32个经典圆锥曲线问题

1、圆锥曲线32题 1. 如下图， 分别为椭圆 ：的左、右两个焦点， 为两个顶点，椭圆 上的点 到 ， 两点的距离之和为 1求椭圆 的方程；2过椭圆 的焦点 作 的平行线交椭圆于 ， 两点，求 的面积2. 椭圆 ： 的离心率为 ，过左焦点且倾斜角为 的直线被椭圆截得的弦长为 1求椭圆 的方程；2假设动直线 与椭圆 有且只有一个公共点，过点 作 的垂线，垂足为 ，求点 的轨迹方程3. 椭圆 的离心率为 ，点 在 上1求 的方程；2直线 不过原点 且不平行于坐标轴， 与 有两个交点 ，线段 的中点为 证明：直线 的斜率与直线 的斜率的乘积为定值4. 的顶点 ， 在椭圆 上，点 在直线 ： 上，且 1当

2、 边通过坐标原点 时，求 的长及 的面积；2当 ，且斜边 的长最大时，求 所在直线的方程5. 椭圆 的中心为坐标原点 ，一个长轴顶点为 ，它的两个短轴顶点和焦点所组成的四边形为正方形，直线 与 轴交于点 ，与椭圆 交于异于椭圆顶点的两点 ，且 1求椭圆的方程；2求 的取值范围6. 抛物线 的焦点为 ， 是抛物线上横坐标为 ，且位于 轴上方的点， 到抛物线准线的距离等于 ，过 作 垂直于 轴，垂足为 ， 的中点为 1求抛物线的方程；2假设过 作 ，垂足为 ，求点 的坐标7. 圆 过定点 ，且与直线 相切，圆心 的轨迹为 ，曲线 与直线 相交于 ， 两点1求曲线 的方程；2当 的面积等于 时，求

3、的值8. 直线 与椭圆 相交于 两个不同的点，记 与 轴的交点为 1假设 ，且 ，求实数 的值；2假设 ，求 面积的最大值，及此时椭圆的方程9. 如图，设抛物线 的焦点为 ，抛物线上的点 到 轴的距离等于 1求 的值；2假设直线 交抛物线于另一点 ，过 与 轴平行的直线和过 与 垂直的直线交于点 ， 与 轴交于点 求 的横坐标的取值范围10. 点 在椭圆 上，且点 到两焦点的距离之和为 1求椭圆 的方程；2假设斜率为 的直线 与椭圆 交于 ， 两点，以 为底作等腰三角形，顶点为 ，求 的面积11. 椭圆 的离心率为 ，且过点 1求椭圆 的方程；2假设 ， 是椭圆 上的两个动点，且使 的角平分线

4、总垂直于 轴，试判断直线 的斜率是否为定值?假设是，求出该值；假设不是，说明理由12. 椭圆 ： 的离心率为 其右顶点与上顶点的距离为 ，过点 的直线 与椭圆 相交于 ， 两点1求椭圆 的方程；2设 是 中点，且 点的坐标为 当 时，求直线 的方程13. 设 ， 分别是椭圆 的左，右焦点， 是 上一点且 与 轴垂直直线 与 的另一个交点为 1假设直线 的斜率为 ，求 的离心率；2假设直线 在 轴上的截距为 ，且 ，求 ，14. 在平面直角坐标系 中，点 ，直线 与动直线 的交点为 ，线段 的中垂线与动直线 的交点为 1求点 的轨迹 的方程；2过动点 作曲线 的两条切线，切点分别为 ，求证： 的

5、大小为定值15. 中心在原点的双曲线 的右焦点为 ，右顶点为 1求该双曲线 的方程；2假设直线 ： 与双曲线 左支有两个不同的交点 ，求 的取值范围16. 己知椭圆 与抛物线 共焦点 ，抛物线上的点 到 轴的距离等于 ，且椭圆与抛物线的交点 满足 1求抛物线的方程和椭圆的方程；2过抛物线上的点 作抛物线的切线 交椭圆于 ， 两点，设线段 的中点为 ，求 的取值范围17. 右焦点为 的椭圆 ： 关于直线 对称的图形过坐标原点1求椭圆 的方程；2过点 且不垂直于 轴的直线与椭圆 交于 ， 两点，点 关于 轴的对称原点为 ，证明：直线 与 轴的交点为 18. 在平面直角坐标系 中，抛物线 的顶点是原

