结构化学练习之量子力学基础习题附参考答案

1、量子力学基础习题一、填空题（在题中的空格处填上正确答案）1101、光波粒二象性的关系式为_。 1102、德布罗意关系式为_；宏观物体的值比微观物体的值_。 1103、在电子衍射实验中，2对一个电子来说，代表_。1104、测不准关系是_，它说明了_。1105、一组正交、归一的波函数1， 2， 3，。正交性的数学表达式为 ，归一性的表达式为 。 1106、 (x1， y1， z1， x2， y2， z2)2代表_。 1107、物理量xpy- ypx的量子力学算符在直角坐标系中的表达式是_。1108、质量为 m 的一个粒子在长为l的一维势箱中运动， (1)体系哈密顿算符的本征函数集为_ ； (2)体

2、系的本征值谱为_， 最低能量为_ ； (3)体系处于基态时， 粒子出现在0 l/2间的概率为_ ； (4)势箱越长， 其电子从基态向激发态跃迁时吸收光谱波长_ ； (5)若该粒子在长l、宽为2l的长方形势箱中运动， 则其本征函数集为_，本征值谱为 _。 1109、质量为m的粒子被局限在边长为a的立方箱中运动。波函数211(x，y，z)= _；当粒子处于状态211时，概率密度最大处坐标是_；若体系的能量为，其简并度是_。1110、在边长为a的正方体箱中运动的粒子，其能级E=的简并度是_，E'= 的简并度是_。1111、双原子分子的振动，可近似看作是质量为m= 的一维谐振子，其势能为V=k

3、x2/2，它的薛定谔方程是_。1112、1927年戴维逊和革未的电子衍射实验证明了实物粒子也具有波动性。欲使电子射线产生的衍射环纹与Cu的K线(波长为154 pm的单色X射线)产生的衍射环纹相同， 电子的能量应为_J。1113、对于波函数yj、yj，其归一性是指 ，正交性是指 。1114、若算符满足 或满足 , 则算符为厄米算符。1115、一个质量为m的微观粒子在箱长为a的一维势箱中运动时，体系的势能为 ，体系的零点能为 。1116、质量为 m 的一个粒子在长为l的一维势箱中运动， (1)体系哈密顿算符的本征函数集为_ ； (2)体系的本征值谱为_，最低能量为_ ；1117、质量为m的粒子被局

4、限在边长为a的立方箱中运动。波函数211(x，y，z)= _；当粒子处于状态211时，概率密度最大处坐标是_；若体系的能量为，其简并度是_。1118、对于立方箱中的粒子，考虑E < 15h2/(8ml2)的能量范围。在此范围内有 个态？在此范围内有 个能级？1119、对氢原子 1s 态： (1) 在 r 为_处有最高值； (2) 径向分布函数 在 r 为_处有极大值；(3) 电子由 1s 态跃迁至 3d 态所需能量为_。1120、对于立方势箱中的粒子，考虑出的能量范围，在此范围内有 个能级？ 在此范围内有 个状态？二、选择填空题（选择正确的答案，填在后面的括号内）1201、首先提出能量量

5、子化假定的科学家是：-( ) (A) Einstein (B) Bohr (C) Schrodinger (D) Planck 1202、任一自由的实物粒子，其波长为，今欲求其能量，须用下列哪个公式-( ) (A) (B) (C) (D) A，B，C都可以 1203、下列哪些算符是线性算符- ( ) (A) (B) Ñ2 (C) 用常数乘 (D) 1204、下列函数中 (A) cos kx (B) e -bx (C) e-ikx (D) (1) 哪些是的本征函数；- ( ) (2) 哪些是的本征函数；- ( ) (3) 哪些是和的共同本征函数。- ( ) 1205、线性算符具有下列性

6、质 (U + V) = U+V (cV) = cV 式中c为复函数，下列算符中哪些是线性算符？ -( ) (A) U=U， =常数 (B) U=U* (C) U=U2 (D) U = (E) U=1/U 1206、电子自旋存在的实验根据是：- ( ) (A) 斯登-盖拉赫(Stern-Gerlach)实验 (B) 光电效应 (C) 红外光谱 (D) 光电子能谱 1207、一个在一维势箱中运动的粒子， (1) 其能量随着量子数n的增大：- ( ) (A) 越来越小 (B) 越来越大 (C) 不变 (2) 其能级差 En+1-En随着势箱长度的增大：-( ) (A) 越来越小 (B) 越来越大 (

