沪科版八年级数学下知识点总结(1)

1、沪科版八年级数学下知识点总结二次根式知识点: 知识点一：二次根式的概念形如石（4之0）的式子叫做二次根式。注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但 必须注意：因为负数没有平方根，所以江之。是G为二次根式的前提条件，如 行，匹i, g。21）等是二次根式，而 口,& -7等都不是二次根式。知识点二：取值范围_1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a三0时，而有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。_2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当 a<0时，而没有意义。_知识点三：二次根式

2、 石（心0）的非负性G （心。）表示a的算术平方根，也就是说，G （心0）是一个非负数，即G之0（心0）。 注：因为二次根式 & （。之0）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0,所以非负数（理。）的算术平方根是非负数，即 G之0 （&之0）,这个性 质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时 应用较多,如若石+而二。，则a=0,b=0；若石+卜卜°，则a=0,b=0；若石+必=。，则a=0,b=0。 知识点四：二次根式（G） !的性质 函（心。）文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。注

3、：二次根式的性质公式（石）"二。（造0）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若”。，则窗二函）如：2=（柩1 2喷，.知识点五：二次根式的性质、炉叩叱°）-认屋 0）文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。注：1、化简正时，一定要弄明白被开方数的底数 a是正数还是负数，若是正数或0,则等于 a本身，即卜。之°）；若a是负数，则等于a的相反数-a,即/一 二川二-网口。）；2、面 中的a的取值范围可以是任意实数，即不论 a取何值，正一定有意义；3、化简 曲时，先将它化成同，再根据绝对值的意义来进行化简。知识点六： （向1与必

4、 的异同点1、不同点：(6)与必表示的意义是不同的，函¥表示一个正数a的算术平方根的平方， 而必表示一个实数a的平方的算术平方根；在(折 中白之。，而必中a可以是正实数， 0,负实数。但 函)'与 V都是非负数，即 函)"之。，曲之0。因而它的运算的结果是有 必叫二叱°)差别的，=狐之。),而1时mo)2、相同点：当被开方数都是非负数，即 心。时，(4孑=万；K0时，函)无意义，而知识点七：二次根式的性质和最简二次根式如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有，2、，3、Va (an。)、V x+y 等；含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有，4、，

5、9、，a八2、V (x+y)八2、VxA2+2xy+yA2 等(3)最终结果分母不含根号。知识点八：二次根式的乘法和除法1 .积的算数平方根的性质Vab=A/a - Vb (a>0, b>0)2 .乘法法则Va - Vb=A/ab (a>0, b>0)二次根式的乘法运算法则，用语言叙述为：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。3 .除法法则VaVb=A/a- b (a> 0, b>0)二次根式的除法运算法则，用语言叙述为：两个数的算数平方根的商，等于这两个数商的算数平方根。4.有理化根式。如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个

6、代数式叫做有理化根式，也称有理化因式。知识点九：二次根式的加法和减法1同类二次根式一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就 把这几个二次根式叫做同类二次根式。2合并同类二次根式把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。3二次根式加减时， 可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并。知识点十：二次根式的混合运算1确定运算顺序2灵活运用运算定律3正确使用乘法公式4大多数分母有理化要及时5在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化知识点十一：分母有理化分母有理化有两种方法I.分母是单项式如：Va/ Vb=V3><V b/

7、VbxV b=Vab/b7T,V ab bII.分母是多项式要利用平方差公式如 1/ Va +，b=Va V b/（ Va +，b）（ Va，b）= V a，b/a b如图/7I+ VTG- /15 /a + 0（ /a Vli）一 G 一b注意：1.根式中不能含有分母2.分母中不能含有根式一元二次方程知识点：1. 一元二次方程的一般形式：a?0时，ax2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a、b、c；其中a、b,、c可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式 .2. 一元二次方程的解法：一元二次方程的四