6、点，以 轴为对称轴，且经过点 1求抛物线 的方程；2设点 ， 在抛物线 上，直线 ， 分别与 轴交于点 ，求直线 的斜率19. 抛物线 与直线 相切1求该抛物线的方程；2在 轴正半轴上，是否存在某个确定的点 ，过该点的动直线 与抛物线 交于 ， 两点，使得 为定值如果存在，求出点 坐标；如果不存在，请说明理由20. 左、右焦点分别为 ， 的椭圆 经过点 ， 为椭圆上一点， 的重心为 ，内心为 ，1求椭圆 的方程；2 为直线 上一点，过点 作椭圆 的两条切线 ， 为切点，问直线 是否过定点?假设过定点，求出定点的坐标；假设不过定点，请说明理由21. 抛物线 ， 为其焦点，过点 的直线 交抛物线于

7、 ， 两点，过点 作 轴的垂线，交直线 于点 ，如下图1求点 的轨迹 的方程；2直线 是抛物线的不与 轴重合的切线，切点为 ， 与直线 交于点 ，求证：以线段 为直径的圆过点 22. 椭圆 ，其短轴为 ，离心率为 1求椭圆 的方程；2设椭圆 的右焦点为 ，过点 作斜率不为 的直线交椭圆 于 ， 两点，设直线 和 的斜率为 ，试判断 是否为定值，假设是定值，求出该定值；假设不是定值，请说明理由23. 在平面直角坐标系 中，抛物线 的焦点为 ，准线交 轴于点 ，过 作直线 交抛物线于 ， 两点，且 1求直线 的斜率；2假设 的面积为 ，求抛物线的方程24. 过双曲线 的右支上的一点 作一直线 与两

8、渐近线交于 ， 两点，其中 是 的中点；1求双曲线的渐近线方程；2当 坐标为 时，求直线 的方程；3求证： 是一个定值25. 如图，线段 经过 轴正半轴上一定点 ，端点 ， 到 轴的距离之积为 ，以 轴为对称轴，过 ， 三点作抛物线 1求抛物线 的标准方程；2点 为抛物线 上的点，过 作倾斜角互补的两直线 ，分别交抛物线 于 ，求证：直线 的斜率为定值，并求出这个定值26. 如图，椭圆 的左右顶点分别是 ，离心率为 设点 ，连接 交椭圆于点 ，坐标原点是 1证明：；2假设三角形 的面积不大于四边形 的面积，求 的最小值27. 抛物线 的焦点为 ，过 的直线 交 于 ， 两点， 为线段 的中点，

9、 为坐标原点， 的延长线与直线 分别交于 ， 两点1求动点 的轨迹方程；2连接 ，求 与 的面积比28. 抛物线 过点 过点 作直线 与抛物线 交于不同的两点 ，过点 作 轴的垂线分别与直线 ， 交于点 ，其中 为原点1求抛物线 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；2求证： 为线段 的中点29. 如图，在平面直角坐标系 中，椭圆 的左、右焦点分别为 ，离心率为 ，两准线之间的距离为 点 在椭圆 上，且位于第一象限，过点 作直线 的垂线 ，过点 作直线 的垂线 1求椭圆 的标准方程；2假设直线 ， 的交点 在椭圆 上，求点 的坐标30. 如图： 中，曲线 过 点，动点 在 上运动，且保持 的值不变

10、1建立适当的坐标系，求曲线 的标准方程；2过 点且倾斜角为 的直线 交曲线 于 ， 两点，求 的长度35. 椭圆 的焦点在 轴上，中心在坐标原点；抛物线 的焦点在 轴上，顶点在坐标原点在 ， 上各取两个点，将其坐标记录于表格中：1求 ， 的标准方程；2定点 ， 为抛物线 上一动点，过点 作抛物线 的切线交椭圆 于 ， 两点，求 面积的最大值36. 点 为椭圆 ： 的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线 与椭圆 有且仅有一个交点 1求椭圆 的方程；2设直线 与 轴交于 ，过点 的直线 与椭圆 交于不同的两点 ，假设 ，求实数 的取值范围圆锥曲线32题答案1. 1 由题设知：，

