机械振动基础课后习题答案要点

1、第一章习题P57.1-1:一物体作简谐振动，当它通过距平衡位置为0。51】1.0.11】处时的速度分别为02】内用10.081】论。 求其振动周期、振幅和3大速度。标一0.05。苏=0.2工a2-0.12o>2=0.082u解出|(f) = asin(3f+夕)1两边平方，相加 代入己知条件.I r I=</2(6|i C>u(t)= aeocos(vt +(p) J振动周期：7. = 2万/3= 2万/2.1167 = 2,诟正0=。】069, 32.1167|振幅: =0.1丽最火速咬之3 = 0. 1069 x 2.1167 = 02263|P57.1-2: 物体放在水

2、平台面上，当台面沿铅垂方向作频率为5Hz的简谐振动时，要使物体不跳离平台, 对台面的振幅有何限制？|质地m运动方程:N-mg = 僦")|(=> | N = 忒(1) + 吆|Un |不跳离条件:N之0 0 a sin(d9/ + cp) <O<=)|应")+ mg N o| <=)= 一嬴而ar()如果sin( + 0) W 0,则上式恒成立|(-U()如果sin(H + e)> 0,则上式变为。<、."W 4=r = 9.9mm":gjt sn(a)t +(p) ar (2x/rx5)*P57.1-3:求简谐位移(

3、r) = 5y 档与2")= 7d®2的合成运动Q),并求以，)与4”)的相位基。“(，)= %)+ %(/) = 5/小")+ 7*姗)=(5/" + 廿')*=(5cos30° + j(5sin30° += 10.44/<655°)Q)与3 (f)rKj制I位差：65.5°30° =35.5°P57.I4求两简谐运动叫(f) = 5cos40f, %。)= 3cos39郴J介成运动的最大振幅和最小振幅, 并求其拍频和周期。u(t) = % (r) + u2(t) = Re5ey

4、4O/ + 3ey39z u (/) = /(5cos/ + 3)2 + (5sin/)2 = >/34 + 30cosf,、 , 5sinf 、(p(I)= arctcin()5cosr + 3=Re(5e + 3)/洌=Rc(5cos/ + 3)+ j5 sin t)eJr= Reu(t)eJ<p<neJ3g,=w(r)cos(39r + 以/)=734+30 = 8=73430 = 2柏冏期=一2一=24(s)1 co2 一卬140-391拍频=|e一旦|=140-391=11711/§P57.1-5:写出图示系统的等效刚度的表达式。当, =2.51;&

5、;勺=人=2乂105用01.自=3乂105即111时,求系统的固有频率。分析表明：勺和勺井联，之后与与中联 占和占并联后的等效刚度：£,=冬十冬整个系统的等效刚度：/eg _g+&)&4+& 占 +&+%系统的固有频率：q =、q=261.86 rad/sP57.1-6:写出图示系统的等效刚度的有达式。垂直方向力平衡：/ =用八4+k2Ax2对o力知上平衡：片&七 =2最力设第效刚度系数为勺,，贝人/ = % Z由以上各式得到“二箸替P57.1-7:图中简支梁长Z = 4m,抗势刚度£7 = L96xlO6Nm。旦左=4.9xl()5

6、N/m. ? = 400kg0 分别求图示两种系统的固有频率。积分:边界条件： .、尸陞3 / 3 3/2 1""=0|"")=矶五-LTF'J卜AA +竿"9x* 也1 ="叫小阿=2 =僧产70"S)P58.1-8:钢索的刚度为4x 10'N/m.绕过定滑轮吊着质晶为100kg的物体以匀速O.5m/s下降, 若钢索突然卡住，求钢索内的最大张力。系统固有频率:初始条件：(0) = 0. (0) = %最大张力：7 = mg + ka=mg + vy/mk=1000X 9.8 + O.5VlOOOx4xlO5

7、= 1.98xlO4(N)P5S.I-11:系统在图示平面内作微摆动，不计刚杆质量，求其冏有频率。P58.1-12:图示摆，其转轴与铅垂方向成a角,摆长/,质量不计。求摆动固有频率。ml2 6 = -mg sin(a)/ sin 夕ml26+mg sin(a)/ sin = 0 <=3 uml26 + mg sin(a)/ = 00/ngsin(a)/ gsin(a)n=V ml2 V" TP5S.I-13:证明对临界限启或过阻尼，系统从任意初始条件开始运动至多越过平衡位置一次。（1）对临界阻尼情形=% + （% +）”L以，）=见- 3n （4+叫1% ），卜厂"越

8、过平衡位置的条件：亿）=0,"亿）*0#如果4 = 0,4 = 0,系统静止在平衡位置上。# 如果% =0,% *0"）=0（=> = o、经过平衡位置一次# 如果“0工0,4）=0"（f） = 0|乙为负值，无意义，即无解，表明系统不经过平衡位苴# 如果“0工0, ”0工0,（，）=0| = 4 =%- 1丸十 3卅0经过平衡位置一次n6 = ln(S=ln 上6 = In , , 5 In'Aa2A,lna <= A,P58.M4: 单自由度阻尼系统， =10kg时，弹簧静伸Ka=0.01m0自由振动20个循环后，振 幅从6.4xl（r3m