8、种解法要求灵活运用，其中直接开平方法虽然简单，但是适用范围较小；公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错 误；因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法；配方法使用较少.3. 一元二次方程根的判别式：当ax2+bx+c=0 (a # 0)时，A =b2-4ac叫一元二次方程根的 判别式.请注意以下等价命题：初中数学 >0 <=>有两个不等的实根; <0 <=>无实根； =0 <=>有两个相等的实根；A >0 <=>有两个实根(等或不等)4. 一元二次方程的根系关系：当ax2+bx+c=0 (a #0)时，如AAO,有下

9、列公式:b 二，b2 3 -4acb一工一；，cX1X2 = . a5. 一元二次方程的解法(1)直接开平方法(也可以使用因式分解法) x 一 一一 一x2 -9 =0= (x 3)(x-3) =0 = a( a 至 0)解为:x = ±Va(x+a)2 =b(b 至 0)解为:x+a = ±>/b(ax+b)2 =c(c 之0)解为:ax+b=±VC(ax+b)2 = (cx+d)2( a # c) 解为：ax+b=±(cx + d)(2)因式分解法：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法如：ax2+bx =0(a,b ¥ 0)u x

10、(ax+b)=0此类方程适合用提供因此，而且其中一个根为2x - 3x = 0 = x(x -3) = 03x(2x -1)-5(2x -1) = 0= (3x -5)(2x -1)=0x2 -6x 9 =4= (x -3)2 =44x2 -12x 9 =0= (2x-3)2 =02_ _一_ 2_ _一一x -4x -12 =0- (x-6)(x 2) =02x 5x-12 = 0= (2x - 3)(x 4) = 0(3)配方法二次项的系数为“ 1”的时候：直接将一次项的系数除于2进行配方，如下所示：2_P 2 P 2x Px q =0：=(x 万)-(-) q = 0二次项的系数不为“

11、1”的时候：先提取二次项的系数，之后的方法同上:22bb、2b、2_ax bx c = 0 (a ；0)= a(x x) c = 0 = a(x ) -a|_() c = 0a2a 2ab 2 b2b 2 b2 -4ac=a(x )=-c= (x ) =22a 4a2a 4a示例： -x2 -2x-1 0- -(x2 -4x) -1 =0- l(x-2)2- 22-1=02222(4)公式法：一元二次方程ax2+bx+c = 0 (a=0),用配方法将其变形为:xl,2(x O,4a2当A=b2-4ac>0时，右端是正数.因此，方程有两个不相等的实根:-b b2 -4ac2a 当=-42

12、。=0时，右端是零.因此，方程有两个相等的实根:bx1,2 二 一函 当小=-42。<0时，右端是负数.因此，方程没有实根。备注：公式法解方程的步骤:把方程化成一般形式：一元二次方程的一般式：ax2+bx+c = 0 (a#0),并确定出a、b、c求出A=b2-4ac,并判断方程解的情况。代公式：上=心三噂土(要注意符号)派5 .当ax2+bx+c=0 (a #0)时，有以下等价命题：(以下等价关系要求会用公式x"x2=d,x- ; A =b2-4ac分析，不要求背记)aa(1)两根互为相反数=- = 0 且 An。b = 0 且 An。；a(2)两根互为倒数u(3)只有一个零

13、根之(4)有两个零根u- =1 且 AA0 U a = c 且A0; a- =0 且占 于0 仁 c = 0 且 b?0; aa- =0 且也=0 仁 c = 0 且 b=0; aa(5)至少有一个零根u(6)两根异号-=0 u c=0 ； aa、c异号；(7)两根异号,正根绝对值大于负根绝对值=£ <0且一担>ga、c异号且a、b异号;(8)两根异号,负根绝对值大于正根绝对值=(9)有两个正根 u c>0, _B>0且AA0£ <0 且aau a、c同号,a、c异号且a、b同号;a、b异号且 A0;aa(10)有两个负根 u £&g