7、C) 不变 1208、立方势箱中的粒子，具有E=的状态的量子数。 nx ny nz是- ( )(A) 2 1 1 (B) 2 3 1 (C) 2 2 2 (D) 2 1 3 1209、处于状态 (x)=sin的 一维势箱中的粒子，出现在x=处的概率为- ( ) (A) P= () = sin(·) = sin = (B) P= ( )2= (C) P= () = (D) P= ( )2= (E) 题目提法不妥，所以以上四个答案都不对1210、在一立方势箱中，的能级数和状态数分别是(势箱宽度为l，粒子质量为m)：-( ) (A) 5，11 (B) 6，17 (C) 6，6 (D) 5，

8、14 (E) 6，14 1211、关于光电效应，下列叙述正确的是：(可多选) （） (A)光电流大小与入射光子能量成正比 (B)光电流大小与入射光子频率成正比 (C)光电流大小与入射光强度成正比 (D)入射光子能量越大，则光电子的动能越大 1212、提出实物粒子也有波粒二象性的科学家是：（ ） (A) de Bröglie (B) A. Einstein (C) W. Heisenberg (D) E. Schrödinger 1213、微粒在间隔为1eV的二能级之间跃迁所产生的光谱线的波数应为：（ ） (A) 4032 cm-1 (B) 8065 cm-1 (C) 161

9、30 cm-1 (D) 2016 cm-1 (1eV=1.602×10-19J) 1214、普朗克常数是自然界的一个基本常数，它的数值是：（ ） (A) 6.02×10-23尔格 (B) 6.625×10-30尔格·秒 (C) 6.626×10-34焦耳·秒 (D) 1.38×10-16尔格·秒 1215、首先提出微观粒子的运动满足测不准原理的科学家是：（ ） (A) 薛定谔 (B) 狄拉克 (C) 海森堡 (D) 波恩1216、下列哪几点是属于量子力学的基本假设(多重选择)：（ ） ()电子自旋(保里原理) ()

10、微观粒子运动的可测量的物理量可用线性厄米算符表征 ()描写微观粒子运动的波函数必须是正交归一化的 ()微观体系的力学量总是测不准的，所以满足测不准原理1217、描述微观粒子体系运动的薛定谔方程是：（ ） (A) 由经典的驻波方程推得 (B) 由光的电磁波方程推得 (C) 由经典的弦振动方程导出 (D) 量子力学的一个基本假设 1218、一电子被1000V的电场所加速，打在靶上，若电子的动能可转化为光能，则相应的光波应落在什么区域？（A）X光区 （B）紫外区（C）可见光区 （D）红外区1219、由戴维逊革末的衍射实验，观察某金属单晶（晶面间距d为104pm）上反射，若一级衍射的布拉格角控制为45

11、º，则此实验要用多大的加速电压来加速电子（单位：V）？- ( )（A）<10 （B）25 （C）70 （D）1501220、一维势箱的薛定谔方程求解结果所得的量子数n，下面论述正确的是 ？（A）可取任意整数 （B） 与势箱宽度一起决定节点数 （C） 能量与n2成正比例 （D） 对应于可能的简并态三、判断题（对判断给出的命题的对错，正确的题号后画，错误的题号后画×）1301、根据测不准原理，任一微观粒子的动量都不能精确测定，因而只能求其平均值。1302、波函数平方有物理意义， 但波函数本身是没有物理意义的。1303、任何波函数 (x， y， z， t)都能变量分离成 (

12、x， y， z)与 (t)的乘积。1304、=cosx， px有确定值， p2x没有确定值，只有平均值。1305、一维势箱中的粒子，势箱长度 为l， 基态时粒子出现在x=l/2处的概率密度最小。1306、波函数本身是连续的，由它推求的体系力学量也是连续的。1307、测不准关系式是判别经典力学是否适用的标准。1308、光照射到金属表面时，金属中有光电子产生，且照射光的强度越大，电子逸出金属表面的动能越大。1309、量子力学中力学量算符都是线性的、厄米的。1310、在电子的衍射实验中采用单个电子穿过晶体粉末，在足够长的时间后，在屏上得到了衍射环纹，这说明单个电子也可以产生波。四、简答题1401、对

13、一个运动速率v<<c的自由粒子，有人作了如下推导 ： A B C D E 结果得出的结论。问错在何处？ 说明理由。1402、简述一个合格的波函数所应具有的条件？1403、被束缚在0<x<a区间运动的粒子，当处于基态时，出现在0.25ax0.7a 区间内的概率是多少？1404、一维势箱中一粒子的波函数n(x)=(2/l)1/2sin(npx/l)是下列哪些算符的本征函数，并求出相应的本征值。 （A） （） （） （）= 1405、说明下列各函数是，2， z三个算符中哪个的本征函数？ 2pz， 2px 和2p11406、一维势箱中运动的一个粒子，其波函数为，a为势箱的长度，

