8-压杆的稳定计算

1、2021/8/61 学习情境学习情境8 8压杆的稳定计算压杆的稳定计算 学习要点：学习要点：压杆稳定的概念、临界压力和欧压杆稳定的概念、临界压力和欧拉公式等。拉公式等。 教学目标：教学目标：了解了解压杆稳定的概念；压杆稳定的概念；会计算会计算细细长杆、中长杆和短粗杆的临界力；长杆、中长杆和短粗杆的临界力；会会对各种压杆对各种压杆进行稳定校核。进行稳定校核。了解了解提高压杆稳定性的措施。提高压杆稳定性的措施。2021/8/62一个实验：一个实验：松木板条：截面尺寸松木板条：截面尺寸5 53030，抗压极，抗压极限应力限应力40MPa40MPa。F 6000NF 30N301000短木条失效时：短

2、木条失效时：MPa405306000c长木条失效时：长木条失效时：MPa2 . 053030c两者失效原因存在本质区别：两者失效原因存在本质区别：短木条短木条: 强度失效，由强度不足引起强度失效，由强度不足引起长木条长木条: 非强度失效非强度失效(丧失稳定丧失稳定)，由，由 稳定性不足引起稳定性不足引起引引 例例 2021/8/63F 6000NF 30N301000 这个试验告诉我们，同一材料、这个试验告诉我们，同一材料、同一截面尺寸和形状，当长度不同同一截面尺寸和形状，当长度不同时，其能承受的轴心压力值是不同时，其能承受的轴心压力值是不同的。在结构计算中，构件有一个重的。在结构计算中，构件

3、有一个重要特征，就是计算长度的影响。长要特征，就是计算长度的影响。长度越大，构件的计算长度也越大，度越大，构件的计算长度也越大，其能承受的轴心压力值越小，这就其能承受的轴心压力值越小，这就是直木承受轴心压力的一个重要特是直木承受轴心压力的一个重要特征。因此，笼统地说征。因此，笼统地说“直木顶千斤直木顶千斤”并不符合实际情况。并不符合实际情况。从谚语从谚语“直木顶千斤直木顶千斤”谈轴心受压杆的稳定谈轴心受压杆的稳定 2021/8/64F 6000NF 30N301000 轴心受压杆件从直线状态突然变为曲线状态的现轴心受压杆件从直线状态突然变为曲线状态的现象，在结构上称为象，在结构上称为“失稳失稳

4、”。这种情况对结构安全是。这种情况对结构安全是极为不利的。也是必须避免的。极为不利的。也是必须避免的。 截面形状也是轴心受压直杆截面形状也是轴心受压直杆稳定性的又一个重要因素。稳定性的又一个重要因素。2021/8/65子情境子情境8.1 压杆的概念压杆的概念crF 称为临界荷载稳定的平衡稳定的平衡：能保持原有的能保持原有的直线平衡状态直线平衡状态的平衡；的平衡；不稳定的平衡不稳定的平衡：不能保持原有的不能保持原有的直线平衡状态的直线平衡状态的平衡。平衡。 压杆的失稳现象是在纵向力的作用下，使杆发压杆的失稳现象是在纵向力的作用下，使杆发生突然弯曲，所以称为纵弯曲。这种丧失稳定的现生突然弯曲，所以

5、称为纵弯曲。这种丧失稳定的现象也称为屈曲。象也称为屈曲。2021/8/66 压杆由直线形状的稳定的平衡过渡到不稳定的平衡压杆由直线形状的稳定的平衡过渡到不稳定的平衡时所对应的轴向压力，称为压杆的时所对应的轴向压力，称为压杆的临界压力临界压力或或临界力临界力，用用Fcr表示表示 当压杆所受的轴向压力当压杆所受的轴向压力F小于临界力小于临界力Fcr时，杆件就时，杆件就能够保持稳定的平衡，这种性能称为压杆具有能够保持稳定的平衡，这种性能称为压杆具有稳定稳定性性；而当压杆所受的轴向压力；而当压杆所受的轴向压力F等于或者大于等于或者大于Fcr时时, ,杆件就不能保持稳定的平衡而失稳。杆件就不能保持稳定的

