2016年安徽省“江淮十校”高考数学理科模拟试卷(5月)含解析

1、.2016年安徽省“江淮十校”高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1已知集合M=x|lnx0，N=x|x24，则MN=（）A（1，2B1，2）C（1，2）D1，22已知z是纯虚数，i为虚数单位，在复平面内所对应的点在实轴上，那么z等于（）A2iBiCiD2i3某地区交管部门为了对该地区驾驶员的某项考试成绩进行分析，随机抽取了15分到45分之间的1000名学员的成绩，并根据这1000名驾驶员的成绩画出样本的频率分布直方图（如图），则成绩在30，35）内的驾驶员人数共有（）A60B180C300D3604数列an是公差不为0的等差数列，且a1，a3，a

2、7为等比数列bn的连续三项，则数列bn的公比为（）AB4C2D5九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，卷一方田三三：“今有宛田，下周三十步，径十六步问为田几何？”译成现代汉语其意思为：有一块扇形的田，弧长30步，其所在圆的直径是16步，问这块田的面积是多少（平方步）？（）A120B240C360D4806若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）A4B5C6D77若将函数f（x）=cosx（sinx+cosx）的图象向右平移个单位，所得函数是奇函数，则的最小正值是（）ABCD8如果实数x，y满足，则z=x2+y22x的最小值是（）A3BC4D9二项式（x）9的展开式中x3的系数是（

3、）A84B84C126D12610一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）ABCD11将双曲线=1的右焦点、右顶点、虚轴的一个端点所组成的三角形叫做双曲线的“黄金三角形”，则双曲线C：x2y2=4的“黄金三角形”的面积是（）A1B22C1D212设定义在R上的偶函数y=f（x），满足对任意tR都有f（t）=f（2t），且x（0，1时，f（x）=，a=f（），b=f（），c=f（），则（）AbcaBabcCcabDbac二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13已知向量=（1，0），=（0，），若向量满足（）（）=0，则|的最大值是14若f（x）=log3a（a23a）x在（

4、，0）上是减函数，则实数a的取值范围是15在平面直角坐标系中，定义两点A（xA，yA），B（xB，yB）间的“L距离”为d（AB）=|xAxB|+|yAyB|现将边长为1的正三角形按如图所示方式放置，其中顶点A与坐标原点重合，记边AB所在的直线斜率为k（0k），则d（BC）取得最大值时，边AB所在直线的斜率为16已知数列an满足a1=5，a2=13，an+2=5an+16an，则使该数列的n项和Sn不小于2016的最小自然数n等于三、解答题（共5小题，满分60分）17在ABC中，设内角A、B、C的对边分别为a、b、c，向量=（cosA+，sinA），向量=（sinA，cosA），若|+|=2（

5、1）求角A的大小；（2）若b=4，且c=a，求ABC的面积18已知正三角形ABC的边长为2，D、E、F分别是BC、CA、AB的中点（1）在三角形内部随机取一点P，求满足|PB|1且|PC|1的概率；（2）在A、B、C、D、E、F这6点中任选3点，记这3点围成图形的面积为，求随机变量的分布列与数学期望E19如图，三棱柱ABCA1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，BAA1=60°（）证明：ABA1C；（）若AB=CB=2，A1C=，求二面角BACA1的余弦值20平面上动点M到直线x=1的距离比它到点F（2，0）的距离少1（1）求动点M的轨迹E的方程；（2）已知点B（1，0），设过点（

6、1，0）的直线l与轨迹E交于不同的两点P、Q，证明：x轴是PBQ的角平分线所在的直线21已知函数f（x）=x|x+a|lnx（1）当a=0时，讨论函数f（x）的单调性；（2）若a0，讨论函数f（x）的极值点请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题记分.选修4-1:几何证明选讲22如图，圆内接四边形ABCD中，BD是圆的直径，AB=AC，延长AD与BC的延长线相交于点E，作EFBD于F（1）证明：EC=EF；（2）如果DC=BD=3，试求DE的长选修4-4：坐标系与参数方程23以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知曲线C的参数方程为：（为参数），直线

