平面向量的数量积练习题含答案

1、平面向量的数量积练习题一、选择题1.已知|b| =3, a在b方向上的投影是2，则a b为()3C. 3D. 2解析：由数量积的几何意义知所以 a .b=2x3=2.3答案：D2 .设向量 a, b 满足| a+b| =亚0, | a b| =6,贝1J a b=()A. 1B. 2C. 3D. 5解析：因为 |a+b| 2=(a+ b)2 = a2+ b2 + 2a b = 10, | a b| 2= (ab)2 = a2+ b2- 2a b = 6,两式相减得：4a , b =4,所以a , b = 1.答案：A3 .已知向量a, b满足| a| =2, | b| =1, a b=1,则向

2、量a与a-b的夹角为()解析：| a b| = 7(a b) 2 = ：a2 + b22a b =43,设向量 a 与 a b的夹角为。，则a- (a-b)22-1 更COS 0 = -; r-.- =t= =,I a| a-b|2x32，一一 .TT又 8G0, tt,所以 0.6答案：A4 . (2015 陕西卷)对任意向量a, b,下列关系式中不恒成立的是()A.|a -b| < | a| b| B. | a-b| <| a|-| b|C.(a+b)2= | a+b|2 D. (a+b) (ab)=a2b2解析：根据 a , b= |a| b|cos。，又 cos 0 w 1

3、,知| a , b| w | a| b| , A恒成立.当 向量a和b方向不相同时，|ab|>|a| b|, B不恒成立.根据|a+b| 2 = a2+2a b+ b2=(a+b)2, C恒成立.根据向量的运算性质得(a+b) (a b)=a2 b2, D恒成立.答案：B5 .若向量a与b的夹角为60° , | b| =4,且(a+2b) ( a 3b) = 72,则a的模为().A. 2B. 4C. 6D. 12解析：因为(a+2b) ( a- 3b) =a2 a b =6b2=|a| 2-| a| -| b|cos 60 ° 6|.b| 2 =,| a|2 2|a

4、| 96 = 72,所以| a| 2| a| 24=0,所以 | a| =6.答案：C6 .已知向量 a= (1 , 2) , b=(x, 4),且 all b,则 | a b| =()A. 5 小 B . 3yf5C . 215解析：因为a / b,所以4 + 2x = 0,所以 x= 2, a b= (1 , 2) ( 2, 4) = Q3, 6),所以| a-b| =3季.答案：B7 . (2015 杭州模拟)如图，在圆。中，若弦A83,弦AO 5,则AOBC勺值是()A 88 B .1 C .1 D . 8答案D 1解析 取 BC的中点 D,连接 AD OD 则有 ODhBC At&g

5、t;2(Afe+At), BC>At> 1 AO- BO (AADQ BOAED- BODO。BG=AD- BO2(AB+AQ (AG-AB= 1(ACAB2)=gx(5 2 32) = 8,选 D.8 . (2015 福建卷)设2=(1 , 2) , b = (1 ,1) , c=a+kb.若 b±c,则实数 k 的值等于()解析：c=a+k b=(1 +k, 2 + .k),又 b±c,3 所以 1x(1 + k) +1x(2+ k) =0,解得 k=一万.答案：A9 .已知A B、C是坐标平面上的三点，其坐标分别为A(1 , 2)、B(4 , 1)、Q0

6、, 1),则 ABC的形X大为()A直角三角形B.等腰三角形 C .等腰直角三角形D.以上均不正确解析：AC= (-1, 3), AB= (3, - 1).因为AC AB= 3+3=0,所以ACL AB又因为 | AC= 10, | AB= 10,所以AO AB所以 ABm等腰直角三角形.答案：C10.(点。是 ABC所在平面上一点，且满足OAOv潴况OAOCv,则点。是 ABC的 )A重心 B .垂心 C .内心 D .外心解析：因为OA。氏OB- OC 所以OB-(OA-OC = 0, 即OB-GA 0,则OBL CA.同理 OAL BQ OCL AB所以。是ABC勺垂心.答案：B在 AB