6、平衡而失稳。子情境子情境8.1 压杆的概念压杆的概念2021/8/67子情境子情境8.2 各种压杆的临界力和临界应力计算各种压杆的临界力和临界应力计算8.2.1 细长压杆的临界力和临界应力计算细长压杆的临界力和临界应力计算 细长压杆的临界力计算细长压杆的临界力计算 两端铰支细长杆的临界力计算公式两端铰支细长杆的临界力计算公式欧拉公式欧拉公式 2cr2EIFl其他约束情况下细长压杆的临界力计算公式其他约束情况下细长压杆的临界力计算公式欧拉公式欧拉公式 2cr2EIFl称为长度系数。称为长度系数。 10.70.52两端铰支时：； 一端固定，另一端铰支时：两端固定时：； 一端固定，另一端自由时：20

7、21/8/6810.70.52两端铰支时：； 一端固定，另一端铰支时：两端固定时：； 一端固定，另一端自由时：2021/8/69【例例8-1】试计算图示压杆试计算图示压杆( (截面面截面面积相同的矩形、正方形和圆形积相同的矩形、正方形和圆形) )的的临界力。临界力。 解：解：计算截面的惯性矩计算截面的惯性矩 3344max45 203.0 10 mm1212yhbII计算临界力计算临界力 2cr2()EIFl2982200 103 10(2 2) 3701N3.7kNcr:3.7kNF 矩形2021/8/610【例例8-1】试计算图示压杆试计算图示压杆( (截面面截面面积相同的矩形、正方形和圆

8、形积相同的矩形、正方形和圆形) )的的临界力。临界力。 cr:3.7kNF 矩形 当截面改为边长为当截面改为边长为30mm的的正方形时，其惯性矩：正方形时，其惯性矩： 3344306.75 10 mm1212yzhbII2cr2()EIFl2982200 106.75 10(2 2)8330N8.33kNz 30mm 30mm y cr:8.33kNF 正方形2021/8/611【例例8-1】试计算图示压杆试计算图示压杆( (截面面截面面积相同的矩形、正方形和圆形积相同的矩形、正方形和圆形) )的的临界力。临界力。 cr:3.7kNF 矩形z 30mm 30mm y cr:8.33kNF 正方

9、形 当截面改为面积相等的圆当截面改为面积相等的圆形时，其惯性矩：形时，其惯性矩： D 224Db4Db244246464yzbDII44442306.45 10 mm642cr2()EIFl2982200 106.45 10(2 2)7950N7.95kNcr7.95kNF 2021/8/612【例例8-1】试计算图示压杆试计算图示压杆( (截面面截面面积相同的矩形、正方形和圆形积相同的矩形、正方形和圆形) )的的临界力。临界力。 cr:3.7kNF 矩形z 30mm 30mm y cr:8.33kNF 正方形D cr7.95kNF 从以上三种情况的分析，其从以上三种情况的分析，其截面面积相等

10、、支承条件也相同截面面积相等、支承条件也相同,但是，计算得到的临界力却不一但是，计算得到的临界力却不一样。可见在材料用量相同的条件样。可见在材料用量相同的条件下，选择恰当的截面形式可以提下，选择恰当的截面形式可以提高细长压杆的临界力。高细长压杆的临界力。2021/8/613 细长压杆的临界应力计算细长压杆的临界应力计算 细长压杆临界应力的计算公式细长压杆临界应力的计算公式 欧拉公式欧拉公式 crcrFA2cr21EIAl22 IIi AiA或222cr221EIEiAll22Eli,li令则有：2cr2E2cr2E2021/8/614 细长压杆的临界应力计算细长压杆的临界应力计算 欧拉公式的适

11、用范围欧拉公式的适用范围 2cr2E 欧拉公式是根据挠曲线近似微分方程导出的，而应用此欧拉公式是根据挠曲线近似微分方程导出的，而应用此微分方程时，材料必须服从胡克定理。因此，欧拉公式的适微分方程时，材料必须服从胡克定理。因此，欧拉公式的适用范围应当是压杆的临界应力不超过材料的比例极限，即：用范围应当是压杆的临界应力不超过材料的比例极限，即：2crP2EPE设设P P为压杆临界应力达到材料的比例极限时的柔度值，即：为压杆临界应力达到材料的比例极限时的柔度值，即：PPE=则欧拉公式的适用范围为：则欧拉公式的适用范围为： P2021/8/6158.2.2 中长压杆的临界力和临界应力计算中长压杆的临界

12、力和临界应力计算 我国常用的临界应力经验计算公式为直线公式：我国常用的临界应力经验计算公式为直线公式： crab临界力计算公式为：临界力计算公式为： crcrFAabA2021/8/6168.2.2 中长压杆的临界力和临界应力计算中长压杆的临界力和临界应力计算 我国常用的临界应力经验计算公式为直线公式：我国常用的临界应力经验计算公式为直线公式： crab公式的适用范围：公式的适用范围： crsab屈服应力屈服应力 或：或： sab令：令： ssabs当临界应力等于材料的屈当临界应力等于材料的屈服点应力时压杆的柔度值服点应力时压杆的柔度值 与与P一样一样, S也是一个与材料的性质有关的常数也是一