7、l的极坐标方程为（cos+sin）=4（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）若点P在曲线C上，点Q在直线l上，求线段PQ的最小值选修4-5：不等式选讲24已知函数f（x）=|xa|x+3|，aR（）当a=1时，解不等式f（x）1；（）若当x0，3时，f（x）4，求a的取值范围2016年安徽省“江淮十校”高考数学模拟试卷（理科）（5月份）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1已知集合M=x|lnx0，N=x|x24，则MN=（）A（1，2B1，2）C（1，2）D1，2【考点】交集及其运算【分析】根据题意，化简集合M、N，求出MN即可【解答】解：集合M

8、=x|lnx0=x|x1，N=x|x24=x|2x2，MN=x|1x2=（1，2故选：A2已知z是纯虚数，i为虚数单位，在复平面内所对应的点在实轴上，那么z等于（）A2iBiCiD2i【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义、几何意义即可得出【解答】解：设z=bi（bR），=在复平面内所对应的点在实轴上，2+b=0，解得b=2那么z=2i故选：D3某地区交管部门为了对该地区驾驶员的某项考试成绩进行分析，随机抽取了15分到45分之间的1000名学员的成绩，并根据这1000名驾驶员的成绩画出样本的频率分布直方图（如图），则成绩在30，35

9、）内的驾驶员人数共有（）A60B180C300D360【考点】频率分布直方图【分析】结合图形，求出成绩在30，35）内的驾驶员人数的频率，即可求出成绩在30，35）内的驾驶员人数【解答】解：根据题意，成绩在30，35）内的驾驶员人数的频率为1（0.01+0.01+0.04+0.05+0.03）×5=10.7=0.3，成绩在30，35）内的驾驶员人数为：1000×0.3=300；故选：C4数列an是公差不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列bn的连续三项，则数列bn的公比为（）AB4C2D【考点】等差数列与等比数列的综合【分析】先由a1，a3，a7为等比数列bn的连续

10、三项，找到a1=2d，再利用等比数列公比的求法求出即可【解答】解：设数列an的公差为d（d0），由a32=a1a7得（a1+2d）2=a1（a1+6d）a1=2d，故，故选 C5九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，卷一方田三三：“今有宛田，下周三十步，径十六步问为田几何？”译成现代汉语其意思为：有一块扇形的田，弧长30步，其所在圆的直径是16步，问这块田的面积是多少（平方步）？（）A120B240C360D480【考点】扇形面积公式【分析】利用扇形面积计算公式即可得出【解答】解：由题意可得：S=120（平方步），故选：A6若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）A4B5C6D7

11、【考点】程序框图【分析】根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦不满足条件就退出循环，执行语句输出i，从而到结论【解答】解：模拟程序的运行，可得n=10，i=1执行循环体，不满足条件n是奇数，n=5，i=1不满足条件n=1，执行循环体，满足条件n是奇数，n=16，i=2不满足条件n=1，执行循环体，不满足条件n是奇数，n=8，i=3不满足条件n=1，执行循环体，不满足条件n是奇数，n=4，i=4不满足条件n=1，执行循环体，不满足条件n是奇数，n=2，i=5不满足条件n=1，执行循环体，不满足条件n是奇数，n=1，i=6满足条件n=1，退出循环，输出i的值为6故选：C7若

12、将函数f（x）=cosx（sinx+cosx）的图象向右平移个单位，所得函数是奇函数，则的最小正值是（）ABCD【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】利用三角恒等变换化简f（x）的解析式，再利用正弦函数的奇偶性，求得的最小正值【解答】解：将函数f（x）=cosx（sinx+cosx）=sin2x+=sin（2x+） 的图象向右平移个单位，得到y=sin2（x）+=sin（2x+2）的图象再根据所得函数是奇函数，则2=k，kZ，则的最小正值为，故选：D8如果实数x，y满足，则z=x2+y22x的最小值是（）A3BC4D【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用两点间

