的相位超前振动1 1的相位。的相位。两个振动的超前、同向与反向120，振动b)超前振动(a)12,420称这两个振动同相或同步称这两个振动同相或同步 12,3称这两个振动反相称这两个振动反相两个振动同相两个振动反相tx图图tv图图ta 图图TAA2A2AxvatttAAoooTT)0( )cos( tAx)2cos(tmvv)cos(taam)(sin21212222 tAmmvEk)(cos2121222

13、tkAkxEP221kAEEEpk 简谐振动的势能曲线简谐振动的势能曲线kEpExEBCAApExO振动能量是守恒的振动能量是守恒的振动的能量振动的能量谐振子的动能、势能和总能量随时间的变化曲线谐振子的动能、势能和总能量随时间的变化曲线: :tAxcos221kAE PEkEEotxot 动能和势能的变化频率是振动频率的二倍。与时间有关的物理量与时间有关的物理量F(t)F(t)在时间间隔在时间间隔T T内的平均值为：内的平均值为： 01dTFF ttT2222002k41)d(sin211d211kAttAmTtmTETT222002p41)d(cos211d211kAttkATtkxTETT

14、在一个振动周期内，平均势能等于平均动能。在一个振动周期内，平均势能等于平均动能。简谐振动的矢量图解法和复数解法谐振动表示的旋转矢量法矢量矢量A 以匀角速度绕原点以匀角速度绕原点O旋转时，旋转时，A 在在x轴轴上的投影的变化规律与简谐振动一样上的投影的变化规律与简谐振动一样.因此因此,可可以用旋转矢量来表示简谐振动。以用旋转矢量来表示简谐振动。 xoAcos0Ax 0t0 xxoAtt t)cos(tAx 简谐振动可以用一个旋转矢量描画。 矢量的长度代表振幅 矢量逆时针旋转的角速度代表角频率 矢量在初始时辰与x轴的角度代表初相位 矢量在任一时辰与x轴的角度代表相位AAAAA00t 矢量在x轴投影

15、00cosAx )cos(0tAx0tx0 x)cos(2tAa2 tmvvxyOAt)cos(tAxnaaAmv)cos(tAv2nAa 用旋转矢量图画简谐运动的 图tx 位移、速度与加速度的旋转矢量 物体作简谐振动，振幅为0.24m，振动周期为4s。开场时物体在x=0.12m处，向负方向运动。求该物体的振动方程，t=1s时物体的位移、速度和加速度。 )s(rad24221 -Tcos240120.cos213解：由初始条件得32cos24. 0tx3)sin(tAtAa cos2例题7.一物体做谐振动，振幅为 A，在起始时辰质点的位移为 -A/2 且向 x 轴的正方向运动，代表此谐振动的旋

16、转矢量图为：OAx)A(2/A D OAx2/A)B(OAx)C(2/AOAx)D(2/A讨论 相位差：表示两个相位之差 1对同一简谐运动，相位差可以给出两运动形状间变化所需的时间21() ()tt 12ttt)cos(11tAx)cos(22tAx21()()ttAx2Atobaat3TTt61232AbtvAxAoA 2对于两个同频率的简谐运动，相位差表示它们间步伐上的差别处理振动合成问题.12)cos(111tAx)cos(222tAx)()(12tt 例 一质量为0.01 kg的物体作简谐运动，其振幅为0.08 m，周期为4 s，起始时辰物体在x=0.04 m处，向ox轴负方向运动如图

17、.试求 1t=1.0 s时，物体所处的位置和所受的力； o08. 004. 004. 008. 0m/xvo08. 004. 004. 008. 0m/xm 04.00 xt，代入)cos(tAxA3030v解1s 22Tm 08. 0As 4,m 08. 0,kg 01. 0TAm知0,m 04. 0, 00vxt求1Fxt, s 0 . 13o08. 004. 004. 008. 0m/xvkg 01. 0ms 0 . 1t代入上式得m 069. 0 xxmkxF2)32cos(08. 0txN 1070. 13可求1Fxt, s 0 . 13 2由起始位置运动到x = -0.04 m处所

18、需求的最短时间. 法一 设由起始位置运动到x= -0.04 m处所需求的最短时间为to08. 004. 004. 008. 0m/xv23)21(arccosts 667. 032o08. 004. 004. 008. 0m/xv)32cos(08. 0tx)32cos(08. 004. 0t 例题 一物体作简谐振动，振幅为15cm,频率为4Hz,求物体从平衡位置运动到 x=+12cm (且向x轴正向运动处，所需的最短时间。0000vxa0000vxb解：用矢量图解法 平衡位置有两个X=+12cm 位置有两个 dbcbdacacb mint8 . 01512sinmint927. 0mints