14、t;0, 2<0且AA0 u a、c同号，a、b同号且AA0.6 .求根法因式分解二次三项式公式：注意：当 < 0时，二次三项式在实数范围内不能分解.ax2+bx+c=a(x-x i)(x-x 2)或ax 2+bx+c=a-b - b2 - 4ac x 2a-b- Vb2 -4ac x 2a7 .求一元二次方程的公式:X2 -(X1+X2) x + x 1X2 = 0.注意：所求出方程的系数应化为整数8.平均增长率问题应用题的类型题之一(设增长率为x):(1) 第一年为a ,第二年为a(1+x),第三年为a(1+x)2.(2)常利用以下相等关系列方程:第三年=第三年 或 第一年+

15、第二年+第三年二总和.9 .分式方程的解法:,、一、，两边同乘最简(1)去分母法一天五五一验增根代入最简公分母(或原方程的每个分母)，值第0.公分母(2)换元法 俟 仅兀'验增根代入原方程每个 分母，值#0.换兀.10 .二元二次方程组的解法:(1)代入消元 法 方程组中含有一个二元一次方 程；(2)分解降次法 方程组中含有能分解为()()=0的方程；(3)注意：，'(1)=0 ：(2)=0 11)=0：(2)=0、(3)=04)=04)=0、(3)=0派11.几个常见转化:222(1) X1 +x2 =(x1 +x2) -2x1x2 ;或 X2=(Xx2 X22;X1-

16、9;X 2.(x1 1X2)= . (x1 - X2 ) 4x1X2(x1 x 2 )-.(X 1 - X 2 )=-(X1 X2)2 -4X1X2(X1 ：:： X2)2X122+ x2 =(x1+x2) -2x1x2 ,11X1X2XiX2X1X2(Xi - X2) = (Xi + X2) 4x1 X2 ,|Xi-x2 1= (x1 X2)4x1x2 ,X1X222/、+ X1 X2 = X1X2(X1 + X2),2221,1、2(X1 -X2) =(X1 +X2) -4X1X2 ； X +2=(X+ ) -2；X2 XX12 X22(X1 X2)2 -4x1x2XiX2X1X2X1X2

17、1 .分类为 X1 -X2 =2 和 X1 -X2 =-2(2) x 1 x 2 =2 =，22.两边平方为(X1 -X2)2 =4XiX2(或2X12X2吟)(1)分类为上=4和X23(2)两边平方一般不用X14= x23因为增加次数(4) 如 X1 =sinA, x2 =sin B 且 /A +/B =90 ,由公式 sin2 A + cos2 A =1, cosA=sinB 可推出X2+x2 =1.注意隐含条件：X1 >0, X2 >0.(5) x1 ,x2若为几何图形中线段长 时，可利用图形中的相等关 系(例如几何定理，相似形，面积 等式，公式)推导出含有 X1, X 2的

18、关系式.注意隐含条件：X1 A0, X2 >0.(6)如题目中给出特殊的直 角三角形、三角函数、 比例式、等积式等条件，可把它们转化为某 些线段的比，并且 引入“辅助未知元k”.(7)方程个数等于未知数个 数时，一般可求出未知数的值；方程个数比未知数个数 少一个时, 般求不出未知数的值，但总可求出任何两个未知数的关系.勾股定理知识总结：一.基础知识点：1：勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。(即：a2+b2=c2)要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用:(1)已知直角三角形的两边求第三边(在 mbc中，4=90。，则

19、c=va27b2, b=7TH , a 二 c2-2 )(2)已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边(3)利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题2:勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a、b、c,则有关系a2+b2 = c2,那么这个三角形是直角三角形。要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：(1)首先确定最大边，不妨设最长边长为：c;(2)验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若 c2=a2+b2,则 ABC是以/C为直角的直 角三角形(若c2>a2+b2,则AABB

20、以/C为钝角的钝角三角形；若c2<a2+b2,则AB3l锐角三 角形)。(定理中a, b, c及a2+b2=c2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a, b, c满足a2+c2=b2,那么以a, b, c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边)3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。4:互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。5:勾股定理的