13、个与材料的性质有关的常数, 因此因此, 直线经验公式的适用范围为：直线经验公式的适用范围为：PS2021/8/6178.2.3 粗短压杆的临界力和临界应力计算粗短压杆的临界力和临界应力计算 柔度小于柔度小于S的压杆称为的压杆称为粗短杆粗短杆或或小柔度杆小柔度杆。对于柔度小于对于柔度小于S的粗短杆或的粗短杆或小柔度杆，其破坏小柔度杆，其破坏则是因为材料的抗压强度不足而造成的，如果则是因为材料的抗压强度不足而造成的，如果将这类杆也按照稳定问题进行处理将这类杆也按照稳定问题进行处理, ,则对塑性则对塑性材料制成的压杆来说，可取临界应力材料制成的压杆来说，可取临界应力cr = S粗短压杆的临界力为：粗

14、短压杆的临界力为： crcrSFAA2021/8/618【例例8-2】求图示压杆在下面三种情况下的求图示压杆在下面三种情况下的临界力：临界力： 杆长杆长l=1.2m; 杆长杆长l=0.8m; 杆长杆长l=0.5m。解解: 两端铰支时长度系数：两端铰支时长度系数：=1 圆形截面的惯性矩：圆形截面的惯性矩： 4010mm0.01m44di 当当l=1.2m时时: 1 1.21200.01li柔度：100属大柔度杆属大柔度杆 22crcr24EdFA3922200 100.044 120172kNcr172kNF 2021/8/619【例例8-2】求图示压杆在下面三种情况下的求图示压杆在下面三种情况

15、下的临界力：临界力： 杆长杆长l=1.2m; 杆长杆长l=0.8m; 杆长杆长l=0.5m。解解: 两端铰支时长度系数：两端铰支时长度系数：=1 圆形截面的惯性矩：圆形截面的惯性矩： 4010mm0.01m44di 当当l=0.8m时时: 1 0.8800.01li柔度：SP属中长杆属中长杆 2crcr4dFAab2660.04304 101.12 10804269kNcr172kNF S11-2:62查表得cr269kNF 2021/8/620【例例8-2】求图示压杆在下面三种情况下的求图示压杆在下面三种情况下的临界力：临界力： 杆长杆长l=1.2m; 杆长杆长l=0.8m; 杆长杆长l=0

16、.5m。解解: 两端铰支时长度系数：两端铰支时长度系数：=1 圆形截面的惯性矩：圆形截面的惯性矩： 4010mm0.01m44di 当当l=0.5m时时: 1 0.5500.01li柔度：S62属粗短杆属粗短杆 2crcr2354dFA20.042354295.3kNcr172kNF S11-2:62查表得cr269kNF cr295.3kNF 2021/8/621子情境子情境8.3 压杆的稳定计算压杆的稳定计算8.3.1 压杆稳定的实用计算方法压杆稳定的实用计算方法 当压杆中的应力达到当压杆中的应力达到( (或超过或超过) )其临界应力时，压其临界应力时，压杆会丧失稳定。所以，正常工作的压杆

17、，其横截面上的杆会丧失稳定。所以，正常工作的压杆，其横截面上的应力应小于临界应力。在工程中，为了保证压杆具有足应力应小于临界应力。在工程中，为了保证压杆具有足够的稳定性，还必须考虑一定的安全储备，这就要求横够的稳定性，还必须考虑一定的安全储备，这就要求横截面上的应力不能超过压杆的临界应力的许用值，即：截面上的应力不能超过压杆的临界应力的许用值，即：crcrcrFAcrcrcrn稳定安全系数稳定安全系数 为计算方便写成：为计算方便写成： crcrcrn crcrn强度计算时的许用应力强度计算时的许用应力 称为折减系数称为折减系数, 其值小于其值小于1 2021/8/6222021/8/623 应当明白应当明白, crcr与与虽然都是虽然都是“许用应力许用应力”, 但两者但两者却有很大的不同。却有很大的不同。只与材料有关只与材料有关, 当材料一定时当材料一定时, 其值为其值为定值；而定值；而cr除了与材料有关外除了与材料有关外, 还与压杆的长细比有关。还与压杆的长细比有关。所以，相同材料制成的不同所以，相同材料制