借助绕定点旋转分析巧解题

1、借助绕定点旋转分析巧解题摘  要将静态问题放置到旋转运动中加以分析，有利于从运动的角度对问题进行全方位的探究.灵活运用这种将静态问题动态化的分析思想，有助于迅速解决问题.关键词定点;旋转;解题中图分类号  G633.6    文献标识码  A    文章编号  1674-6058202135-0013-02求解某些数学问题时，可灵活运用“绕定点旋转分析的技巧.该技巧是指将静态问题放置到涉及动直线绕定点旋转的动态中进行分析.这样处理的优点

2、是有利于从运动变换的角度对问题进行全方位的认识、探究.借助这种将静态问题动态化的分析思想，可帮助我们迅速分析、解决问题.类型一：求参数的取值范围问题处理简单线性规划中“根据含有参数的线性目标函数的最优解唯一，求参数的取值范围这类问题时，可灵活借助动直线绕定点旋转分析技巧，构建不等式，迅速求解.例1实数x，y满足不等式组x-y-20，x+2y-50，y-20，假设目标函数x=mx+y当且仅当x=3，y=1时取得最小值，那么实数m的取值范围是.分析：将z看作“常量，那么由于动直线y=-mx+z的斜率是一个变量，所以需要结合图形，根据动直线的斜率与可行域边界直线的斜率的大小关系，构建关于实数m的不等

3、式，从而顺利求解目标问题.解：如图1所示，先画出不等式组表示的可行域，由于可求得图中点A的坐标为3，1，所以根据题意需要让动直线y=-mx+z将z看作常量绕着定点A旋转，易知实数m应满足不等式kAC又可求得kAC=-12，kAB=1，所以有-12评注：求解此类问题的关键是画可行区域，旋转动直线，准确构建不等式.构建不等式时，一定要注意不等式的表示形式是二者之间，还是两旁以及不等式中有无等号.类型二：求“斜率型最值问题根据x，y满足的二元一次不等式组，求“斜率型目标函数z=y-bx-a的最值的关键点是：画可行域根据题设二元一次不等式组，可画出两个变量x，y满足的可行域;明确意义z=y-bx-a表

4、示定点a，b与可行域内的动点x，y所在直线的斜率.例2假设x，y满足约束条件y2x+1，x2，y-3x+2，那么z=x+2y+11x+1的最大值是_.分析：此题需要先对目标式做别离常数变形，转化为具体的“斜率型最值问题;然后画可行域，根据相关解析几何知识加以求解.解：因为z=x+2y+11x+1=1+2×y+5x+1，所以令z'=y+5x+1，那么有z=1+2z'.根据约束条件，可行域为如图2所示的阴影局部的ABC，由y=2x+1，y=-3x+2，解得x=15，y=75，所以点B的坐标为15，75.因为z'=y+5x+1表示可行域内的动点x，y与定点P-1，-

5、5所在直线的斜率，所以让动直线绕着定点P旋转，易知点B与定点P-1，-5连线的斜率最大.于是，z'的最大值为75+515+1=163.故所求zmax=1+2×163=353.评注：求解此题需要关注三点.一是对目标式z=x+2y+11x+1实施别离常数变形;二是充分利用代数式y+5x+1的几何意义;三是灵活运用动直线绕定点旋转分析技巧.类型三：求直线与圆的综合问题处理直线与圆的综合问题时，如果直线经过一个定点，那么可以让该直线绕着定点进行旋转，有利于结合图形的动态变化去把握变化规律，以便顺利求解目标问题.例3边长为2的正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，动点P满足OP=

6、1，且AP=mAB+nAD，其中m，nR，那么2n+22m+1的最小值为     .分析：此题需要先画出图形，并建立平面直角坐标系，以便根据题设条件明确代数式2n+22m+1的几何意义.运用数形结合思想，具体分析最小值情境，利用相关解析几何知识进行适当计算，即可获解.解：由于此题涉及特殊图形正方形，所以可建立如图3所示的平面直角坐标系xAy，那么可知点B2，0，D0，2，从而根据AP=mAB+nAD，可求得点P的坐标为2m，2n，设点M-1，-2，那么2n+22m+1=kPM.又根据OP=1，可知点P的轨迹是以点O1，1为圆心且以1为半径的圆.

7、于是，让经过点M的且与圆O有公共点的直线绕着定点M进行旋转，当该直线与圆O的右下方相切时此时P为切点，直线PM的斜率取得最小值.利用直线方程的点斜式，可设經过点M-1，-2的直线方程为y+2=kx+1，那么由直线与圆相切可得2k-3k2+1=1，解得k=6-233或k=6+233舍去，所以kPM的最小值为6-233.故所求2n+22m+1的最小值为6-233，即2-233.评注：此题具有一定的综合性，解题切入点是目标式的几何意义，求解关键在于数形结合思想和“绕定点旋转分析技巧在处理相关最值问题中的灵活运用.灵活运用绕定点旋转分析技巧，可顺利求解两大类数学问题.一类是给定含参线性目标函数的最优解

8、唯一问题;另一类是以图形为载体，涉及直线斜率的最值问题.静态问题“旋转分析，有利于结合动态变化，充分利用数形结合思想，巧思妙解. 参  考  文  献 【1】 王红娟，邹生书.含有参数的线性规划问题及其解法J.中学数学研究华南师范大学版，20215：12-14.【2】 华文娜.2021年上海数学高考试题浅析J.中学数学，20211：35-36.【3】 鲁和平.对高中数学“一题多解教学的辩证思考J.中学教研数学，20215：29-31.责任编辑黄桂坚猜你喜欢旋转定点解题高中数学解题教学中逻辑思维的培养以数列解题为例福建根底教育研究(2021年7期)2021-05-28在度量中感悟本质小学教学参考(综合)(2021年5期)2021-06-30圆锥曲线专题一数学学习与研究(2021年1期)2021-02-03“化二为一法在初中解题中的应用中学数学杂志(初中版)(2021年2期)2021-05-09浅谈-舞蹈中的“旋转祖国(2021年23期)2021-04-15正交变换的性质及其应用学周刊(2021年1期)2021-03-30熟记勾股数解题如神助中学生数理化·八年级数学人教版(2021年2期)2021-04-13解题勿