21、证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：7T 法1 : 4 s. 、, S；正方形 efgH =S正方形 ABCD, 4 Mab+(ba)2 =c2 ,化简可证.方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积.四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S =4 / ab +c2 =2ab +c22大正方形面积为S =(a+b)2 =a2+2ab+b2所以a2+b2 =c2方法三： S弟形=：(a +b) (a +

22、b) , S弟形=2S&de 十Se =2 2ab +2 c2 ,化简得证6：勾股数能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a2+b2=c2中，a正整数时，称a, b, c为一组勾股数记住常见的勾股数可以提高解题速度，如 3,4,5; 6,8,10; 5,12,13; 7,24,25等用含字母的代数式表示n组勾股数：n2-1,2n,n2+l (n之2, n为正整数)；1.勾股证明的。bC2n+I,2n2+2n,2n2+2n+1 ( n 为正整数)m2n2,2mn,m2+n2 (m>n, m, n 为正整数)二、规律方法指导定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关

23、系相互转化2 .勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边 关系的题目。3 .勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易 犯的主要错误。4 .勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长 a, b, c有下列关系：a2+b2=c2, ?那么这 个三角形是直角三角形；该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法.5 .?应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算，通过学习加深对“数形结合”的理解.我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。（例

24、：勾股定理与勾股定理逆定理）四边形知识点:正方形(4)对角线互相平分;(5)邻角互补.二、知识点讲解:1 .平行四边形的性质(重点)7i)两组对边分别平行;(2)两组对边分别相等;ABCD是平行四边形=3)两组对角分别相等;2 .平行四边形的判定（难点）一.两组对边分别平行的四边形是平行四边形从边看J 一组对边平行且相等I三,两组对边分别相等从角看四,两组对角分别相等从对角线看五.对角线互相平分3 .矩形的性质:DC卜）具有平行四边形的所有通性；因为ABCDfb矩形=«（2）四个角都是直角；（4）是轴对称图形，它有两条对称轴.4矩形的判定:矩形的判定方法：（1）有一个角是直角的平行四

25、边形;（2）有三个角是直角的四边形;（3）对角线相等的平行四边形;（4）对角线相等且互相平分的四边形.二四边形ABC虚决!形.5.菱形的性质：，1）具有平行四边形的所 有通性;因为ABCDfb菱形=2）四个边都相等；3）对角线垂直且平分对角.6.菱形的判定:（1）平行四边形+ 一组邻边等（2）四个边都相等（3）对角线垂直的平行四边形7.正方形的性质：具有平行四边形的所 有通性；ABCD是正方形=*2）四个边都相等，四个 角都是直角;|（3）对角线相等垂直且平分对角.8.正方形的判定:（1）平行四边形 +一组邻边等+一个直角1菱形+一个直角广四边形ABCD是正方形.（3）矩形+一组邻边等F -

26、名称定义性质判定面积平两组对对边平行；定义；S=ah(a 为一边分别对边相等；两组对边分别相等的边长，h为这行平行的对角相等；四边形；条边上的高）四边形邻角互补；一组对边平行且相等四叫做平对角线互相平分；的四边形；行四边是中心对称图形两组对角分别相等的边形形。四边形；对角线互相平分的四边形。矩形有一个 角是直 角的平 行四边 形叫做 矩形除具有平行四边形的性质外，还有：四个角都是直角；对角线相等；既是中心对称图形又是轴对称图形。有三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；定义。S=ab（a 为一边长，b为另一边长）菱形有一组 邻边相 等的平 行四边 形叫做Wo除具有平行四边形的性质 外，还有四边形相等；对角线互相垂直，且每一 条对角线平分一组对角； 既是中心对称图形又是 轴对称图形。四条边相等的四边形是菱形；对角线垂直的平行四边形是菱形；定义。S=ah（a为一边长，h为S - -ic 2这条边上的高）；（b、c为两条对角线的长）正方形有一组 邻边相 等且有 一个角 是直角 的