13、的距离公式，以及数形结合进行求解即可【解答】解：由z=x2+y22x=（x1）2+y21，设m=（x1）2+y2，则m的几何意义是区域内的点到点D（1，0）的距离的平方，作出不等式组对应的平面区域如图：由图象知D到AC的距离为最小值，此时d=，则m=d2=（）2=，则z=m1=1=，故选：B9二项式（x）9的展开式中x3的系数是（）A84B84C126D126【考点】二项式系数的性质【分析】根据二项式展开式的通项公式，令x的指数等于3，即可求出展开式中x3的系数【解答】解：二项式（x）9展开式的通项公式为Tr+1=（x）r=（1）rx2r9，令2r9=3，解得r=6；所以二项式（x）9展开式中

14、x3的系数是（1）6=84故选：A10一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）ABCD【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图判断出几何体是四棱锥，且底面是直角梯形，依据三视图的数据，求出表面积【解答】解：由三视图判断出几何体是四棱锥，且底面是直角梯形高为PA；SPAB=1×1=，SPBC=×=，SPAD=1，S梯形=（1+2）×1=，PA=1，AC=，PC=，CD=，PD=，RtPCD的面积=，表面积为： =故选；B11将双曲线=1的右焦点、右顶点、虚轴的一个端点所组成的三角形叫做双曲线的“黄金三角形”，则双曲线C：x2y2=4的“黄金三角形”的

15、面积是（）A1B22C1D2【考点】双曲线的简单性质【分析】根据条件求出右焦点、右顶点、虚轴的一个端点的坐标，结合三角形的面积公式进行计算即可【解答】解：由x2y2=4得=1，则a2=b2=4，则a=2，b=2，c=2，则双曲线的右焦点、右顶点、虚轴的一个端点的坐标分别为（2，0），（2，0），（0，2），故所求“黄金三角形”的面积S=（22）×2=22，故选：B12设定义在R上的偶函数y=f（x），满足对任意tR都有f（t）=f（2t），且x（0，1时，f（x）=，a=f（），b=f（），c=f（），则（）AbcaBabcCcabDbac【考点】函数的值【分析】由已知得f（2+t）

16、=f（22t）=f（t）=f（t），求出函数的周期性，结合函数f（x）在0，1的表达式求出f（x）的单调性，从而比较a，b，c的大小即可【解答】解：定义在R上的偶函数y=f（x），满足对任意tR都有f（t）=f（2t），f（2+t）=f（22t）=f（t）=f（t），f（x）是以2为周期的函数，x0，1时，f（x）=，f（x）=0在0，1恒成立，故f（x）在0，1递增，由a=f（）=f（1+）=f（）=f（），b=f（）=f（1+）=f（）=f（），c=f（）=f（），cab，故选：C二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13已知向量=（1，0），=（0，），若向量满足（）（）=0，则

17、|的最大值是2【考点】平面向量数量积的运算【分析】设=（x，y），根据向量数量积的垂直的等价条件，求出x，y满足的条件，结合|的几何意义进行求解即可【解答】解：设=（x，y），则=（1x，y），=（x，y），（）（）=0，（1x，y）（x，y）=0，即x（1x）y（y）=0，即x2x+y2y=0，即（x）2+（y）2=1，则圆心C（，），则|=，则|的几何意义是圆C上的点到原点的距离，则|OC|=1，则|的最大值是|OC|+1=1+1=2，故答案为：214若f（x）=log3a（a23a）x在（，0）上是减函数，则实数a的取值范围是（，3）【考点】复合函数的单调性【分析】根据对数函数的单调性，

18、结合复合函数单调性的关系建立不等式关系进行求解即可【解答】解：函数f（x）在（，0）上是减函数，由（a23a）x0即a23a0，即函数t=（a23a）x为减函数，则函数y=log3at为增函数，则，即，得a3，故答案为：（，3）15在平面直角坐标系中，定义两点A（xA，yA），B（xB，yB）间的“L距离”为d（AB）=|xAxB|+|yAyB|现将边长为1的正三角形按如图所示方式放置，其中顶点A与坐标原点重合，记边AB所在的直线斜率为k（0k），则d（BC）取得最大值时，边AB所在直线的斜率为2【考点】直线的斜率【分析】由题意设B（cos，sin），则C（cos（+），sin（+），则BC|