19、t037. 0min有四个时间 其中最短时间为d X=+12cm v0例题9.一质点在 x 轴上作谐振动，选取该质点向右运动经过 A 点时作为计时起点 ( t=0 )，经过 2 秒后质点第一次经过 B 点，再经过 2 秒后质点第二次经过 B 点，假设知该质点在 A、B 两点具有一样的速率，且AB=10 cm。求:(1)质点的振动方程；(2)质点 A 在点处的速率。解：由旋转矢量图和 vA=vB 可知 T / 2 = 4sAB0ts2tAvBvs4tx,s8TAB0ts2tAvBvs4tx4/2,s8/11(1) 以AB的中点为坐标原点, x 轴指向右方.t=0时,05cmx 0cosAt=2s

20、时, 25cmx sinA0cos(2)A由上两式可解得,cm25A00255 2cos cos2 034 由于在A点质点的速度大于零,所以取034 运动方程35 2cos44xtcm(2) A dxvdt求 点的速率：A点是t=0时,5()4Avcm s(SI)(SI)35 2sin444t AB0ts2tAvBvs4tx单摆的运动方程sinsinmgGfsindd22mgtml0sindd22lgt361sin0dd22lgt0dd222tlg/2glT2单摆的等时性 周期或频率与周期或频率与初始条件无关初始条件无关计时和测计时和测g简谐振动的合成简谐振动的合成)cos()cos(2211

21、tAtAtAAtAA sin)sinsin( cos)coscos(22112211cosAsinA) cos( sinsincoscostAtAtAx)cos(212212221AAAAA22112211coscossinsintanAAAA)cos(111tAx)cos(222tAx21xxx结论：合振动仍是简谐振动！结论：合振动仍是简谐振动！一、同方向同频率的简谐振动的合成两个同方向、同频率的简谐振动方程为：)cos(111tAx)cos(222tAx 一物体同时参与了同不断线上x 轴的两个频率一样的简谐振动21xxx)cos()cos(2211tAtAx同不断线上的两个分振动对同一平衡

22、位置的位移，因此合振动的位移合位移也在该直线上，且对此平衡位置的合位移应为两个分振动位移的代数和，即采用旋转矢量图解法合成合振动旋转矢量法图解的合成旋转矢量法合成的合振动的结果:)cos(tAx 上式阐明，同不断线上同频率的两个简谐振动的合振动仍为一个同频率的简谐振动。式中 为合振动的振幅,为合振动的初相位.A)(cos2122122212AAAAA)cos(2122122212AAAAA)cos(212212221AAAAA22112211coscossinsinarctanAAAA那么合振幅为)(12重要结论21AAA 合振幅最小，减弱21(2)21k 当反相的整数倍时为其它值，即不是)3

23、(2121AAAAA讨论特殊情况:21(1)2 k 当同相合振幅最大,加强21AAA同相加强反相减弱)cos(212212221AAAAA旋转矢量法图解的合成二、同方向不同频率的简谐振动的合成二、同方向不同频率的简谐振动的合成 拍拍1111costAx2222costAxtAAAAA12212221cos2振幅在21AAA和21AAA之间周期性地变化称振幅调制。 111cosxAt212cosxAt 一物体同时参与了同不断线上x 轴的两个频率相近，初相位都为0，振幅相等的简谐振动21xxx1112coscosxAtAt依然采用旋转矢量图解法合成合振动：21 由A1 和A2组成的平行四边形是随时

24、间变化的，因此合矢量A的大小也随时间变化,那么合矢量A表示的合振动的振幅也随时间变化，或者说，合振动是振幅随时间变化的振动。结论：，合振动不再是简谐振动。21 由上图可求出合振幅选择A1 和A2重合且方向一样 时为t = 0，将该方向定为x轴正向：tAA)(1221的夹角为与那么合振幅为tAAAAA)cos(21221222112121cos() AAt2)cos(12121tAtA2cos2121由于振幅为正值，应写成tAA2cos2121 由于 与 相近，所以合振幅随时间做周期性的缓慢变化。2121在恣意时辰 t ，合矢量 与 x 轴的夹角为：A2112tttt212t那么合振动可表示为：212112coscos22Att随t变化缓慢随t变化较快cosxAt由于振幅为正值:tAA2cos2121函数的变化周期为t2cos21212T122T合振动振幅的变化频率 叫拍频即合振动在一秒内加强或减弱的次数12121221T21重要结论ttt拍拍 的 振 动 曲 线观看视频资料:拍121221T合振幅从一次极大到相邻的另一次极大所需求的时间为周期，周期的倒数为频率。拍景象可用于丈量未知振动的频率两个频率都较大，但频率之差都很小的两个同方