9、降至工6xio"m。求阻尼系数C及20个循环内阻尼力所消耗的能量。u5 Jnak2 若 A。，< =ln2" Auc = 2ylmk0 = 2o5 nn产= 6"(Ns/m)尸 x20 1.6xl(r3 Vo.0120周阻尼器消耗的能= L(宙-A：) = 'W(蜀一再) 22 a=10x (6.4X IO-')2 -(1.6x IO-5)2) = 0.19(NM) 2x0.01P58.I-15:图示系统的刚杆质量不计，z = 1kg, k = 224N/m, c = 48Ns/m, /)= / = 0.49m, =2, 4=4。求系统固有频

10、率及阻尼比。 f*9I2 A Z. I2ml0c - 0 + (k1644224x0.49-1x9.8cl2记一C_广482出弓竽岫(人等)1,/.1x9.8、VX(224- 0.49)4x 1 x 0.49=7.14(rad/s)P59.I-16:图示系统的薄板质量为或 系统在空气中(认为无阻尼)振动周期为十,在粘性液体中振 动周期为4液体阻尼力可表示为力=-2儿福.其中2A为板的面积，为粘性系数，一为板运动的速度。求证：=二丝、斤不P59.I-17:己知单门山度无阻尼系统的质量和刚度分别为6=17.5k& A =70(X)N/m,求该系统在零 初始条件下被简谐力AQ) = 52.5

11、sin(10r -30")N激发的响应。系统的运动方程：|”«力+ k(n = fq sin(由一(P)有次方再通解，/“)= q cos mJ + % sin mJ |3n = J7000/I7 5 =特解为：(f) = Bd sin(W 一 0)Bj = fu/(k - mco2) = 0.01响应：/(/) = a cosa)nt + a2 sin cont + 0.01 sin(69/ w) |“(0) = 0,(0) = 0 a = 0.005 % =-O.OO43|响应：(')=0.005cos cott- O.CXM3sin cott + 0.01 s

12、in(10r- 30')P59.I-18:质量为100kg的机器安装在刚度女=9><10日/01和阻尼系数(=2.4><10*“11的隔振 器上，受到铅垂方向激振力/“)= 90sin3/N作用而上下振动。求 (1)当折:4时的稳态振幅约； (2)振幅乂有最大值时的激振频率3； (3) max(约)与约的比值；山(f) + *()=启 sin()|函)+ C(力+ ku(t)=兀刁 口 |稳态解：/(f) =用6加(=> 8d =14一1二 / 人 、二 ,、空 、k -，6r + jcco J(k -moMJiT '«优 -2 )2 +

13、 (2 血一)2)2 + (jca)yQ(a)； - a)2)2 + (28产-系统的阻尼比，=-= 产 =0.42J次 2sopx9xl0口a t _31=.， 一 " + j2ge J(冠 一 )2 + (24%2求当k 9t时的稳态振幅约当=殳=-r =1.25x 10-2 冤 _ 如?-匚厚也=1.36,( If? )2+0.64 笛(m)“ 20 20k 2xO.4x9xlO4ar = a> ar =电 n nI丸并令其券卜零.得到24(rad/s)司=J |（以一苏+（2例,我（现一石+425现至振幅只方最大值时的激振频率3求max（约）与以的比值maxg, = 一

14、= 8/ = 回吗P59.1-20: 一电机总质量为250kg，由刚度为3x|()6N/m的弹簧支承，限制H仅沿铅垂方向运动, 电机转子的不平衡质量为20kg,偏心即0.01m,不计阻尼，求 (I)临界转速：(2)当转速为l(XX)rpm时，受迫振动的振帽.系统运动方程：+ ku(t) = mecer sin cot <=> 特解："(1) =为 sin dJJmecome &)Mme 2 CD"稔志解：(/) =3O)： 一 叱其中i=后(1)求临界转速临界转速3=(Dn = J= 109.55( rad/s)(2)当转速为lOOOrpm时，受迫振动的

15、振幅。co = l(XX)(rpm) = =104.72 (rad/s)受迫振动振幅：/。=meco20x0.01x(104.72)k-Mco1 3x106-250x(1 O4.72)2=0.0085( m)、“=多时质量珀线位移幅侑.:当=4/ 2时质物的线位移幅值:I/2= /8°=4.J(冠 一 6? )2 +(24叫3)2 . ,、kys + 64c2 /(km)P60.I-22:图示系统中刚性杆质量不计，U出运动微分方程。并分别求出 =q和3 = q/2时质量 作J线位移幅值。沼+4<r&+9"20=助sin w°7； J7夕+ 2初+；8