11、即 将点 代入椭圆方程得 ，解得 所以 ，故椭圆方程为     2 由知 ，所以 ，所以 所在直线方程为 ，由 得 ，设 ，那么 ，所以 所以 2. 1 因为椭圆 的离心率为 ，所以 解得 ，故椭圆 的方程可设为 ，那么椭圆 的左焦点坐标为 ，过左焦点且倾斜角为 的直线方程为 ：设直线 与椭圆 的交点为 ，由 消去 ，得 ，解得 ，因为 ，解得 故椭圆 的方程为     2 当切线 的斜率存在且不为 时，设 的方程为 ，联立直线 和椭圆 的方程，得 消去 并整理，得 因为直线 和椭圆 有且只有一个交点，所以 化简并

12、整理，得 因为直线 与 垂直，所以直线 的方程为 联立方程组 解得 所以 把 代入上式得 当切线 的斜率为 时，此时 或 ，符合 式当切线 的斜率不存在时，此时 或 符合 式综上所述，点 的轨迹方程为 3. 1 由题意得 解得 ，所以 的方程为     2 设直线 ，将 代入 ，得 故 ，于是直线 的斜率 ，即 所以直线 的斜率与直线 的斜率的乘积为定值4. 1 因为 ，且 通过原点 ，所以 所在直线的方程为 由 得 ， 两点坐标分别是 ，所以 又因为 边上的高 等于原点到直线 的距离所以 ，    2 设 所在直

13、线的方程为 ，由 得 因为 ， 两点在椭圆上，所以 ，即 设 ， 两点坐标分别为 ，那么 ，且 ，所以 又因为 的长等于点 到直线 的距离，即 所以 当 时， 边最长显然 所以， 所在直线的方程为 5. 1 由题意，知椭圆的焦点在 轴上，设椭圆方程为 ，由题意，知 ，又 ，那么 ，所以椭圆方程为     2 设 ，由题意，知直线 的斜率存在，设其方程为 ，与椭圆方程联立，即 消去 ，得 ，由根与系数的关系，知 又 ，即有 ，所以 那么 ，所以 整理，得 ，又 时等式不成立，所以 ，得 ，此时 所以 的取值范围为 6. 1 抛物线 的准线为 ，于是 ，所以

14、 ，所以抛物线方程为     2 由1知点 的坐标是 ，由题意得 ，又因为 ，所以 因为 ，所以 ，所以 的方程为 的方程为 由 联立得 ，所以 的坐标为 7. 1 设圆心 的坐标为 ，由题意，知圆心 到定点 和直线 的距离相等，故圆心 的轨迹 的方程为     2 由方程组 消去 ，并整理得 设 ，那么 ，设直线 与 轴交于点 ，那么 所以 因为 ，所以 ，解得 经检验， 均符合题意，所以 8. 1 因为 ，所以设点 的坐标为 ，点 的坐标为 由 得 那么 ，那么 ，解得    &#

15、160;2 设点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，由 得 ，得 ，那么 由 得 ，解得 ，代入上式得：，那么 ，当且仅当 时取等号，此时 ，又 ，那么 ，解得 所以， 面积的最大值为 ，此时椭圆的方程为 9. 1 由题意可得，抛物线上点 到点 的距离等于点 到直线 的距离，由抛物线的定义 ，即     2 由1得，抛物线方程为 ，可设 ，因为 不垂直于 轴，可设直线 ：，由 消去 得 ，故 ，所以 又直线 的斜率为 ，故直线 的斜为 从而得直线 ：，直线 ：所以 设 ，由 ， 三点共线得，于是 所以 或 经检验， 或 满足题意综上，点 的横坐标的取值范围是