7、C所在的平面内有一点 P,满足PA禺Fuc = ab ,则PBCt ABC的面积之比是()解析：由 F PB+ PO AB得PA P抖 BA PO 0,即PC= 2AP所以点P是CA边上的三等分点，如图所示.SaPBC PC 2故=-叫 Sa ABC AC 3答案：C12 .uuv(PBuuv uuv uuuvPC) (OB OC)O是平面 ABC内的一定点，P是平面 ABC内的一动点，若uuuv uuuv uuv uuuv(pc pa)(oa OC) =0,则 O为AABC4J(A内心 B .外心 C .重心Q.垂心解析：因为(PB- PC (O抖OC=0,则(OB-Og - (OBO(J

8、= 0,所以 3c=o,所以 I o? = oq同理可得|赢=| o(p,即| 氤=| O? = | OQ所以O为 ABO勺外心.答案：B二、填空题13 .如图所示， ABC中/ 0=90。且AOBO4,点M满足蹴3笳，则拨耨= 1 i i 12解析：cm c由 CA 4AB C比 4AB出汗& a ceb= 4cB= 4.答案：414 .如图所示，已知点A(1 , 1),单位圆上半部分上的点B满足OAOBv=0,则向量 潴的 坐标为解析：设 B(x, y) , y>0,x2+y* 1 2= i,x+y= 0,x=一22所以O8 乎,平.答案：T，噂 2 ' 215 .在

9、 ABCt3,潴=a, Cv = b, Auv = c,且满足；| a| = 1, | b| =2, | c| =y/3,贝U a b+ b c + c - a 的值为.解析：在AAB件，因为 |a| =1, | b| =2, | c| =<3,所以ABm直角三角形，且 BM BA以BA BC为x, y轴建立坐标系，则 B(0 , 0), A(y3, o), qo, i),所以 a= BC= (0 , 1) , b= CA= (f3, 1), c= AB= ( y3, 0).所以 a - b+b- c+a - c = -1-3+0=-4.答案：416 .在 rABC 中，已知 | 器 |

10、 = | ACv | = 4, 且器ACv = 8,则这个三角形的形状是所以 ABO正三角形.答案：正三角形三、解答题17 .已知向量 a=(2, 0) , b=(1 , 4) . (1)求| a+b| 的值；(2)若向量 k a+b 与 a+2b平行，求k的值；(3)若向量k a+b与a+2b的夹角为锐角，求k的取值范围.解：(1)因为 a= (.2, 0), b= (1 , 4).,所以 a+ b= (3 , 4),则| a+ b| =5.(2)因为 a=(2, 0), b=(1 , 4),所以 k a+b=(2k+1, 4)，总+2b=(.4, 8);因为向量k a+b与a+2b平行，1

11、所以 8(2 k+ 1) = 16,则 k = 2.(3)因为 a=(2, 0), b=(1 , 4),所以 k a+b=(2 k+1, 4) , a+2b= (4 , 8)；因为向量k a+b与a+2b的夹角为锐角,4 (2k+1) +32>0,所以 1k才2，一.9 1解得k> 2或k土,.18 .如图所示，ABC星正方形，M是BC的中点，将正方形折起使点 A与M重合，设折痕为EF,若正方形面积为64,求4人£豚勺面积.解：如图所示，建立直角坐标系，显然 EF是AM的中垂线，设AM与EF交于点N,则N是AM勺中点，又正方形边长为 8,所以 M(8 , 4) , N(4

12、 , 2).设点 E(e, 0),则 A阵(8 , 4) , AN= (4, 2), AE= (e, 0), EN= (4-e, 2), 由AML EN4AM EN= 0,一即(8, 4) (4 e, 2)=0,解得 e= 5,即| AE = 5.、，八1 二.1一所以 Saem= 2 AE| BM =5x5x4= 10.19 .设向量 a, b 满足 | a| =| b|'=1, |3 ab| =m.(1)求|a+3b| 的值；(2)求 3ab 与a+ 3b夹角的正弦值.解：(1)由|3ab|="5,得(3a b)2=5,所以 9a2 6a - b + b2= 5.因为 a