19、=|cos（+）cos|+|sin（+）sin|，由角的范围化简|BC|，然后利用辅助角公式化积，再利用三角函数求最值得答案【解答】解：设B（cos，sin），则C（cos（+），sin（+），|BC|=|cos（+）cos|+|sin（+）sin|，0，+，即0+，|cos（+）cos|=coscos（+）0，+，|sin（+）sin|=sin（+）sin，|BC|=coscos（+）+sin（+）sin=coscoscos+sinsin+sincos+cossinsin=sin+cos=sin（+）（tan=2+），由+=2k，kZ，得=+2k，kZ，tan=tan（+2k）=，即边AB所

20、在直线的斜率为时，则d（BC）取得最大值，故答案为16已知数列an满足a1=5，a2=13，an+2=5an+16an，则使该数列的n项和Sn不小于2016的最小自然数n等于7【考点】数列递推式【分析】化简an+2=5an+16an可得an+22an+1=3（an+12an），an+23an+1=2（an+13an），从而可知数列an+12an，an+13an成等比数列，从而求得【解答】解：an+2=5an+16an，an+22an+1=3（an+12an），an+23an+1=2（an+13an），又a22a1=1310=3，a23a1=1315=2，数列an+12an是以3为首项，3为公比

21、的等比数列，数列an+13an是以2为首项，2为公比的等比数列，an+12an=3n，an+13an=2n，an=3n+2n，a1=5也成立；故Sn=（3+2）+（4+9）+（3n+2n）=+=（3n1）+2（2n1）2016，故n7，故答案为：7三、解答题（共5小题，满分60分）17在ABC中，设内角A、B、C的对边分别为a、b、c，向量=（cosA+，sinA），向量=（sinA，cosA），若|+|=2（1）求角A的大小；（2）若b=4，且c=a，求ABC的面积【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算；正弦定理【分析】（1）先根据向量模的运算表示出|+|2，然后化简成y=Asin（wx+）

22、+b的形式，再根据正弦函数的性质和|+|=2可求出A的值（2）先根据余弦定理求出a，c的值，再由三角形面积公式可得到最后答案【解答】解：（1）+=（cosA+sinA，cosA+sinA），|+|2=（cosA+sinA）2+（cosA+sinA）2，=2+2（cosAsinA）+（cosAsinA）2+（cosA+sinA）2=2+2（cosAsinA）+2=44sin（A），|+|=2，4sin（A）=0，又0A，A，A=0，A=（2）由余弦定理，a2=b2+c22bccosA，又b=4，c=a，A=，得：a2=32+2a22×4×a，即：a28a+32=0，解得a=4

23、，c=8，SABC=bcsinA=sin=1618已知正三角形ABC的边长为2，D、E、F分别是BC、CA、AB的中点（1）在三角形内部随机取一点P，求满足|PB|1且|PC|1的概率；（2）在A、B、C、D、E、F这6点中任选3点，记这3点围成图形的面积为，求随机变量的分布列与数学期望E【考点】离散型随机变量的期望与方差；几何概型；离散型随机变量及其分布列【分析】（1）根据几何概型的计算公式，求出满足条件|PB|1且|PC|1的概率值即可；（2）根据题意，求出3点围成图形的面积的可能取值以及对应的概率值，列出的分布列，计算数学期望E的值【解答】解：（1）如图1所示，分别以正ABC的顶点B、C

24、为圆心，以1为半径画圆弧，交边AB、BC、AC于点F、D、E；则点P在区域时满足条件|PB|1且|PC|1，其概率为P=1=1=1；（2）在A、B、C、D、E、F这6点中任选3点，共有20种不同的取法；记这3点围成图形的面积为，则=0， S，S，S；其中S=；P（=0）=，P（=S）=，P（=S）=，P（=S）=；所以随机变量的分布列为：0P数学期望E=0×+×+×+×=19如图，三棱柱ABCA1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，BAA1=60°（）证明：ABA1C；（）若AB=CB=2，A1C=，求二面角BACA1的余弦值【考点】用空间向