16、10. 1 因为 ，所以 又点 在椭圆上，所以 ，解得 ，所以椭圆 的方程为       2 设直线 的方程为 由 得，设 ， 的坐标分别为 ， 的中点为 ，那么 ，因为 是等腰 的底边，所以 所以 的斜率 ，解得 此时方程 为 ，解得 ，所以 ，所以 此时，点 到直线 的距离 ，所以 的面积 11. 1 因为椭圆 的离心率为 ，且过点 ，所以 ，因为 ，解得 ，所以椭圆 的方程为       2 法1：因为 的角平分线总垂直于 轴，所以 与 所在直线关于直线 对称设直线 的

17、斜率为 ，那么直线 的斜率为 所以直线 的方程为 ，直线 的方程为 设点 ，由 消去 ，得 因为点 在椭圆 上，所以 是方程 的一个根，那么 所以 同理 所以 又 所以直线 的斜率为 所以直线 的斜率为定值，该值为 法2：设点 ，那么直线 的斜率 ，直线 的斜率 因为 的角平分线总垂直于 轴，所以 与 所在直线关于直线 对称所以 ，即 因为点 ， 在椭圆 上，所以 由 得 ，得 同理由 得 由 得 ，化简得 由 得 得 得 ，得 所以直线 的斜率为 为定值法3：设直线 的方程为 ，点 ，那么 ，直线 的斜率 ，直线 的斜率 因为 的角平分线总垂直于 轴，所以 与 所在直线关于直线 对称所以 ，

18、即 ，化简得 把 ， 代入上式，并化简得由 消去 得 那么 ，代入 得 ，整理得 ，所以 或 假设 ，可得方程 的一个根为 ，不合题意假设 时，合题意所以直线 的斜率为定值，该值为 12. 1 由题意可知：，又 ，所以 ，所以椭圆 的方程为 ：       2 假设直线 的斜率不存在，此时 为原点，满足 ，所以，方程为 假设直线 的斜率存在，设其方程为 ，将直线方程与椭圆方程联立可得 即 ，可得 设 ，那么 ，由 可知 ，化简得 ，解得 或 ，将结果代入 验证，舍掉 此时，直线 的方程为 综上所述，直线 的方程为 或 13. 1 根据

19、 及题设知 ，将 代入 ，解得 或 舍去故 的离心率为       2 由题意，得原点 为 的中点， 轴，所以直线 与 轴的交点 是线段 的中点，故 ，即 由 得 设 ，由题意知 ，那么 即 代入 的方程，得 将 及 代入 得 解得 ，故 ，14. 1 据题意，所以 为点 到直线 的距离，连接 ，因为 为线段 的中垂线与直线 的交点，所以 ，所以 点的轨迹是抛物线，焦点为 ，准线为直线 ，所以曲线 的方程为       2 据题意，过点 的切线斜率存在，设为 ，那么切线方程为

20、：，联立抛物线方程 可得 ，由直线和抛物线相切，可得 ，即 因为 ，所以方程 存在两个不等实根，设为 ，因为 ，由方程 可知，所以切线 ，所以 ，结论得证15. 1 由题意设双曲线方程为 由得 ，再由 ，得 故双曲线 的方程为       2 设 ，将 代入 ，得 由题意知 解得 所以 的取值范围为 16. 1 因为抛物线上的点 到 轴的距离等于 ，所以点 到直线 的距离等于点 到焦点 的距离，得 是抛物线 的准线，即 ， 解得 ，所以抛物线的方程为 ；可知椭圆的右焦点 ，左焦点 ，由 ，得 ， 又 ，解得 ，由椭圆的定义得 ， 所以

21、 ， 又 ，得 ，所以椭圆的方程为       2 显然 ，由 消去 ，得 ，由题意知 ，得 ，由 消去 ，得 ， 其中 ，化简得 ，又 ，得 ， 解得 ，设 ，那么 ，由 ，得 ，所以 的取值范围是 17. 1 由题意可得：，又 ，解得 所以椭圆 的方程为：      2 设直线 的方程为：， 代入椭圆方程可得：，由 ，解得 设 ，所以 ，那么直线 的 方 程 为：，令 ，可得 所以直线 与 轴的交点为 18. 1 依题意，设抛物线 的方程为 由抛物线 且经过点 ，得 ，所