14、试问当粒子处于n=1或n=2的状态时，在0 a/4区间发现粒子的概率是否一样大，若不一样，n取几时更大一些，请通过计算说明。1407、是否是算符的本征函数，若是，本征值是多少？1408、下列休克尔分子轨道中哪个是归一化的？若不是归一化的，请给出归一化系数。（原子轨道是已归一化的）a.b.1409、已知一函数f(x)=2e2x，问它是否是的本征函数？相应的本征值是多少？1410、有一粒子在边长为a的一维势箱中运动。 (1)计算当n=2时，粒子出现在0xa/4区域中的概率；(2)根据一维势箱的图，说明0xa/4区域中的概率。五、证明题1501、已知一维运动的薛定谔方程为: +V（x） =E 1和2

15、是属于同一本征值的本征函数， 证明: 1-2=常数1502、试证明实函数F2 (f)=(1/p)1/2cos2f和F2(f)=(2/p)1/2sin2fcosf都是F方程 + 4 F (f)=0 的解。1503、证明函数x+iy，x-iy和z都是角动量算符的本征函数，相应的本征值是多少？1504、已知有2n个碳原子相互共轭的直链共轭烯烃的p分子轨道能量可近似用一维势阱的能级公式表示为 Ek= k=1，2，2n 其中，m是电子质量，r是相邻碳原子之间的距离，k是能级序号。试证明它的电子光谱第一吸收带(即电子基态到第一激发态的激发跃迁)波长l与n成线性关系。假定一个粒子在台阶式势阱中运动，势阱宽度

16、为l，而此台阶位于l/2l之间。1505、证明同一个厄米算符的、属于不同本征值的本征函数相互正交。1506、证明厄米算符的本征值是实数。1507、已知和是厄米算符，证明(+)和2也是厄米算符。1508、证明描述在一球面上运动的粒子（刚性转子）的波函数是三维空间中运动的自由粒子（势能V=0）的薛定谔方程的解，并求粒子的能量。 已知。1509、证明描述在一球面上运动的粒子（刚性转子）的波函数是在三维空间中运动的自由粒子（势能V=0）的薛定谔方程的解，并求粒子的能量。 已知。1510、证明波函数是角动量平方的本征函数，并求粒子的角动量。已知角动量平方算符。六、计算题1601、波长=400 nm的光照

17、射到金属铯上，计算金属铯所放出的光电子的速率。已知铯的临阈波长为600 nm。 1602、光电池阴极钾表面的功函数是2.26 eV。当波长为350 nm的光照到电池时，发射的电子最大速率是多少？ (1 eV=1.602×10-19J， 电子质量me=9.109×10-31 kg) 1603、设体系处在状态=c1211+ c2210中， 角动量M2和Mz有无定值。其值为多少？若无，则求其平均值。1604、函数 (x)= 2sin - 3sin 是不是一维势箱中粒子的一种可能状态？ 如果是， 其能量有没有确定值(本征值)？ 如有， 其值是多少？ 如果没有确定值， 其平均值是多少

18、？1605、在长为l的一维势箱中运动的粒子， 处于量子数为n的状态， 求： (1) 在箱的左端1/4区域内找到粒子的概率； (2) n为何值时， 上述概率最大？ (3) 当n时， 此概率的极限是多少？ (4) (3)中说明了什么？ 1606、(1) 写出一维简谐振子的薛定谔方程； (2) 处于最低能量状态的简谐振子的波函数是 0= ()1/4 exp-2x2/2 此处，=(4p2km/h2)1/4，试计算振子处在它的最低能级时的能量。 (3) 波函数在x取什么值时有最大值？ 计算最大值处2的数值。1607、氢分子在一维势箱中运动，势箱长度l=100nm，计算量子数为n时的de Broglie波

19、长以及n=1和n=2时氢分子在箱中49nm到51nm之间出现的概率，确定这两个状态的节面数、节面位置和概率密度最大处的位置。1608、限制在一个平面中运动的两个质量分别为m1和m2的质点 ， 用长为R的、没有质量的棒连接着，构成一个刚性转子。 (1) 建立此转子的Schrödinger方程， 并求能量的本征值和归一化的本征函数； (2) 求该转子基态的角动量平均值。已知角动量算符 =z=-i。1609、氢原子中，归一化波函数：（ 和 都是归一化的）所描述的状态，其能量平均值是（a）R；能量 出现的概率是（b）；角动量平均值是（c） ；角动量 出现的概率是（d）；角动量Z分量的平均值是