25、量求平面间的夹角；与二面角有关的立体几何综合题【分析】（）取AB中点O，连CO，OA1，A1B，由题设条件推导出A1AB为正三角形，从而得到A1OAB，由CA=CB，得到COAB，由此能够证明ABA1C（）以OA为x轴，以OA1为y轴，以OC为z轴建立空间直角坐标系Oxyz，利用向量法能求出二面角BAC=A1的余弦值【解答】（）证明：取AB中点O，连CO，OA1，A1B，AB=AA1，BAA1=60°，A1AB为正三角形，A1OAB，CA=CB，COAB，COA1O=O，AB平面COA1，A1C平面COA1，ABA1C（）解：AB=CB=2，AB=AA1，CA=CB，BAA1=60&

26、#176;，CO=A1O=，A1C=，=，OCA1O，OCAB=O，A1O平面ABC，建立如图空间直角坐标系Oxyz，O（0，0，0），A（1，0，0），C（0，0，），设平面AA1C的法向量为，则，=（，1，1），平面向量ACB的法向量=（0，1，0），cos=二面角BAC=A1的余弦值为20平面上动点M到直线x=1的距离比它到点F（2，0）的距离少1（1）求动点M的轨迹E的方程；（2）已知点B（1，0），设过点（1，0）的直线l与轨迹E交于不同的两点P、Q，证明：x轴是PBQ的角平分线所在的直线【考点】轨迹方程【分析】（1）把直线x=1向左平移一个单位变为x=2，此时点M到直线x=2的距离

27、等于它到点（2，0）的距离，即可得到点M的轨迹方程（2）将y=k（x1）代入y2=8x中，得k2x2（2k2+8）x+k2=0，利用根与系数的关系，证明+=0，即可证明结论【解答】解：（1）因为点M到直线x=1的距离比它到点（2，0）的距离小1，所以点M到直线x=2的距离等于它到点（2，0）的距离，因此点M的轨迹为抛物线，方程为y2=8x（2）将y=k（x1）代入y2=8x中，得k2x2（2k2+8）x+k2=0，由根与系数的关系得，x1+x2=2+，x1x2=1+=0，=，x轴是PBQ的解平分线k不存在时，结论同样成立21已知函数f（x）=x|x+a|lnx（1）当a=0时，讨论函数f（x）

28、的单调性；（2）若a0，讨论函数f（x）的极值点【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值【分析】（1）当a=0时，f（x）=x2lnx，函数的定义域为（0，+），求导数，断导数的符号，即可判断f（x）的单调性；（2）分类讨论，利用极值的定义，即可讨论函数f（x）的极值点【解答】解：（1）当a=0时，f（x）=x2lnx，函数的定义域为（0，+）f（x）=，令f（x）0，可得x，f（x）0，可得0x，函数f（x）的单调增区间是（，+），单调减区间是（0，）；（2）当a0时，f（x）=xa时，f（x）=0，可得x1=，x2=a（舍去）若a，即a，f（x）0，函数f（x）在（a，+）

29、上单调递增；若a，即a0，则当x（a，x1）时，f（x）0，x（x1，+），f（x）0，f（x）在（a，x1）上单调递减，在（x1，+）上单调递增当0xa时，f（x）=0，得4x22ax1=0记=4a2160，即2a0，f（x）0，f（x）在（0，a）上单调递减；0，即a2，f（x）=0可得x3=，x4=且0x3x4ax（0，x3）时，f（x）0，x（x3，x4）时，f（x）0，x（x4，a），f（x）0，f（x）在（0，x3）上单调递减，在（x3，x4）上单调递增，在（x4，a）上单调递减，综上所述，a2时，f（x）的极小值点为，极大值点为；2a时，f（x）无极值点；a0时，f（x）的极小值点为请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题记分.选修4-1:几何证明选讲22如图，圆内接四边形ABCD中，BD是圆的直径，AB=AC，延长AD与BC的延长线相交于点E，作EFBD于F（1）证明：EC=EF；（2）如果DC=BD=3，试求DE的长【考点】与圆有关的比例线段【分析】（1）通过证明DEFDEC，即可证明：EC=EF；（2）如果DC=BD=3，证明BDC=EDC，利用等腰三角形的性质求DE的长【解答】（1）证明：由圆内接四边形的性质，可求