22、以抛物线 的方程为       2 因为 ，所以 ，所以 ，所以直线 与 的倾斜角互补，所以 依题意，直线 的斜率存在，设直线 的方程为：，将其代入抛物线 的方程，整理得 设 ，那么 ，所以 以 替换点 坐标中的 ，得 所以 所以直线 的斜率为 19. 1 联立方程有，有 ，由于直线与抛物线相切，得 ，所以 ，所以       2 假设存在满足条件的点 ，直线 ，有 ，设 ，有 ，当 ，满足 时， 为定值，所以 20. 1 因为椭圆 焦点在 轴上，且过点 ，所以 设 内切圆的

23、半径为 ，点 的坐标为 ，那么 的重心 的坐标为 ， 因为 ， 所以 由 面积可得 ，即 ，那么解得 ， 即所求的椭圆方程为那么椭圆方程为       2 设 ，那么切线 ， 的方程分别为 ，因为点 在两条切线上，所以 ，故直线 的方程为 又因为点 为直线 上， 所以 ，即直线 的方程可化为 ，整理得 ，由 解得 因此，直线 过定点 21. 1 由题意可得：直线 的斜率存在，设方程为：，设 ，动点 ，由 可得 可得 ；由 可得 ，即点 的轨迹方程为       2 设直线 的

24、方程为： 且 ，由 可得 ，可得 ，因为直线 与抛物线相切，所以 ，可得 ，可得 ，又由 可得 ，可得 ，所以以线段 为直径的圆过点 22. 1 由题意可知：，椭圆的离心率 ，那么 ，所以椭圆的标准方程：      2 设直线 的方程为 消去 整理得：设 ，那么 ，所以 为定值23. 1 过 ， 两点作准线的垂线，垂足分别为 ，易知 ，因为 ，所以 ，所以 为 的中点，又 是 的中点，所以 是 的中位线，所以 ，而 ，所以 ，所以 ，所以 ，而 ，所以 ；      2 因为

25、 为 的中点， 是 的中点，所以 ，所以 ，所以 ，所以抛物线的方程为 24. 1 双曲线 的 ，可得双曲线的渐近线方程为 ，即为       2 令 可得 ，解得 ，负的舍去，设 ，由 为 的中点，可得 ，解得 ，即有 ，可得 的斜率为 ，那么直线 的方程为 ，即为       3 设 ，即有 ，设 ，由 为 的中点，可得 ，解得 ，那么为定值25. 1 设 所在直线的方程为 ，抛物线方程为 ，联立两方程消去 得 设 ，那么 由题意知，且 ，所以 ，所求抛物线的方程为 &#

26、160;     2 由点 为抛物线 上的点，得 由题意知直线 ， 的斜率均存在，且不为 ，设直线 的方程为 ，那么直线 的方程为 由 得 ，因而 由 得 ，因而 从而直线 的斜率 ，为定值26. 1 由题意可知：，那么 ，所以椭圆的标准方程：，设直线 的方程 ，那么 整理得：，解得：，那么 点坐标 ，故直线 的斜率 ，直线 的斜率 ，所以 ，所以 ；      2 由可知：四边形 的面积 ，那么三角形 ，由 ，整理得：，那么 ，所以 ， 的最小值 27. 1 设 ，由题知抛物线焦点为

27、 ，设焦点弦方程为 ，代入抛物线方程得 ，有 ，解之得 ，由韦达定理：，所以中点 横坐标：，代入直线方程，中点 纵坐标：即中点 为 ，消参数 ，得其方程为：，当线段 的斜率不存在时，线段 中点为焦点 ，满足此式，故动点 的轨迹方程为：      2 设 ，代入 ，得 ，联立，得 ，同理 ，所以 ，又因为 ，故 与 的面积比为 28. 1 因为 过点 ，所以 ，解得 ，所以抛物线方程为 ，所以焦点坐标为 ，准线为       2 设过点 的直线方程为 ，所以直线 为 ，直线 为：，由题意知 ，由 可得 ，所以 ，所以 ，所以 为线段 的中点29. 1 由题意可知：椭圆的离心率 ，那么 椭圆的准线方程 ，由 由 解得：，那么 ，所以椭圆的