20、（e） ；角动量Z分量 出现的概率是（f）。1610、已知类氢离子 的某一状态波函数为： 则（a）此状态的能量为； （b）此状态的角动量的平方值； （c）此状态角动量在Z方向的分量为；（d）此状态的 值分别为；(e)此状态角度分布的节面数为；2125、多电子原子的一个光谱支项为 3D2， 在此光谱支项所表征的状态中，原子的总轨道角动量等于（a）； 原子总自旋角动量等于（b）；原子总角动量等于（c）； 在磁场中 ， 此光谱支项分裂出（d）个蔡曼 ( Zeeman ) 能级 。 2403、一个电子主量子数为 4， 这个电子的 l， m， ms 等量子数可取什么值？这个电子共有多少种可能的状态？ 量

21、子力学基础习题参考答案1100、填填空题（在题中的空格处填上正确答案）1101、E=h p=h/l 1102、 小 1103、电子概率密度 1104、Dx·Dpx 微观物体的坐标和动量不能同时测准, 其不确定度的乘积不小于。1105、(a) idt = 0, ij (b) idt = 1 1106、电子1出现在x1,y1,z1, 同时电子2出现在x2, y2, z2处的概率密度1107、-i· (x - y)1108、(1) = sin n=1, 2, 3, (2) E = ; (3) 1/2 (4) 增长 (5) = sin sin E = + 1109、(1)211(x

22、,y,z) = sin x siny sin z (2)(a/4, a/2, a/2) (3a/4, a/2, a/2) (3)61110、3, 41111、1112、T = =1.016×10-17 J1113、(（1114、（）（）1115、零，1116、(1) = sin n=1, 2, 3, (2) E = ; 1117、 (1) 211(x,y,z) = sin x siny sin z (2) (a/4, a/2, a/2) (3a/4, a/2, a/2) (3) 6 1118、17，51119、(1) O 或核附近 (2) a0 或 52.3 pm (3) 8

23、5;13.6/9 eV1120、E = 共有17个状态, 这些状态分属6个能级。1200、选择填空题（选择正确的答案，填在后面的括号内）1201、(D) 1202、（B）1203、(D)1204、(1) B, C (2) A, B, C (3) B, C1205、(A), (D)1206、(A)1207、(1) B (2) A1208、（C）1209、（E）1210、（B）1211、(C),(D)1212、(A)1213、（B）1214、(C)1215、(C)1216、(A) ,(B)1217、(D)1218、(A)1219、(C)1220、(C)1300、判断题（对判断给出的命题的对错，正确

24、的题号后画，错误的题号后画×）1301、×1302、×1303、×1304、×1305、×1306、×1307、×1308、×1309、1310、×1400、简答题1401、A,B两步都是对的, A中v是自由粒子的运动速率, 它不等于实物波的传播速率u, C中用了l= v/, 这就错了。 因为l= u/。 又D中E=h是粒子的总能量, E中E=mv2仅为v<<c时粒子的动能部分,两个能量是不等的。 所以 C, E都错。1402、(1) 单值的。 (2) 连续的, 一级微商也连续。 (

25、3) 平方可积的, 即有限的。1403、P= sin2() dx= 0.5+ = 0.8181404、(A).不是 (B).是,本征值为 n2h2/(4l2) (C).不是 (D).是,本征值为 n2h2/(8ml2)1405、 是共同的本征函数 为和的线性组合,是共同 的本征函数 是共同的本征函数1406、P= = n=1，P= n=2，P=. n=2时，粒子出现在0a/4区间概率更大些。1407、 = = = =12 是，本征值为121408、归一化条件： A 2(,a是归一化的。 B ,b不是归一化的。 归一化因子即。1409、 f(x)是的本征函数，本征值为。1410、 （当n=2时）

26、= (2) 0 a/4 a/2 a x1500、证明题1501、 = 1 - 2 = 0 1 - 2 = 0 1 - 2 = 常数1502、将代入方程 说明是方程的解。 将代入方程 说明也是方程的解。1503、 故x+iy是本征函数,本征值为 故x-iy是本征函数,本征值为 故z是本征函数,本征值为 0 1504、第一吸收带是由HOMO到LUMO跃迁产生。 对本题HOMO k=n; LUMO k=n+1; 所以 即1505、设u1,u2,.,.是算符的分别属于本征值.的本征函数，则有 可得 根据的厄米性,从上式可得 1506、按厄米算符的定义,有 同时下列本征方程成立: 代入上式,得: 由此可得 故必为实数。 1507、(1). u*()vd=u*vd+u*vd =(u)*vd+(u)*vd =(u)*+(u)*vd =(u)+(u)*vd =()*vd 由此得证 (2). u*v=u*(v) =(u)*(v) =(u)*v =(u)*v =(u)*v 由此得证 1508、三维空间自由粒子的薛定谔方程 当r为常数，与r,无关。 = = 当与无关， 1509、三维空间自由粒