16、= -sin<vr = 80sin WmlT3+加6+式8 = 4/1 U I稳态解：夕P60.1-23:求图示系统的稳态响成。= -&")+ c(D(r) °+ ku(t) + cii(t) = cv。3cos M °/.标(1)+3(，)+,嗡(1)=/)如2=岛"1<=|特解：i；(J) = Bje八QF)= 通丁uBN=k二义工版°B 殳 _ Bq" k #， + jcoc ,( 一苏,>+3c)201CDC<Pd = arctan -com k稳态响应：/(/) = g,cos(” + /)P

17、60.l24:某路面沿长度方向“近似为正弦波，波长为/，波峰高为瓦汽车质量为人减振板簧总刚度为A,在 该路面上以速度y行她 不计阻尼，求汽车错垂振动的稳态响应和临界行驶速度.路面形状为:<=> |X=1Y运动方程为:|加(，)=一/(，)-丁)“ / 2kvJo = kh、co =.2万y，(1)+ £Q) = ky = kh sin / = / sin d口稳态解：/*(/)=几;一sin a)t k - 1-加, = o|u>临界行驶速度:P6O.1.25: 电机质量为22kg.转速为3OOOrpm.通过4个同样的弹货对称地支承在基础上。预使传到 基础上的力为偏

18、心质量惯性力的10%,求每个师货的刚度系数。Mii(t) + 心(，)=niear sin ca <=J li (t) = B* sin cvtR _ mear° = %M 步 (r)= -sin(dyf4-7r)ke<j -Mar Mar -k,“me"=。.加加些0=360"己= 22x000"), .97xWN/m11c11每个弹簧的刚度系数：人勺1.97xlO5= 4.94xlO4(N/m)P60.1-26:发动机的匚作转速为1500 12000rpm.要隔岗发动机引起的电子设备90%以上的振动，若 不计阻尼，求隔振瞄在自重下的静变形

19、。隔振系统的固有频率：绝对运动传递率:山以上两式得到:用=P60.I-28:图示凸轮转速60rpm,基础位移"是如图所示的锯齿波。知/ = 20kg. A:=3.5xlO'N/m.。=200Ns/m,求系统的稳态响应。顶杆的运动方程为:激励默率为KHz),则为=2HnKl/s)。v的加Mr级数为:n 0?5 b Iv(/) = 0.0125 一一 V-sin rln Zd r振系的运动方程:mii(t) = -cu(t )-«) k (u(t) v(r)振系的运动方程:+ cu(t) + (k + 勺)«) = 0.0125勺一 °025'

20、; y1 lsjn y 丸 Tr对厂次谐波激励，-竺咨sine,系统的稳态响应为：-nr静态力0.0125公弓|起的响应=华学 (A+4).1 2泅0.02%sin(y/ +弘)，出+用),(1_/片)2+(2分49稳态响应：u(t) =伏十勺)0.025勺一qL=tan- 018r 0.1131，、sin(rW + 5)飞日+(2分4产稳态响应(代入数值后)：“«)= 0.0125 I- -V7丁 =力(1-().113-)2 +0.033sin(r2r+y/A)P60.L29:单门由度无阻尼系统受图示力激励，求系统作初始条件”(0) = %,(0) =儿下的响应。 强迫函数：/(

21、/) =°/o %v，v 八0/. <f单白由度无阻尼系统的单位脉冲响应:h(t) = -sinf > ()?,利川Duhamel积分，得到系统的响应：(I)求时,系统的响应为口由响应/(/) = ccos/ + siny/, O v r v。3n(2)求匕 2时,系统的响应为:“(f) = uQ cos mJ + sin cont + (Wr +工-sin a>r(/ - T)dr =/ cos cotf + sin + 1 - cos “(f -乙)coftJQ J,> mcon%k求，(时,系统的响应为:M(f)= Mocos«,7 +sint

22、er+ £oJr+j2sin aj,(/-r)Jr + J (k/r = m cos(ot +sin (ont +cos aj, (/-/,)- cos a5, (/ - ft)P6O.L3O:图示系统，基础仃阶跃加速度4,求系统的相对位移响应。 质量的运动方程：令（，）= - M）,则得到相对运动方程，叫+c,(f) + ku,&) = 一， i；(r) = -/najJ单门山度阻尼系统的单位脉冲响应函数:h(t) =sin&ydt. t >0"画零初始条件下的响应:“；（，）=，/"取 g" sin 勾(，一 T)dt =-产，-=COS(Oh/ - <p)产 5 sin 0(c)公单自由度阻尼系统的n由振动解:tin + Sm、.“0 cos codt + " sin a)dt3d系统的右以寸位不多响1电：uf = （/）+/1*（/）P6O.I-31:单门由度无阻尼系统的初始条件为零，求其在图示外力作用下的响应。激励的表达式：fo/<O= t '二 <-/-*-r2)0#求04,斗时的响应W)=看小 Si