根据旋转前后的向量值求旋转矩阵

1、根据旋转前后的向量值求旋转矩阵如果已知旋转前后的一向量的变化，那么该如何求这个旋转矩阵呢？本篇结合Rodrigues' rotation formula ,介绍一下该旋转矩阵的求法。1 .旋转角度已知旋转前向量为P,旋转后变为Q。由点积定义可知：P,Q - |P| |Q|。6g可推出p, q之间的夹角为：IQ"2 .旋转轴由1中可知，旋转角所在的平面为有P和Q所构成的平面，那么旋转轴必垂直该平面。假定旋转前向量为a(a1, a2, a3),旋转后向量为b (b1, b2, b3)。由叉乘定义得：. Ia x b +值也k+ 的%( -j) 4-1瓦(-k)十 叱%。+由+ 的

2、瓦j + 潜必-i)十为九修 sb)i + (aj&)- aih)j + (。山上-的瓦)k*3 .罗德里格旋转公式(Rodrigues' rotation formula)3.1 公式已知单位向量3 =,将它旋转。角。由罗德里格旋转公式，可知对应的旋转矩阵%电：R>=/声 I + 由sin。+而'(1 -8$ fl + w； (1 -co« fl) 口二3.1 - coe 例-w士号in a4in 9 +3, 口 - wk 例3； sin & + g 3, (1 cos 即 cos + o? (I - os 一城上 sin 日 + s, u：(

3、】-c« 町 -3、sin 0 tiz(1 - cos fl) 3、sini? + 5 (1 - cos S)cos 5 + u? (1 - cos &)其中I是3x3的单位矩阵，由是叉乘中的反对称矩阵 r：0 -吗啊娟明 03.2 公式证明假设在坐标系（x, y, z）中，向量v=ax+by+cz , v绕z轴逆时针旋转。角后得到新的向量 v',根据2维（x,y）面上的旋转公式可得:= cos fl x + sill 0 y i三一 sin 0*4 coos & y *推出：- - cos3 弟t - W - sin0 6x) - e .已知:v I v -

4、 z z = v = t(x + iy .zxv=c(Zxx) + e xy)+七xz) = ay f 将上式带入的公式:V-8M(V工口十也将cz替换掉，可得：v' = v - sin8 z X V 十(cos 1 1 v 1 v - z1 z)将上式中的叉乘表示为反对称矩阵得：另外：I(v (v = 一"X byz x (fly - hx =z x (z x (jx 4- 6y + czl)=A2 v,最终可以推出：yj Jy - sinSr*Jv * (1 - cosfl) V上式即为罗德里格旋转公式。4.求旋转矩阵根据旋转前后的两个向量值，使用上面的方法，先求出旋转角

5、度和旋转轴，然后用罗德里格旋转公式即可 求出对应的旋转矩阵。C#的实现代码如下：7void Calculation( double vectorBefore, double 口 vectorAfter)double rotationAxis;double rotationAngle;double , rotationMatrix;rotationAxis = CrossProduct(vectorBefore, vectorAfter);rotationAngle = Math.Acos(DotProduct(vectorBefore, vectorAfter) / Normalize(vec

6、torBefore) / Normalize(vectorAfter);rotationMatrix = RotationMatrix(rotationAngle, rotationAxis);double CrossProduct( double a, double b)double c =c0= a1* bc1= a2* bc2= a0* breturn c;new double3；2 -a2*b10 -a0*b21 -a1*b0double DotProduct( double a, double b)double result;result = a 0 * b 0 + a 1 * b

7、1 + a 2 * b 2; return result;double Normalize( double v)double result;result = Math.Sqrt(v 0 * v 0 + v 1 * v 1 + v return result;double , RotationMatrix( double angle, double u)2 * v2);double norm = Normalize(u);double , rotatinMatrix =new double 3, 3;u0= u0 /norm;u1= u1 /norm;u2= u2 /norm;rotatinMa

8、trix rotatinMatrix rotatinMatrix rotatinMatrix rotatinMatrix rotatinMatrix rotatinMatrix rotatinMatrix rotatinMatrix0, 0 = Math.Cos(angle) + u0, 0 = u 0 * u 1 * (0, 0 = u 1 * Math.Sin(angle) + u0, 0 = u 2 * Math.Sin(angle) + u0, 0 = Math.Cos(angle) + u 1 * u0, 0 = -u0 * Math.Sin(angle) + u0, 0 = -u1 * Math.Sin(angle) + u0, 0 = u 0 * Math.Sin(angle) + u0, 0 = Math.Cos(angle) + u 2 * u0 * u 0 * ( 1 - Math.Cos(angle);1 - Math.Cos(angle) - u 2 * Math.Sin(angle);0 * u2 * ( 1 - Math.Cos(angle);0 * u1 * ( 1 - Math.Cos(angle);1 * ( 1 - Math.Cos(angle)