13、2 = |a|2 = 1, b2=|b2|=1,所以 9-6a b + 1=5.所以a-b = 56-所以(a+3b)2 = a2+6a - b + 9b- 5-”1 + 6X -+9X1= 15.6所以| a+3b| =，T5.(2)设3a b与a+3b的夹角为9 .2一.2因为(3ab) (a+3b) =3a + 8a b3b3X1 + 8X 5-3X1=20.63所以cos 0 =(3a b) ( a+ 3b)20313 a-b| a+ 3b|''5Xa/15因为0° < 9 <180° ,所以sin 0 = y 1 cos2 8 = A

14、/1 4 3 2_ 33所以3ab与a+3b夹角的正弦值为工g.920 .在四边形ABC冲，已知AB= 9,BO6,C鼻2PD(1)若四边形 ABC匿矩形，求AP-BP 的值；(2)若四边形ABCD平行四边形，且 AP- B之6,求ABf A映角的余弦值.解：(1)因为四边形ABC星矩形，所以AD-DO 0.1 2f2f由C鼻2PD得DP= DC C% C氏-DC 333所以 AP- BP= (AA DP (BO CP =f L 2AA -DC - AD- -DC = 332 1 工 2，2AD-§AD- DC-,dC= 36-9X81=18. 1 1 7(2)由题意，AP= AA

15、D鼻 AA -DO AN 鼻AB 332f 2BP= BO C曰 BO 3cA AD- 3AB,1 一 2 一所以AP- BP= AN3AB AD-3AB =AD- 18=18二AB. AD1 、= 36- AB-37 T1一 一又APB$6,所以18 AB-AD 6, 3所以AB-AD 36. 又 AB- AA |AB/ADCos 8=9X6Xcos 8 =54cos 8,所以 54cos 0 =36,即 cos 0 =2. 3f f ,一，、一，2所以a的ads角的余弦值为321. (2015 济宁模拟)已知向量 a=(cos 9 , sin 9) , 。G 0 ,兀,向量 b=(43,1

16、).若a，b,求9的值；(2)若|2 a b卜ml1成立，求实数 m的取值范围.解析(1) a± b, .73cos。一sin 8=0,得 tan 8 =3,又 8 G0,兀,/. 9 =. 3(2)2ab=(2cos 9 、3, 2sin。+1),."2ab|2=(2cos 9 -3)2+(2sin 8 + 1)2° J .八出 八、c c ./八 兀、= 8 + 8(2sin。一寸cos 8 ) = 8+ 8sin(。一 万)，- 八L 一 一八 九7t2.又。60,兀, 9 -ye -y, 37t ,7t 、3.sin( 9-y)e-, 1,|2 a- b|

17、2的最大值为16.，|2 ab|的最大值为4.又|2 a b|< m恒成立.m>4.22.(本题满分 12 分)(2015 厦门模拟)已知向量 a=(cos a ,sin a),b=(cosx, sin x), c= (sin x+ 2sin a , cosx+ 2cos a ), 其中 0<oc<x<Tt.Tt ,一一一.一(1)若口 =1,求函数f(x) = b C的最小值及相应的X的值；(2)右a与b的夹角为-3-,且a，c,求tan2 a的值.A花解析.b=(cosx, sin x) , c=(sin x+2sin a, cosx+ 2cos a ) ,

18、a ="4.f (x) = b , c= cosxsin x + 2cosxsin a +sin xcosx+ 2sin xcos a= 2sin xcosx+2(sin x+cosx).令 t = sin x+ cosx（-4<x<ti ）,贝U t G （ 1,小）,2且 2sin xcosx = t 1.y=t2+2t i=（t+李）22，tG（ 1,、2）.、23 2当 t= -2-时，ymin= -2,止匕时 sin x+ cosx=一彳.即2sin( x+；4)= 9，sin( x+-4) =-2,花- 4 <x< 花，.三 +5 %.九7 冗口 L11X+了 = T,即x=石* 311所以函数f(x)的最小值为一3,相应的x的值为11兀.， ，二,九(2)a与b的夹角为不，3x=cos（ x oc ）,九 a , bcos-= 训 0 =cos a cosx + sin a sin-