大学数学概率篇之随机变量及其分布——随机变量函数的分布

1、 本节任务：本节任务： ), 2 , 1( npxXPnn,21nyyy, 2 , 1),( nxgynn一一 离散型随机变量的函数离散型随机变量的函数或或其中其中), 2 , 1( nxXPyYPnn), 2 , 1( npyYPnn由由或或【例【例1】，1591359 解解这些取值两两互不相同这些取值两两互不相同Y的取值为的取值为 0，1，4. 所以所以, PY=0=PX=1=0.1,【例【例2】且且 Y=0 对应于对应于 ( X-1)2=0， 解得解得 X=1， 设随机变量设随机变量 X 具有以下的分布律，具有以下的分布律， pkX-1 0 1 20.2 0.3 0.1 0.4解解PY=

2、1=PY=4=pkY 0 1 40.1 0.7 0.2所以，所以，Y=(X-1)2 的分布律为：的分布律为：pkX-1 0 1 20.2 0.3 0.1 0.42)1( XYPX=0+PX=2=0.3+ 0.4=0.7,PX= -1= 0.2,的分布律为的分布律为设离散型随机变量设离散型随机变量X 为偶数为偶数若若为奇数为奇数若若XXXgY11的的分分布布律律求求随随机机变变量量Y为奇数nnXPYP1012kkXP01221kk32为偶数nnXPYP102kkXP0221kk31Y-11P3231的分布律为所以，随机变量Y解解 ，其密度函数为其密度函数为是一连续型随机变量，是一连续型随机变量，

3、设设xfXX 随机变量随机变量也是连续型也是连续型，我们假定，我们假定的函数的函数是是再设再设YXXgY 的的密密度度函函数数求求的的是是yfXgYY 二二. .连续型随机变量函数的分布连续型随机变量函数的分布 的的分分布布函函数数先先求求XgY 的的密密度度函函数数求求关关系系之之间间的的的的分分布布函函数数与与密密度度函函数数利利用用XgYXgY , yFY yFyfYY yYP yXgP yxgXdxxf)()( ., 0, 40,8)(其它其它xxXfX【例【例3】设随机变量设随机变量 X 具有具有概率密度：概率密度：试求试求 Y=2X+8 的概率密度的概率密度.解：解：(1) 先求先

4、求 Y =2X+8 的分布函数的分布函数 FY(y)：)(yYPyFY 82yXP 28 yXP 28.)(yXdxxf可可以以求求得得：利利用用)()()2(yfyFYY )(yfY 28.)(yXdxxf )(yFY ., 0, 4280,21)28(81其它其它yy)28()28( yyfX ., 0, 40,8)(其它其它xxXfX ., 0,168,328)(其它其它yyyfY 整理得整理得 Y=2X+8 的概率密度为：的概率密度为：本例用到变限的定积分的求导公式本例用到变限的定积分的求导公式).()()()()(,)()()()(xxfxxfxFdttfxFxx 则则如果如果)()

5、()(,)()()(xxfxFdttfxFxa 则则如果如果说明说明),(xfX解：解：(1) 先求先求 Y = X 2 的分布函数的分布函数 FY(y)：. 0)(0, 0120 yFyXYY时时故当故当由于由于,020时时当当 y【例【例4】设随机变量设随机变量 X 具有具有概率密度概率密度求求 Y = X 2 的概率密度的概率密度., x)(yYPyFY yXyP 2yXP yyXdxxf.)(得：得：及变限定积分求导公式及变限定积分求导公式利用利用)()()2(yfyFYY )(yfY)(yFY yyXdxxf.)(, 0),()(21 yyfyfyXX. 0 y00 y. 0)(0

6、yFyY时时 . 0, 0, 0,21)(221yyeyyfyYXN(0,1),其概率密度为：其概率密度为：.,21)(22 xexx则则 Y = X 2 的概率密度为：的概率密度为：说明说明 )( yfY, 0),()(21 yyfyfyXX. 0 y0 定理定理则则 Y =g(X ) 是是一个连续型随机变量一个连续型随机变量，其概率密度为其概率密度为 ., 0,|,)(|)()(其它其它yyhyhfyfXY其中其中 h(y) 是是 g(x) 的反函数的反函数，即，即 )()(1yhygx 此此时时仍仍有有：或或恒恒有有上上恒恒有有在在设设以以外外等等于于零零，则则只只须须假假在在有有限限区

7、区间间若若),0)(0)(,)( xgxgbabaxf).(),(max),(),(minbgagbgag 这里这里 ., 0,|,)(|)()(其它其它yyhyhfyfXY).(),(max),(),(min gggg证明： yhXPygXPyFY1因此， yhXdxxf ，的分布函数为设随机变量yFXgYY yXgPyYPyFY则有 加的函数是严格增，则由题设，不妨假设xgxg0上变化，在区间随机变量上变化时，在区间由题设，当随机变量YX其中，gggg，maxmin yhXYdxxfyF时，当因此，y yhXYdxxfdydyFyf所以， yhXYdxxfdydyFyf所以，时，当因此，y

8、 是严格减少的函数，则若xgxg0 yhXdxxf yXgPyYPyFY yhXPygXP1 yhyhfX yhyhfX yhyhfX 的密度函数为综上所述，得XgY yhyhfX 其它0yyhyhfyfXY 的密度函数的密度函数随机变量随机变量，试求，试求，设随机变量设随机变量yfYeYNXYX 2解解：的的密密度度函函数数为为，知知题题设设由由X xexfx22221【例【例5】 上上变变化化，在在区区间间，上上变变化化时时，在在区区间间并并且且当当随随机机变变量量 0XeYX,严格增加函数严格增加函数为为xey 它的反函数为它的反函数为yxln 时时，所所以以，当当 0y yyfyfXY

9、lnln yy12lnexp2122 0002lnexp2122yyyyyfY的的密密度度函函数数为为随随机机变变量量XeY X的概率密度为：的概率密度为：.,21)(222)( xexfxX 【例【例6】证证,)(baxxgy ,)(abyyhxy 的的反反函函数数为为：满足定理的条件，满足定理的条件，,)(axg .1)(ayh | )(|)()(yhyhfyfXY .)( ,2abaNbaXY 即有即有222)(21|1 abyea)(|1abyfaX .|2122)(2)(abayea 均匀分布，试求电压均匀分布，试求电压V的概率密度的概率密度.上上服服从从在在区区间间是是一一个个随随

10、机机变变量量相相角角是是一一个个已已知知的的正正常常数数其其中中设设电电压压 2,2,sin AAV解：解：）上恒有）上恒有，在（在（22,sin)( Agv【例【例7】, 0cos)( Axg,1)(22vAvh 以及以及,arcsin)(Avvh 且有反函数且有反函数的的概概率率密密度度为为： ., 0,22,1)(其它其它f ., 0,|,)(|)()(:其其它它利利用用定定理理的的结结论论yyhyhfyfXY,1)(22vAvh ., 0,11)(sin22其它其它的概率密度为：的概率密度为：得得AvAvAyfAVY1. 离散型随机变量函数的分布律离散型随机变量函数的分布律2.连续型随机变量函数的概率密度函数连续型随机变量函数的概率密度函数（分为函数值（分为函数值两两互不相同两两互不相同和和有相同的项有相同的项两种情况）两种情况） 直接求；或者如果是单调函数，应用定理求直接求；或者如果是单调函数，应用定理求 的密度函数的密度函数试求随机变量试求随机变量，的密度函数为的密度函数为随机变量随机变量设设yfYXYxfXYX 解解： yFYyFXYX的的分分布布函函数数为为，随随机机变变量量的的分分布布函函数数为为设