构建新数列巧解递推数列竞赛题目

1、bn -124b21 -12416bn -124bn构建新数列巧解递推数列竞赛题梁新潮（浙江新昌中学312500）石美英（浙江新昌教师进修学校312500）递推数列是国内外数学竞赛命题的“热点”之一，由于题目灵活多变， 答题难度较大。本文利用构建新数列的统一方法解答此类问题，基本思路是 根据题设提供的信息，构建新的数列，建立新数列与原数列对应项之间的关 系，然后通过研究新数列达到问题解决之目的。其中，怎样构造新数列是答 题关键。1求通项求通项是递推数列竞赛题的常见题型，这类问题可通过构建新数列进行 代换，使递推关系式简化，这样就把原数列变形转化为等差数列、等比数列 和线性数列等容易处理的数列，

2、使问题由难变易，所用的即换元和化归的思 想。1例 1、数歹U Gn 中，a1 =1 , an+ = 一（1 +4an +。1 +24an ）。求 an。16（1981年第22届IMO预选题）分析本题的难点是已知递推关系式中的 j1+24an较难处理,可构建 新数列bnL令bn = j1+24an ,这样就巧妙地去掉了根式，便于化简变形。解：构建新数列K ,使bn = J1 +24an > 0贝 b1 =5 , b： =1 +24an ,即 an化简得201 2 = bn 32一 一 1 一2bn#=bn +3,即 bn+-3=2（bn 3）数列 机-3是以2为首项，为公比的等比数歹I。2

3、bn3 = 2黑口=22即 3=22+3n2anb2 -1 _ 22nJ 3 2n124 一 3 22n2证明不等式这类题一般先通过构建新数列求出通项，然后证明不等式或者对递推关系式先进行巧妙变形后再构建新数列，然后根据已经简化的新数列满足的关 系式证明不等式。例 2、设 a。=1 , an =an-（n w N ）, 求证： an >-2-。an2n 2（1990年匈牙利数学奥林匹克试题）分析 利用待证的不等式中含有 冗及递推关系式中含有 j1+a；这两个信息，考虑进行三角代换，构建新数列使an=tgo（n,化简递推关系式。证明：易知an >0 ,构建新数列na ）使an =tg

4、% , % e f0,- i!< 2；而j1+tg%n4-1 1-cos%4 + «nan = = = tg tg： n4sin : n42n 二 一 ' n4tgan =tg ， an =-22-,匚，一兀 一一元又 a0 =1 , a1 =干2 -1 =tg ,从而 巴 = 一88因此，新数列图是建为首叽1为公比的等比数列。、2 J8 " 2nd2考虑到当xw(0,1)时，有tgXAX。 所以，an =tg”T 小注：对型如 1嬴，、;百，an由±an都可采用三角代换。1 anan 13证明是整数这类题把递推数列与数论知识结合在一起，我们可以根据

5、题目中的信 息，构建新数列，找到新的递推关系式直接解决，或者再进行转化，结合数 论知识解决。例3、设数列 A 满足ai =1 , an+=1 an +工 (n = N )2 an2.求证：n N(nN,nA1)。,a2-2(中学数学教学参考2001年第8期第53页，高中数学竞赛模拟试题)2分析 直接令bn = j ,转化为证明bn亡N (n w N, n a 1)a2 -2证明：构建新数列幻,令6=-2=>0 a2 -2则a2 =与2, a2书=3+2bnbn2 1一0 r11 代入an= -an + 整理得 12an Jb21 ; b2 4 2b：从而 b2 =b24 - 2b：(n

6、_3)于是 b2i =b2 4 2b24 2b21=2bn b；1(n - 3)bn ? =2b b：1(n 一3)由已知，b2=4, b3=24,由上式可知，b4wN, b5 w N ,依次类推,r1 2.bn w N (n >1),即 f w Nan -2例4、设r为正整数，定义数列& J如下:an 1nan 2(n 1)2r一 n 2(n w N) 求证：an w N。(1992年中国台北数学奥林匹克试题)分析 把条件变形为(n+2 an4f = nan+2(n+1)2r比较an书与an前的系 数及an#与an的足码，考虑到另一项为2(n+1f,等式两边同乘以(n+1),

7、容易想到才新数列 &上使bn =n(n +1 an。证明：由已知得(n +2 an41 = nan+2(n+1(n +1n +2>n+ =n(n +1 . +2(n +1产构建新数列也, bn = n(n +1 a则 b1 =2 , bn+ - bn =2(n +1 2r”n 4bn =b1 八 bk 1 -bk k 1=2 1 22r 1 32r 1 »»n2r 1bn Nn 1bn =2n2r 1 八k 12r 12r 1 1(n - k) Jn-12r 1- 2r 1- 12r22r_1. 2- 2r . 2r=2n -二 n C2r 1n k C2r.

8、1n k ""一 "C2r.1n kk 1n bn nnn2r /2r 1 2r T2r 1乂 bn = k - - (n 1 -k) = k:<.：,n 1 - k Jk 1k 1k 1=i 卜+1尸C2T(n+12r 卜+一6+1)2,限2 +C2：+(n+1k2r k 1n 1 | bnn(n +1 ) | bn,从而 an w N o4解决整除问题一般通过构建新数列求出通项，再结合数论知识解决，也可用数学归纳 法直接证明。例5、设数列A 满足a =1 , a2 =3 ,对一切M N ,有an_2 =(n+3 an书-(n+2 an,求所有被11整除的

9、an的一切n值。(1990年巴尔干地区数学奥林匹克试题)分析 变形递推关系式为an七-an+ =(n +2'(an书-an ),就容易想到怎样 构建新数列了。解：由已知 an 2 an 1 = n 2 an 1 an构建新数列h：n 一2, bm =am问 n-1则 b2 = 2 , bn 书=(n +1 Ian - an7 )= (n +1 bn (n 之 2 )bn =nbn4 = n n -1 bni = n n -13b2 =n! n - 2an =ai i.an -am =1 " bk 小 k!k 2k 2.k 110从而 a4 =11x3, a8 =11 m420

10、3 , a10 =11367083，当 n 211 时，由于£ k!k 110n被11整除，因而an =Z k! +Z k!也被11整除k 4k 41所以，所求n值为n=4, 8,及n ±10的一切自然数。5证明是完全平方数这类题初看似乎难以入手，但如能通过构建新数列求出通项an,问题也 就迎刃而解了。例6、设数列圾和+n 满足a° =1 , b0 = 0 ,且n =0,1,2,'%=7% +6bn -3 bn+ =8an +7bn -4求证：an是完全平方数（2000年全国高中联赛加试题）分析 先用代入法消去bn和bn书，得an也-14an书+an+6

11、= 0 ,如果等式 中没有常数项6,就可以利用特征根方法求通项，因此可令 Cn = an+a,易 求得a = - o2证明：由式得bn,。书代入得an 2 14an 1 an 6=0，f1、 f1( 1 -化为a -u1 114a 4_ +a i=0an _2 iran T an<2 J<2/k2 J构建新数列Q ), cn =an -1 ,且Co =1 ,Ci = a - = 7a0 , 6bo 3 k22 2Cn 2 -14 Cn 1 . Cn = 0由特征方程入2 -14九+1=0得两根入i=7 十443,九2 =743所以 cn = m1 1； m2 1 21m1 +m2 =二当n=0, 1时，有2m1 74.3 m2 7 -4.3 )：21斛得：m1 = m2 = 4贝U cn = 1(7 +473 n +1(7 -4J3 n44